Termeh (523129), страница 52
Текст из файла (страница 52)
(16.13) Физический смысл этих интегралов состоит в том, что пока Ео и О, вектор главного момента количеств движения относительно точки 0 и кинетическая энергия тела остаются постоянными, т. е. нетривиальное движение тела в случае Эйлера безостановочно. Однако, сохраняя модуль и направление в инерциальном пространстве, вектор Ко может изменять направление по отношению к движущемуся телу. Выразим (16.13) через проекции векторов Ко и а на главные оси инерции тела. Для этого первое уравнение (16.13) умно-. жим скалярно само на себя: Ко ' Ко — КА + Ку + Кз = сопряг (16.14) 440 а во втором уравнении применим формулу (16.10): 2Т = Кооз сов а = оз» К» + озг Кг + оз» К» ш сопв1 . (16.! 5) Для главных осей инерции тела эти интегралы имеют вид Кгз =(Аоз»)' +(Возг)'+(Созв)' =— сопв1; (16.16) 2Т = Аоз „+ Воз „+ Саз~~ — = сопл! (16.17) и представляют собой ограничения для проекций угловой скорости тела на оси системы Я, закон движения которых пока неизвестен.
Соотношения (16.16), (16.17) можно вывести непосредственно из (16.12). Например, умножив каждое уравнение (16.12) на соответствующую проекцию угловой скорости оз», аз„, оз», а за- тем, сложив все три полученные уравнения и проинтегрировав, находим (16.17). Если же каждое уравнение системы (16.12) умножить соответственно на Ав»,Возу, Соз», а затем сложить и проинтегрировать, то получим (16.16). Регулярная прецессня н стационарное вращение пря А = В. Покажем, что в случае Эйлера для динамически симметричного тела система дифференциальных уравнений сферического движения имеет общее решение в элементарных функциях, справедливое при произвольных начальных условиях. При А = В тип формы эллипсоида вращения может быть задан параметром е=(С вЂ” А)/А, — 1<в<1.
Значение в=О соответствует шаровому эллипсонду инерции, — 1 < е < 0 — эллипсоиду, К настоящему времени ббльшая часть известных решений задач динамики сферического движения получена лишь для динамически симметричного тела. Анализу движения тела прн условии А = В посвящена теория гироскопа. Впервые термин "гироскоп" применил французский физик Ж. Фуко в 1852 г., назвав им сферический маятник, регистрирующий в закрьпом помещении вращение Земли относительно ннерцнального пространства.
В переводе с греческого гироскоп означает указатель вращения (гирос — вращение, сколео — вижу). Теперь гироскопом традиционно называют динамически симметричное твердое тело, совершающее сферическое движение вокруг неподвижной точки, расположенной на оси динамической симметрии.
Теорию гироскопа используют для анализа динамики тяжелого волчкк летящего снаряда, планет Солнечной системы, ротора в упругих опорах, гироскопических приборов и др. Гироскопические приборы позволяют регистрировать движение корпуса прибора относительно инерциального пространства. 2а заа 1а 441 вытянутому вдоль оси ОЛ, а О < е < 1 — зллипсоиду, сплюснутому вдоль оси ОУ. Значения е= — 1 и е=1 соответствуют центральным эллипсоидам инерции тонкого прямого стержня и тонкой однородной пластины с двумя осями симметрии в ее плоскости (например, круглый диск, кольцо, квадрат и т. п.). Свойство динамической симметрии тела позволяет проанализировать динамику его сферического движения в случае Эйлера и в случае Лаграюка с применением геометрического образа подвижной координатной плоскости 07171 (плоскости П ) системы координат Я1 (ОХ1У121), используемой в системе углов Эйлера для отсчета угла ср (рис.
1б.5): я с Е с с Рнс. 16.5 Плоскость П проходит через неподвижную ось Ог и перпендикулярна линии узлов — оси ОХ„ единичный орт которой 442 обозначают символом й. Система Я, вращается относительно системы Яо с угловой скоростью й =ЧсА. +Ой, а твердое тело и система Я вращаются относительно системы Я, с угловой скоростью фК . Для динамически симметричного тела оси системы Я, также являются его главными осями инерции. Ниже в случае Эйлера доказывается, а в случае Лагранжа предполагается, что при движении тела угол нугации не изменяется: (16.23) (16.24) (16.25) ОсвсопзС=О8; Оьз0. (16.18) При постоянном О Й=ЧЙ; в=ЧЙ+ФК; (16.19) в =0; в =Чсз)пО; в =ф+фсозО .
(1620) Поэтому оба вектора в и К„расположены в плоскости П, движение которой относительно системы Я есть вращение вокруг неподвимсной оси Ог с угловой скоростью прецессии й. Ниже будет доказано, что в рассматриваемых физических условиях векторы в н К„не только расположены в плоскости П, но и неподвижны в ней. Поэтому скорости изменения удовлепюряют формуле Эйлера для расчета производной вектора постоянного модуля: со =Йх в; (16.21) Ко = 12 " Ко = ~о .
(16.22) В (16.22) вектор А„включен на основании теоремы об изменении главного момента количеств движений системы материальных точек. Формула (16.22) отражает влияние внешних сил на угловую скорость движения оси динамической симметрии твердого тела, когда вектор К„неподвижен в плоскости П . Для динамически симметричного тела в случае Эйлера дифференциальные уравнения сферического движения и их первые интегралы примут вид Йх -- — евгвг' Йг =евзсох, Йз =(1; со' +в„+вг(С/А) — = сопзг; в~ + вг + вз С/А — = сопзс . 28' 443 Из последнего уравнения (16.23) следует а» = — сопз1 = а, .
(16.26) На основании (16.25), (16.26) получаем г з г а + го„=- сопз1 = а„. (16.27) Решения (16.26) и (16.27) означают, что при движении тела модуль его угловой скорости вращения остается постоянным, т. е. 2 2 =аз» 4-азг+ез» =сопз1. Тогда, согласно (16.15) и (16.17), вектор оз образует с неподвижным вектором К„постоянный угол а.
Следовательно, при а ~ 0 постоянный по модулю вектор в может лишь вращаться вокруг вектора К„, а при а =0 он совпадает с неподвижным вектором К„, т. е. в обоих случаях поведение вектора ез соответствует уравнению (16.21), в котором й — пока неизвестная угловая скорость вектора Ю . Направим ось Ог системы Яя по вектору К„, а оси ОУ, и ОУ, системы Яз так, чтобы проекции К, = Ааг, и Кя, =К = Са, = сопя! были неотрицательны (рис. 16.6). Тогда будут не- отрицательны угол нутацни Е, проекции аг, =гл„и в =а, Из формулы К = К„созо, связывающей модуль вектора с его проекцией на ось ОУ, следует, что при постоянных Кя и К„ угол нутации в процессе движения тела не изменяется: Е= .1=0, >О; Е=О.
При угловой скорости нутации Е-=О вектор в=цй+фК расположен в плоскости П, образуя с вектором К„постоянный угол а . Это означает, что вектор ез неподвижен в плоскости П: в»2 = 0; и „з = го зш(е, — г») = ~р яп еа = сопз1 = а„> О; (16.28) ез»з Оъ сов(04 (х) гР + 1~/ сов Е 4 сопя! юг > 0 р 444 н поэтому й =фмсопз1=ф,>0; ф= — сопя!=ф,.
(16.29) Перейдем к количественным оценкам и исследуем зависимость констант ф„,фе,Ое от постоянных проекций в„и в< вектора со на оси системы Я . Из геометрических соображений (см. рис. 16.6) с180 = Кя1/К„1 = Сш, /(Аш„) =(е+ 1)а /а„> О, (16.30) т. е. при несовпадении оси динамической симметрии ОУ с направлением вектора в (в„> О) она описывает конус вокруг неподвижной оси Ое, образуя с ней постоянный угол О, < к/2 .
Рис. 16.6 Подставим выражения (16.28) для проекций вектора а в (16.30): Аф, з)пО, =С(ф, + ф, созО,)180,. Отсюда при япОе ~0 а.=ф,=сф,д(А-С)с О,]. (16.31) 445 Соотношение (16.31) указывает на то, что угловая скорость собственного вращения фК в зависимости от формы эллипсоида инерции тела либо совпадает по направлению с осью ОУ при С < А — нрямая регулярная прецессии, либо противоположна ей при С > А — обратная регулярная прецессии.
Итак, на основании формул (! 6.28) — (16.3 !) параметры регулярной прецессии удовлетворяют следующим уравнениям: С18ОС =(Е+1)ас/ПЭА';Ьгг =фе =ОЭ„/З!ПОС;фе =-ЕСОГ; (16.32) зР = оэ „г/з!и Ос + зув; гР = — ешг1+ гРс. Из двух первых формул ( ! 6.32) следует, что если пэ„-+ О, то угол О -+ О, а угловая скорость прецессии (! 6.33) йе = ф, -+ (1 + е)оэ, . Наглядное представление о регулярной прецессии можно получить. рассматривая, например, твердое тело в виде однородного кругового конуса, которое равномерно перекатывается без скольжения по внешней поверхности неподвижного кругового конуса при условии, что вершины конусов совпадают в точке О (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
