Termeh (523129), страница 55
Текст из файла (страница 55)
з ! 5.5). Так как в рамках зтой теории вектор К„постоянен по модулю, его изменение может быть вы- 458 (Са )' »(Ав,)'+(Ваг)'. Для тел с соотношением главных моментов инерции С>А, С > В условие (16.50) является следствием (16.47). Из рассмотренных трех вытекают еще два допущения приближенной теории гироскопа. 4. Вектор Ко имеет постоянный модуль, равный его проекции на ось собственного вращения ОУ: звано лишь поворотом, т.
е. скорость движения конца вектора Ко по его годографу может быть вычислена по формуле Эйлера й=йхКо, (16.53) указывающей на то, что ненулевой вектор й обязательно перпендикулярен вектору К, (рис. ! 6.14). Здесь й = Ко, а, согласно теореме об изменении главного момента количеств движений, Ко = ~о.
(16.54) С учетом (16.53), (16.54) в приближенной теории гироскопа Ко =й=й" Ко =~о. С помощью (16.55) несложно рассчитать скорость прецессии оси ОУ гироскопа по известному моменту внешних сил То и дополнительные силовые воздействия вращающегося ротора на пару опорных подшипников при известной скорости поворо- Г та собственной оси вращения ОУ ротора.
При этом следует иметь в виду, что по формуле (16.55) вектор й можно рассчитать лишь с точностью до Хая К, где Х— произвольное число. В самом деле, так как векторы азК и Ко коллинеарны, то (16.55) Рис. 16.14 459 (й ~- 2а, К) х Ко = Й х Ко. Формула (16.55) позволяет объяснить ряд важных свойств прецессионного движения оси ОУ.
1. Если на некотором интервале времени Е,„мО, то ймО. Следовательно, на этом интервале времени ось ОУ не имеет вынужденной прецессии (йм О) и сохраняет свое направление в инерциальной системе отсчета. Данное свойство используется в технике при построении навигационных систем. 2. Вынужденное прецессионное движение оси ОУ не обладает инерционным свойством.
Пока Хо ~ О, то й ~ О, й~ О и ось ОУ прецессирует. Но как только Ео мО, то сразу ймО, ймО и ось ОУ становится неподвижной, в отличие от невращающегося тела с одной неподвижной точкой, которое после, например, удара начинает двигаться. 3. Чем больше модуль ! скорости ф собственного вращения тела (езс =! ф!), тем с,.;й ! больше главный момент коли! Щ>!!Ко~ честв движений К„и меньше ~о скорость прецессии й при одном и том же главном мо- К,', менте внешних сил Х!! (рис. 16.15). О 4. Если на точку Р, распо~о ложенную на оси О2 вращаю- щегося гироскопа, подействоРис. 16Л5 вать силой Р перпендикулярно оси ОУ (рис. 16.16), то точ- У ка Р начнет двигаться не в на- правлении силы Г, а перпен- К о дикулярно ей — в направлении вектора момента Т„силы Г Р относительно неподвижной !гс точки О.
! 5. Вектор й вынужден- ной прецессии оси ОУ перпен! О й дикулярен вектору Ео . Для быстрого нахождения направления вектора й по извест! Е ным направлениям векторов о К„и Т можно использовать правило Н. Е. Жуковского, согласно которому направление круговой стрелки скорости прецессии Й совпадает с направлением кратчайшего поворота вектора К„ к вектору Е„ (рис. 16.17). 4бо Рнс. 16.17 Приведем примеры анализа динамики гироскопа с использованием формулы (16.55). Пример !6.4.
Рассчитать угловую скорость вынужденной прецессии волчка (рис. 16.18) в случае Лагранжа, если ось 02 динамической симметрии тяжелого быстровращающегося волчка составляет с вертикальной осью Оя инерциальной системы произвольный угол 8 (з(пй но) и скорость вращения волчка вокруг оси 02 юз = сопи= гщс>0, Реькеиис В вырюкении (16.55) нам известен горизонтальный вектор (о — — ОСх Р, модуль которого зависит от угла 8 наклона оси.
Рассчитаем кинематику движения оси волчка, т.е. законы изменения углов нутации и прецессии, полагая, что вектор К, направлен по оси Ос волчка. Из условия й = То следует, что вектор й горнзонтален, поэтому топограф вектора Ко является горизон- Рнс. 16.18 461 тальной кривой. Поскольку модуль вектора К, остаегся постоянным, то этой кривой может быть только окружность с центром на вертикальной оси Ог. Угол нутации при этом будет постоянным и равным своему начальному значению. Е 1=Е Таким образом, движение оси 02 волчка сопровождается изменением лишь угла прецессии ш. Скорость й вынужденного вращения (вынужденной прецессии) оси волчка направлена по вертикали.
Найдем модуль скорости прецессии ь) оси волчка 02 вокруг оси Ог с помощью основной формулы приближенной теории гироскопа (16.55). Сравним модули векторов й и (т,: Ц = )ако 51п Е,( = Ц = (Р(5)по,!. После сокрашения на з(пбс и 0 имеем Д =~РЦКд~ =(РЦК,(=)РЦ(Сыг)~ = сопщ. Прн указанном на рис. 16.18 направлении вектора й, если смотреть на волчок сверху, равномерное вращение вектора Ко вокруг вертикали с угловой скоростью (2 будет происходить в направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки, т.е.
векторы й, Ко, (и образуют правую тройку: й к Ко = (о . Полученный результат для й совпадает с выражением (16.45) для вынужденной прецессии волчка, т. е. скорость прецессии постоянна, не зависит от угла наклона оси волчка, прямо пропорциональна максимально возможному моменту силы тяжести вокруг точки 0 и обратно пропорциональна угловой скорости собственного вращения.
Пример )6.5. Пусть уравновешенный ротор быстро вращается относительно корпуса, например, статора мотора с постоянной угловой скоростью ы,, а корпус принудительно поворачивают в инерциальной системе с угловой скоростью ы, вокруг неподвижной оси Ог, проходящей через центр масс ротора. Рассчитать гироскопическую реакцию ротора на пару опорных подшипников (рис. 16.19). Решении Оценим дополнительную реакцию осн ротора на две ее опоры— подшипники А„и В, . Для простоты предположим, что ускорение центра масс ротора в инерциальной системе отсчета незначительно.
Тогда при отсутствии вращения корпуса реакция уравновешенного ротора на две опоры определится лишь положением линии действия силы тяжести ротора между подшипниками. Ротор будем считать гироскопом с неподвижным центром масс, расположенным в точке О. При расчете динамических реакций силу тяжести гироскопа учитывать не будем. В этом случае, согласно теореме о движении центра масс, динамическая реакция опор на ротор может быть лишь парой сил: Ф„= -Фл, 462 Для ротора озг = в, » о>з .
Постоянный молуль и направление вектора Ко известны: Ко = Св,. вектор Ко направлен по оси 02 ротора. Скорость вын) жденной прецессии оси ОЕ гироскопа равна угловой скорости корпуса; й = вз . При постоянном угле б=б между осями Ог и ОЕ годограф вектора Ко от вынужденного вращения с угловой скоростью й = в будет дугой окружности с центром, расположенном на оси вынужаенной прецессии Оа Скорость движения конца вектора Ко по его годографу й= озз хКг .
"ъл лг Гс гх Гг Гг г Гг ,.г г л Гг Рис. 16Л9 Согласно формуле (16.55), для обеспечения вынужденной прецессии на ротор должны действовать такие внешние силы, главный момент которых вокруг точки О Т, =и = в,хКо. (16.56) В рассматриваемом случае ими могут быть лишь реакции опор. Нас же интересует реакция ротора на опоры, т. е. (16.57) где Го — главный момент сил, приложенных к опорам со стороны ротора 463 С учезом ((6.56) выражение (!6.57) примет вид Го = — и = К„кол = Сш коз,, откуда Г,=Сш,ш,. пЕ.
Так как силы реакпии ротора на опорные подшипники образуют пару сил ( М, = Ма = И ) независимо от расположения центра масс относительно опор, то Го = МА„В„и М = Г„(А„В„= Сш,шз яшЕ/А,В, . Поскольку Л'я и й в обусловлены динамическими свойствами гироскопа, эта пара сил называется гиросклиичегклй реакцией. а сами силы — гироскопическими давлениями. Для отыскания направления сил Йз, Мв, приложенных к опорам со стороны ротора, можно использовать правило Н.
Е. Жуковского (рис. ! 6.20), согласно которому гироскопические давления направлены так, будто они стремятся повернуть вектор (со или о) вокруг точки О кратчайшим образом до совмещения с вектором угловой скорости вынужденной препессии озз . Здесь слово «бултоь означает, что на самом деле гироскопические давления приложены не к ротору. а к опорам. Рис. 16.20 464 16З. Общий случай движении твердого тела В общем случае движения твердое тело имеет шесть степеней свободы. Позтому для исследования его движения необходимо располагать шестью независимыми дифференциальными уравнениями динамики для шести обобщенных координат, задающих положение тела в инерциальной системе отсчета. Окончательный вид уравнений зависит от выбора обобщенных координат и теоретических основ, используемых для вывода. Введем инерциальную систему координат Я с осями Ох, Ог, О=.
а также жестко связанную с твердым телом систему Я с ортогональными главными осями инерции СХ С1; СУ в его центре масс 1рис. 16.2!). Обобщенными координатами могут служить три декартовы координаты х,, у,, зг центра масс твердого тела в системе Я, и три угла Эйлера у, О, 1р, задающих положение системы Я. относительно осей Кенига, параллельных осям системы Я„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
