Termeh (523129), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Определив из уравнений (17,26) и (! 7.25) 1 г ~в ('Уггвг 'Уггвзг)> АВ (17.23) (17.24) (17.25) (17.26) получаем )<в = (ег+<ог)(Угг+Угг). г л г г АВ Аналогично находим г + 4) ((уг + уг )+Мг(Хг +~ г)АВг АВ (17.28) — 2М(У Х<, + У„г)'; )АВ))кг. Как видно, динамические реакции подшипника и подпятника зависят от угловой скорости и углового ускорения тела, а также от распределения массы тела относительно оси его вращения.
Реакция опоры твердого тела, вращагощегося вокруг пеподвижпой точки Применим метод кинетостатики для определения реакции опоры твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О (рис. 17.3). Если трением в опоре пренебречь, то реакция опоры— сила, приложенная к твердому телу в точке О. Сила Я„не создает момент относительно точки О и осей координат, проходящих через эту точку. Поэтому для определения реакции опоры достаточно найти проекции на оси декартовой системы координат главного вектора системы сил, в которую входят активные силы Р'„, реакция опоры Фо и силы инерции Ф„точек тела.
Главный вектор сил инерции тела Я„„= — Ма, = — М(вхгг+<ехй<). (17.29) 480 Для определения проекций вектора Й„„ на оси декартовой системы координат представим входящие в (17.29) векторные произведения в виде определителей со у сог ез к ссс ' вусгс = е» ау аг 1 с' )с' ~с' "сх "ст "сг Раскрывая эти определители по элементам первой строки и принимая во внимание, что зсс = сс ус ус = с(соуУс — Озг)с )+ /(ОъгХс — щ 2с )+~(азха -соуХс ), находим ссс ™[(со> +слг)Хс +(ег азхслу))с (аг сехезг)хс )'* гсу" =М1(ез,.
+сох)гс +(вх — езусог)2с (аг+езуазх)Хс:1; (17.30) сс,."" =М1(сог+езу)Ус +(а„— езгезх)Хс -(вх+вгву)гс 1. Выражения (17.30) справедливы для проекции главного вектора сил инерции тела на оси как неподвижной Охуг, так и свя- занной ОХИ с телом систем координат. Проецирование вектора Я„„на связанные с телом оси координат предпочтительнее, так как распределение массы тела относительно таких осей фиксировано, и, следовательно, координаты центра масс — некоторые постоянные величины. В соответствии с принципом Даламбера система сил, включающая активные силы, реакцию опоры и силы инерции точек тела, уравновешена.
Поэтому равны нулю проекции на оси координат главного вектора этой системы сил, т. е. « Хо + ,'», Р<х + Мс<(<с г + сох )'" с + (ах (17.31) <схссг )1< (вх <ох<ах )У<.] = О; н 1о +,»,Рсг + Мс<(<вх +<ох))г +(вх /с 1 — сс„<сх)У< — (вх + <о,сох)Х< ]= О; О ~~~ ге <( х г) < ( г (17.33) <схссх)Х<' (вх +сох<от))<:]=О Уравнения (17.31) — (17.33) позволяют вычислить реакцию опоры (сферического шарнира), если известны угловая скорость и угловое ускорение тела. Динамическая реакция опоры определяется силами инерции и может быть найдена с помощью уравнений (17.31) — (17.33) при условии, что все Р'„= О.
(17.32) 17.5. Статическан и динамическая уравновешенность твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Статическая уравновешенность 482 Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, называют статически уравновешенным„если ось вращения проходит через его центр масс. В этом случае главный вектор сил инерции равен нулю, и из уравнений (17.23) и (17.24) получаем Х„' = — Х„', 14' — — — 1'4 . Это значит, что А„' = — Я;, т. е.
динамиче- ские реакции подшипника и подпятника образуют пару. Модули сил этой пары в соответствии с (17.27) и (17.28) определяются выражением я и А ( з+ 3)( .!т ж) Полученный результат не зависит от выбора центра приведения системы сил. Действительно, если в качестве центра приведения выбрать произвольную точку О на оси вращения тела (см. рис. 17.2), то уравнение (17.2б) будет иметь следующий вид: и „) М (Г„)=-Х„'ОА+Х„'ОВ+.У в +,У гс' =О. !=! Так как ось вращения тела — центральная, то Х„' = — Х„' и тогда АВ что аналогично выражению для Х„' в случае, когда за центр приведения системы сил была принята точка А. Такой же результат получается для.
);", и 1'„". Не меняются при изменении центра приведения и центробежные моменты инерции тела, т. е. .l . = 1„. и 1 =/ . Например: я я к я .У„=~ т„х„з„='~ т,Х (Х!, — ОА)=~т Х„Х вЂ” ОА'~ т„Х, . я=! й=! ь=! М Так как ) л!!,Х~ — — МХс — — О,то я=! я ,Х„г„= =.7 я=! Таким образом, в случае статической уравновешенности тела динамические реакции опор приводятся к паре сил и могут быть не равны нулю. Пара сил инерции может быть уравновешена только парой — динамическими реакциями опор. Модули реакции зависят от угловой скорости гся и углового ускорения ея твердого тела, распределения массы по его объему (что характеризуется центробежными моментами инерции У и .У ), а также от расстояния между опорами.
Пример !7.2. Однородный стержень СО (рис. 17.4) массой л» и длиной 2! вращается с. постоянной угловой скоростью м вокруг вертикальной оси Ос. Определить динамические реакции подпятника А и подшипника В, если расстояние между ними !». причем ОА = ОВ. Рис. 17.4 Решение. При равномерном вращении сила инерции элемента стержня, масса которого т», по модулю равна Ф» = т»ге з)па !» . Следовательно, интен- 2 сивность снл инерции изменяется вдоль стержня по линейному закону.
Распределенные силы инерции на каждом из участков стержня ОС и ОР можно 1 з заменить равнодействующими Н„„, равными по модулю — щ!сз чйпа и при- 2 ложенными в точках Е и М, отстоящих' от точки О на -1. Равнодействующие 3 Я„„сил инерции для участков стержня образуют пару, модуль момента которой з з. равен -и! со з)п 2а . Эта пара сил уравновешивается парой, образованной ди- 6 484 намическими реакниямн подглипника и подпятника.
Так как расстояние межа> опорами 6.то !1'!=Ц= — яРв з!п2а. Такой же результат может быть получен при использовании уравнений (17.23) — (17.26). По условию ланной задачи а =О. Ось АХ является главной осью инернии стержня Сь) в точке А, так как она перпендикулярна плоскости симметрии стержня. Поэтому ю (17.23) и (17.26) следует. что Х„' = Х„' = О. Из .я 1 уравнения (17.25) получаем 1'в = —,/нез .
6 Центробежный момент инерции стержня я и 1 з . з, =~~~ яз)з2„=2'яД„з!па(ОА+~зсоза)= — я( яп2а. ьм 6 Следовательно. Ув =- — я) я яп2а, я ! з 3 66 а )„~=~ул Динамическая уравновешенность Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, называют динамически уравновешенным, если равны нулю динамические реакции подшипника и подпятника. Из уравнения (17.27) следует, что динамическая реакция Яв' подшипника будет равна нулю, если,У =.Угз =О, т. е. если ось А2 вращения тела будет его главной осью инерции в точке А. Чтобы при этом была равна нулю и динамическая реакция подпятника, необходимо, как это следует из (17.28), чтобы равнялись нулю не только центробежные моменты инерции У и 7гз, но и координаты Хг и 1; центра масс тела. Второе условие может быть выполнено, если ось АУ будет проходить через центр масс тела, т.
е. будет центральной осью. Таким образом, вращающееся вокруг неподвижной оси твердое тело будет динамически уравновешено, если ось вращения является его главной центральной осью инерции. В случае, когда ось ОУ вращения тела является его главной осью инерции в какой-либо точке О (см. рис. 17.2), но не прохо- 485 дит через центр масс, центробежные моменты инерции 7„т =О, ,7, = О и уравнения для определения динамических реакций подпятника А и подшипника В принимают вид Х„' + Хя + Мел )г + Ма)а Х<, — — О; Г; + ул' — МвлХ< + Моз~) г = О; (17.34) (17.35) уллОА увлОВ = О ' (17.3б) (17.37) ' ХАлОА ь ХвОВ = О Отсюда находим ОВ АВ ОА ~В М АВ (17.38) (17.39) В этом случае главный момент сил инерции тела относительно точки О равен нулю, и система сил инерции приводится к равнодействующей, приложенной в точке О и равной по модулю Поэтому динамическими реакциями Пример 17.3.
Однородный диск массой М равномерно вращается вокруг оси 07 с угловой скоростью ы (рис. 17.5). Расстояние от оси 02 до центра масс лиска (точки < ) равно л. Найти динамические реакции опор. Реьяеииа Поместим начало связанной с диском системы координат в точку 0 пересечения оси ОХ с горизонтальной плоскостью симметрии диска. Ось ОУ направим так. чтобы она проходили через центр масс диска. В этом случае ось 02 будет главной осью инерции диска в точке О, и, следовательно, ./зт = О, .1<я = О и Хг = О. Это значит, что система сил инерции диска приводится к равнодействующей, которая приложена в точке 0 и расположена вдоль оси 0 У.
При принятых условиях из уравнений (17.34) и (17.37) находим Х„' = Хлх = О, а из уравнений (17.35) н (17.36) получаем 0В 0А )й = Мез )< ° Уй = АВ АВ 486 опор будут параллельные силы Я,л и Вла, которые направлены противоположно равнодействующей сил инерции тела, а их мо- дули (17.38), (17.39) обратно пропорциональны расстояниям от центра приведения О до соответствующей опоры. Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
