Termeh (523129), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Вектор-градиент расположен вдоль главной нормали к поверхности ~(х, у, х, 1) = О . Поэтому условие (18.6) означает, что вектор ЬР ортогонален главной нормали и, следовательно, расположен вдоль касательной. Таким образом, если на точку наложена голономная удерживающая связь, то возможными перемещениями точки из положения, занимаемого ею в какой-либо момент времени, являются бесконечно малые векторы ЬР, расположенные в касательной плоскости к поверхности ~(х, у, х, г) = О, зафиксированной в этот момент времени. 501 Установим связь между элементарными действительными и возможными перемещениями точки.
Если наложенная на точку дг" связь стационарная, то — = О и условие (18.5) аналогично услодг вию (18.6). Следовательно, если связь стационарная, то элементарное действительное перемещение точки совпадает с одним из возможных. При нестационарной связи проекции вектора !Зг удовлетворяют условию; не совпадающему с условием для проекций вектора Ьг . В этом случае элементарное действительное перемещение точки не принадлежит к числу возможных. Этим выводам можно дать геометрическую интерпретацию. Если связь голономная и стационарная, то ее можно рассматривать как поверхность, на которой должна находиться материальная точка.
Условие (18.6) означает, что векторы ЬР возможных перемещений точки располагаются в касательной плоскости, проведенной в той точке поверхности, в которой в данный момент времени находится материальная точка. В той же плоскости, согласно условию (18.5), должен расположиться и вектор с!г элементарного действительного перемещения точки. Если же связь голономная, но не стационарная, то действительное перемещение точки можно рассматривать как результат двух движений: переносного — вместе с изменяющейся поверхностью (связью) — и относительного — движения точки относительно фиксированной («замороженной») в данный момент времени поверхности.
Возможное перемещение, согласно его определению, соответствует только относительному движению точки. Поэтому в случае нестационарной связи действительное перемещение точки не совпадает ни с одним из возможных ее перемещений. Возмомспым перемещением системы называется любая совокупность возможных перемещений всех ее точек. Для системы, состоящей из Ф точек, возможны ЗФ вариаций декартовых координат. Если на систему наложено т голономных удерживающих связей, то вариации координат точек системы должны удовлетворять следующим условиям: ' ( дг, дг", дг'; 'з ~ — 'Ьх„+ — 'Ьу„+ — 2 Ьг„= О, ) = 1, 2, ..., т .
!=! е й 502 Для системы с голономными связями число степеней свободы равно числу независиыьп обоби1енных координат. В каждый момент времени положение системы может быть определено как в декартовых, так и в обобщенных координатах. Поэтому действительное и возможные перемещения любой точки системы выражаются через ее обобщенные координаты. Для системы с и степенями свободы радиус-вектор квкдой точки является функцией обобщенных координат и времени г, = гя(д„а„..., д„, 1) . Следовательно, возможное перемещение можно вычислить как полный дифференциал функции г„(д„г) при фиксированном времени: дГ д.—, Ь-; ' дуя = — дг), + — бг11 + ...
+ — 61)„. дг), д(1з дд„ Таким образом, и д-. =',).— "д,, =1 Й, дг„дла т дг„т дга— ГДŠ— = — 1+ — /+ — А . д), д), д), д), Элементарное действительное перемещение точки определяется как полный дифференциал функции р (д„1), но время при этом не фиксируется: дг„дта 'гря =Х вЂ” "Ф+ — 'д1. ,, дг), ' д1 Пример 18.3. Выразить возможные перемещения точек А и В стержня (рис. 18.5) через его обобщенную координату. Рещение.
Положение стержня в плоскости Оху определяется четырьмя декартовыми координатами точек А и В. Уравнения голономных стационарных связей, наложенных на стержень, имеют вид х„=О; у„=О; х„+ул-! =О, з 2 2 где 1= АВ. Число степеней свободы и = 1, и в качестве обобщенной координаты можно выбрать угол и, который стержень образует с осью Ох. Радиус-вектор точки А равен г„=х„(. Так как х„=1соаф, то ЬГ„= — бф! = -1я!пф.бф1. Ьхх дф 503 Рис. 185 Лиелогичио РелиУс-иектоР точки о Рв — — 1З1отР 1 и огл =!соке Ь<р!'. Если на систему, состоящую из Ф материальных точек, наложено т голономных и ь неголономных связей, то число обобщенных координат п=31т' — т. Обобщенные координаты и их производные по времени должны удовлетворять з уравнениям неголономных связей.
Если неголономные связи линейны относительно обобщенных скоростей с),, то для вариаций обобщенных координат могут быть получены ь уравнений вида а„(т1„!)бс), + а„(д„!)бс1, + ... + а,„(д„!)Ь1„= О, т=1,2,...,ь. Число независимых вариаций обобщенных координат, а значит, и число степеней свободы неголономных систем п, =ЗА! — т — в. Таким образом, число обобщенных координат болыае числа степеней свободы, и обобщенные координаты негтюнимных систем не являются независимесии. 182. Возможная работа свлы. Идеальные связи Возможной рабопюй силы называется работа силы на любом возможном перемещении точки ее приложения: бА(Р)=Р 8Р.
504 Для вычисления возможной работы можно применять известные формулы для элементарной работы силы, подставляя вместо элементарного действительного а'г возможное ЬР перемещение точки. При использовании декартовых координат ЬА(Г) = Г„бх+ Рябу+ Г.бг. Например, возможная работа горизонтальной силы Р, приложенной к стержню в точке С (см.
рис. 18.5), равна ЬА(Г) = =Г„бх, . Танкан Г„= — Г, х, =ВСсоз!р и Ьх< —— — ВСз!и!р б<р,то ЬА(Г) = РВС з!и р. Ь<р . Если к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси Ог приложена сила Р, момент которой относительно осн равен М, то БА(Г) =М,бр, где б!р — возможный угол поворота тела вокруг оси Ог. Установив понятие возможной работы силы, можно расширить классификацию связей, разделяя их на идеальные и неидеальные.
Связи называются идеальными, если равна нулю сумма элементарных работ реакций этих связей на любом возможном перемещении системы (из занимаемого в данный момент времени положения). Для идеальных связей н ,)„Я„бг, =О ь=! или и ,) (Я~,бх„+ Я!убу„+ Янбг„) = О, я.! Полагая связи идеальными, можно решить задачу динамики несвободной системы. Эта задача состоит в том, что для данной системы с заданными активными силами и начальными условиями нужно найти уравнения движения и реакции связей. Например, если материальная точка движется по гладкой поверхности, уравнение которой ~(х, у, г) = О, то нормальная реакция У = Хйга!1/', где 1!, — неопределенный множитель Лагранжа. 32 зэк.
!6 505 Уравнение связи совместно с дифференциальными уравнениями движения точки образует замкнутую систему уравнений. Эта система уравнений позволяет определить как уравнения движения точки, так и множитель Лагранжа, а значит, и нормальную реакцию связи Приведем примеры идеальных связей. 1. Гладкая поверхность (плоскость) для материальной точки (рис. 18.6). В этом случае бА(й)=Я ьг =~я) (Ь-! (Л,бг)=О, так как вектор Я расположен вдоль нормали к поверхности и, следовательно, ортогонален вектору Ьг возможного перемещения точки.
2. Нерастяжимая нить. Реакция нити — сила ее натяжения— ортогональна возможному перемещению точки ее приложения. Позтому Ф 5Р=О. 3. Цилиндрические и сферические шарниры, если поверхности соприкасающихся тел считаются идеально гладкими. Если твердое тело при помощи шарнира прикреплено к неподвижной опоре (рис. 18.7, а), то реакция приложена к неподвижной точке. Возможное перемещение такой точки равно нулю и ЬА(Я) = Лбго = 0 .
Рис. 18.7 Если два твердых тела при помощи шарнира с идеально гладкими поверхностями соединены между собой, то ЬА(Я, ) + ЬА(Я2) = 4 Ьо + лз ' Йо = (Я1 + Яз ) Ьго = О, поскольку Х, = — Я, (силы действия и противодействия). 4. Твердая шероховатая поверхность для цилиндрического катка при качении без скольжения. Контакт катка с поверхностью происходит по линии. Поэтому реакцией связи является система сил, распределенных вдоль линии контакта.
Возможная работа сил реакции равна нулю, так как они приложены к неподвижным в каждый момент времени точкам — МЦС сечений катка. 18.3. Обобщенные силы В аналитической механике наряду с понятием о силе как векторной величине, характеризующей воздействие на данное тело со стороны других материальных тел, используют поня- 507 за* тие об обобщенной силе.
Для определения обобщенной силы рассмотрим возможную работу сил, приложенных к точкам системы, н н ) БАА ) =ч Р!, ' бее Ф ! к-! Если механическая система прн наложенных на нее голономных удерживающих связях имеет п степеней свободы, то положение этой системы определяется д„а,, ..., д„обобщенными координатами и г1 = г1 (д„дз,..., ц„, г) . Возможное перемещение к-й точки Бг, =,1 — бд, " дг, -! дч! Подставляя бгь в формулу для возможной работы сил, получаем 2 бА(Р,)=~Г, ~ — "Ь|!=~ ч~'Г, — 'Ь|,. — Й.-, Скалярную величину ,') Г, — =Я называют обобщен- а! дч! ной силой, соответствующей !-й обобщенной координате.
Таким образом, обобщенной силой, соответствующей !-й обобщенной координате, называется величина, равная коэффициенту |ри вариации данной обобщенной координаты в выражении возможной работы сил, действующих на механическую систему. В общем случае обобщенная сила является функцией обобщенных координат, скоростей точек системы и времени. Из определения следует, что обобщенная сила — скалярная величина, которая зависит от выбранных для данной механической системы обобщенных координат. Это значит, что прн изменении набора обобщенных координат, определяющих положение данной системы, изменятся и обобщенные силы. Так, для диска радиусом г и массой т, который катится без скольжения по наклонной плоскости (рис.
18.8), за обобщенные координаты можно принять либо з — координата центра масс диска, либо <р — угол поворота диска. Если пренебречь сопротивлением качению, то в пер- 508 вом случае обобщенной силой будет Д, = »вяяп а, а во втором— Д =»вягяпа. Обобщенная координата определяет и единицу измерения соответствующей обобщенной силы. Из выражения ,'1„ЬА(Г ) = ~ДЩ следует, что единица измерения обобщен- »-1 ьа ной силы равна единице измерения работы, деленной на единицу измерения обобщенной координаты. Если в качестве обобщенной координаты о, прння»ь координату какой-либо точки, то единица измерения обобщенной силы Д, будет ньютон, если же в качестве д, будет принят угол поворота тела, то единицей измерения будет ньютон на метр.
Рис. 18.8 Существуют различные способы вычисления обобщенных сил. 1. Согласно определению, обобщенная сила — дг» 0 =ХР» ' Ф Принимая во внимание, что г» = х» г + у» у + хф, получаем 509 Этот способ определения обобщенных сил называют аналитическим. Пример !8.4. Найти обобщенную силу Д~, если в кривошипно-ползунном механизме (рис. 18.9) ОА = АВ =1, Р; — вертикальная, а Р— горизонтальная силы. Рис. 18.9 Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
