Termeh (523129), страница 65
Текст из файла (страница 65)
дТ д3 2 ' ' дг~д(! 2 ' ' а дТ 1 г г г — = — глг1 ф+1 (т,соз ф+игбз1п ф) ф, дф 3 — — =-т ! ф+! (тбсоз ф+тбз1п ф)ф+1 з!п2ф(тб тб)ф 41 дТ 1 гдг~ д,) 3 — =1 з!п2ф(тб-ег)Ф . дТ1.г дф Для нахождения обобщенных сил Д, н Я, разделим приложенные к системе силы на потенциальные и непотенциальные (потенциальными для данной системы являются силы тяжести и упругости пружин, а непотенциальными— силы пары с моментом М,(1) .
а затем каждую обобщенную силу определим как сумму: ~г'ЬА(Р4) ГДЕ Д1" = —; Дт двг ' Потенциальная энергия системы 1 1 г П = — с (л-1япф) + — с 1 (1-созф) --т д(1-созф)1-е д(1-созф)! . 1 2 4 2 г б Тогда Оп = -с,(з -1з!игр); Дб =-с41 (1-созф)з!пф+с11(з-1з!пф)созф+д1~-тг+тб згпбр; п г (1 Д„= — = —; Д =О.
нп М1бф1 М1, нп Ьз г Таким образом, Д, =-сг(з-1з!пф)+М,/г; 41 Д =-с41'(1-созф)з!пф+сг1(б-1з!пф)волф+я! -т,+т, з!пбр. 535 Подставляя значения производных от кинетической энергии и выражения лля обобшенныь сил О, и О„в )равнения (1840). получаем дифференииать- ныс ) равнения движения системы 3 — т 3 ее.,з — сз)я(пят =.1! /г; 2 1 -т,! ф+I (т,соя е+т,з(п р)ч)-сз!(з-!я(пяз)созф+ (1 чс„l (1-сощ)з)пе-81 — ям+та з(п<р=о.
(,2 18,6 Интегральные варнацнонные принципы механики Интегральные вариационные принципы механики характеризуют свойство движений механических систем на конечных промежутках времени. Системе дифференциальных уравнений, определяющих движение механической системы с п степенями свободы, на временном отрезке [(„11] соответствует определенный интеграл (действие) вида Я[фг)]= )Ф[д,ф,г)сгг, где Ф[д,д,т) — заданная функция н обобщенных координат д,[1), н обобщенных скоростей д,[Г) и времени Г, с помощью которой описывается движение механической системы.
Для определения Я[у[()1 строят однопараметрическое семейство траекторий, содержащих заданную траекторию (прямой путь) и траектории сравнения (окольные пути), и делают вывод о вариационных свойствах движения по заданной траектории, где действие имеет минимальное значение. Вариационные принципы отличаются по виду действия, экстремум которого реализуется, и по выбору класса допустимых траекторий, на которых рассматривается экстремум действия. Вариационный принцип объединяет положения механики и, будучи принятым за аксиому, позволяет вывести все законы механики; при этом вариационная форма закона не зависит от конкретного выбора обобщенных координат. 536 Изменение функции Вариации функции Пусть механическая система имеет одну степень свободы.
Примем, что ее положение определяется координатой Ч. Тогда дифференциальное уравнение движения в разрешенной относительно ускорения форме имеет вид ч'=ЛЧ,Ч,г). Решение данного дифференциального уравнения при начальных УсловиЯх [Чо,ч ] в заданный момент вРемени го опРеделЯет движение механической системы в виде Ч=ч(чо~Чо~Г го) и образует двухпараметрическое семейство линий. Если зафиксировать точку Ч, через которую будут проходить линии семейства, и изменять лишь направление касательной, то полученное семейство линий будет однопараметрическим.
Представим уравнение данного семейства, обозначив Ч = а, в виде Ч = Ч(до, г) = Ч(а, г). (18.4! ) Тогда изменения функции, связанные с изменением аргументов г и а, будут соответственно (рис. 18.18, а) Й,= — й; бЧ = — Иа. Ч~(1~- Ч(г+ Рис. 18.18 537 34 зас 16 Следовательно, полное изменение функции (18.41) имеет вид Лд= д аг+ — Ыа. (18.42) Подсчитаем полное изменение функции д(а+аа,г+аг)— — д(а, г) геометрически.
На (рис. 18.18, б) видно, что данное изменение примерно равно сумме отрезков ЬЬ, и са'. Отрезок ЬЬ, равен разности ординат траектории д(г), определяемой параметром а, и другой, бесконечно близкой к ней траектории д,(г), определяемой параметром а+аа, следовательно ЬЬ, =(дд/да)аа. Соответственно отрезок са = (дд/дг)аг и, следовательно, линейная часть разности двух функций в окрестности точки (а, г) определяет полное изменение функции д = д(а, г) как ад =д(а+ Йа, г+сН) — д(а, г) =~ — ~с~а+~ — )Йг. -~д.~" ~д) В механике Ьд называют полной вариацией функции д=д(а,г), а бд=~ — )Иа — изохронной вариацией функции дд 1,да! д = д(а, г); представим соотношение (18.42) в виде Лд=даг+бд.
Пусть а имеет фиксированное значение а,. Подставим в (18.41) вместо а значение а+а, . Тогда уравнение (18.41) в пространстве 11д, г) ~ будет определять траекторию, заданную параметром а, =О. Покажем, что для изохронной вариации операции варьирования и дифференцирования, а также варьирования и интегрирования коммугативны. Действительно, в силу определения бд = д, (а + Иа, г) — д(а, г) . (18.43) Дифференцируя по времени обе части данного равенства, находим а1(бд) сЦ,(а+да,г) й~(а,г) 538 Правая часть полученного уравнения представляет собой раз- ность между производными однопараметрического семейства, подсчитанными в фиксированный момент времени.
Следова- тельно, Й««, (а +»'(а, «) «««)(а, «) «й« ««« !««й нли Ы(Ь«) Ь( «д) (18.44) ««««« ПРоинтегРиРовав (18.43) по вРемени на отРезке 1«с, ««], полУчим »! »! !! ~Ь»«««« = ~««, (а+ ««и, «)й — ~««(а, «)й. !» !» !» Так как правая часть найденного уравнения представляет собой разность между интегралами от линий соответствующего однопараметрического семейства, то »! !! ~ 4»! (а + ««а, «)««« — $««(а, «)««« = Ь $д(а, «)й !» !» !» ! и, следовательно, »! !! ~Ь«1««« = Ь ~у(а, Щ.
(18.45) !» !» Вычислим полную вариацию ингеграла с переменными верхним и нижним пределами. Пусть интеграл Я определен на однопараметрическом семействе линий Д = Д(а, «), т. е. », (») Я(а) = )У" '«1, Яа, «), Яа, «))й . !»(»! Дифференцируя Я(а) по параметру а, получаем Я (а) ~ «(а, «! ) — / ~ «(««, «9 ) — ~ + ~ — — + —, — «««, Й«~ ~ да~,~дада, дДда! Преобразуем второе подынтегральное слагаемое найденного уравнения, используя коммугативность операций дифференцирования (!«/й) и (д/Ьа): 34* 539 Окончательно имеем В'(а) = у — + —. ~ — 1 — ~ —.~- — — (г. (18.4б) а~а дД да~, ~й(дД~ дД~ да Отметим, что для механической системы с п степенями свободы траектории дв(а, г) могут быть заданы параметрическими уравнениями а„(а, г) = а, (г) + Ба, (а, г); а„(а, г) = а,. (г) + Ьд,(а, г) (1 = 1, ...„и) . Лранции нааменьтего действия Гамильтона Рассмотрим механическую систему с идеальными связями в потенциальном поле сил.
Пусть т» — траектория lс-й точки системы, по которой происходит перемещение точки ю положения А», занимаемого точкой в момент времени г», в положение В, соответствующее моменту времени г,. Таким образом, время движения всех точек системы ю исходного положения в конечное одинаково и равно г, — г . Наряду с истинной будем рассматривать кинематически возможную траекторию (допускаемую наложенными связями), по которой рассматриваемая точка может перемещаться из положения А» в В» за тот же промежуток времени.
Если в некоторый момент времени г (гр <г < г,) я-я точка системы занимает в истинном движении положение М, а в возможном М», то вектор Ьг» -— М»М» определит изохронную вариацию радиус-вектора данной точки. Так как все возможные траектории начинаются в А. и заканчиваются в В, то бг»(г») = бг»(г,) = О. (18.47) Представим общее уравнение механики в виде 540 "(- и1 ~~~к„-, — ~ ~Ь.-„= 0.
а! (18.48) ния, находим с((бгз ) = ~ — )сгг = ~ Ь вЂ” ~сгг = Ь!74 ссс; (с! ~ Ыс3 !! !! !! !о с! Суммируя в соответствии с уравнением (18.49) полученные соотношения, окончательно имеем Я ~ „— ')Ьг„(с=~8~"~ " '~ж=~бта=8~та!, (18.5!) И нтегрируя (18.48) на отрезке [с4, с, ], получаем я/ (18.49) с!7 Преобразуем первое слагаемое равенства (18.49), принимая во внимание, что действующие на механическую систему активные силы потенциальны. Так как ) Р'„Ьг„= — ЬП, где П вЂ” потен- 4.! циальная энергия системы, на основании свойства (18.45) изохронной вариации можно записать '! М !! Я Р'„Ьг4й= 1 — ЬПй= — Ь~Пйс.
(18.50) !„4=1 с! Каждое из слагаемых, входящих во вторую сумму уравнения (18.49), преобразуем, применяя правило интегрирования по частям: с! !! и — ")Ьг„й=т~ ~б~„с!~~ =т„(гсбг4)(,' — и ~ю„Ы(бг4). сй ~ Безынтегральное слагаемое в последнем уравнении равно нулю, поскольку вариации координат на границе, согласно свойству (18.47), равны нулю. На основании свойства изохронной вариации (18.44), меняя порядок варьирования и дифференцирова- н где Т = — ~ т,рь — кинетическая энергия системы. 2 ни Принимая во внимание соотношения (18.50), (18.51), преобразуем уравнение (18.49) к виду (( фт-п)ас=б~Ы=О, ц (( где Ь = Т вЂ” П вЂ” функция Лагранжа. Выражение (( ю= 1ы (( называется действием по Гамильтону, и соотношение (18.52) примет вид Ы=О. (18.54) Равенство (18.54) выражает принцип наименьшего действия Гамильтопт среди «инематически возможных движений системы, совершаемых за один и тот же промежуток времени, истинньин будет то движение, для которого действие по Гамильтону Я имеет стационарное значение.
Пользуясь принципом Гамильтона, можно вывести уравнения Лагранжа второго рода. Выразим функцию Лагранжа А в зависимости от обобщенных координат д( и скоростей д,: ~=йч - 9.(А -А.) н применим принцип Гамильтона. Вычислим вариацию действия ' "(и и н=(1ы(= 1(и = 1Я вЂ” ц(+ — ц )а. дЯ( ' дф( используя правило интегрирования по частям слагаемых, содержащих производные, меняя порядок варьирования и дифференцирования: " " Г дЬ дЕ я= 1г~ — ц, ° —,ц,]а= ((н.~б% ' Й( 542 Безынтегральная сумма обращается в ноль, так как согласно условию (18 47), бо,((о) =бе,.(1,) = О.
На основании уравнения (18.54), Вследствие независимости и произвольности Ь((, выражения в скобках равны нулю, что и приводит к уравнениям Лагранжа второго рода Ег(Т.) = — — — — = О (ю'=1, ..., и), (18.55) с((дТ,1 дА пгг ~дд, ! Йу, записанным с использованием оператора Эйлера Пример 18.11. Составить уравнение Лагранжа, если движение материальной точки происходит в поле действия силы тяготения. Решение. В качестве обобщенных координат выберем декартовы коордннаты о, =х,о2 =у.
Кинетическая Т н потенцнальная П энергии соответственно равны Т= — (х +у ), П=— т,э ., )г 2 ' хг+уэ ' Подставнм функцию Лагранжа ).=Т вЂ” П в уравнения (18.55) н найдем дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах: хт .. Ау 1~(х' + У')' Э/(х'+ У')' Если в качестве обобщенных коордннат теперь выбрать полярные коорднна- ты о, = г, д = ф,то кинетическая н потенцнальнвя энергии будут определаться соответственно выражениями Т = — (г + г <р ); П = —, ж г я я, 2 г а днфференцнальные уравнения движения точки (18.55) прнмуг внд И ж(г'-гфэ) =- —; — (ягг ф) =О. г ' Ж 543 Тот факт, что координата гр не входит в выражение для функции Ларанжа, дает возможность получить из уравнений движения первый интеграл, выражнощий закон сохранения момента количества движения, в виде жгзф С,.
Таким образом, вид уравнений Ларанжа сохраняется независимо от выбора обобщенных координат, однако удачный их выбор (полярные) существенно упрощает структуру уравнений движения, а следовательно, и анализ движения. Принцип наименьшего действия был установлен ирландским математиком У. Гамильтоном в работах 1833 — 1 835 гг. для случая стационарных голономных связей и был обобщен М. В. Остроградским в 1848 г. на случай нестационарных связей. В работах Л.
Больцмана (1866), Р. Клаузиуса (1871), Г. Гельмгольца (1895) показано, что принцип наименьшего действия Гамильтона дает общую основу методики исследования разных физических процессов в механике, оптике, электрогидродинамике. Принцип наименьшего действия Мюнертюи-Лагранжа Рассмотрим движение механической системы в поле действия потенциальных сил. За класс допустимых линий выберем траектории, переводящие систему из начальной конфигурации А, соответствующей моменту времени г„в конечную В, соответствующую моменту времени гг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
