Termeh (523129), страница 66
Текст из файла (страница 66)
При этом считаем, что на всех траекториях сравнения система обладает одной и той же механической энергией. Поскольку силы потенциальны, выполняется закон сохранения механической энергии Т+ П = 7з, где й — постоянная величина. Следовательно, скорости точек зависят от положения системы в данный момент времени, и потому время, в течение которого система переходит из точки А в В, зависит от траектории движения, и система, совершая перемещения по различным кинематически допустимым траекториям, будет приходить в точку В в разные моменты времени гг .
Индекс «1» указывает на то, что переменная величина гг определяет момент прихода системы в точку В. Рассмотрим действие по Гамильтону (18.53) и подсчитаем полную вариацию Я в соответствии с формулой (18.46), учитывая переменность верхнего предела гг: о ' " ! дХ дЕ ы=и~!'; ° 1иа=жи~/," ° 1ь( — ьд, ° — ч,)а= ь..~а~, ' дд, И ~ ~ " д2. ЕЬс! — ", Ь!2,(г!)~ — ~ЕЬ| — ,') Ь!у,(г ) + (18.56) , , дг),(с! ) ' ~ ~ ,.! д!),(го ) + 1 5 — — — — Ь!2,ой. Преобразуем безынтегральную часть полной вариации Ьо .
Из соотношения (18.43) следует ьц,(~о) =Ьд,(~о)+д,Ь|о; Ьц,(г!) =Ьд,(г!)+д,.дг! (!=1,...,л). Выразив из данных уравнений Ь!у,(го), Ь!у,(г!) и подставив их в безынтегральные слагаемые уравнения (18.56), получим гбг, ') Ьд,(г!)— е дь 2.8г, -',)", М(го) = =! Ф(го) д2.
~ = 2, — ~ 8,(г, ) , 18 ' д!),(г,)~ — Х вЂ” ~д,(го) дЕ г! + ) ~Ч,(~! )— г=! ~г ~! д2, Ьго + Х ° ~1ЧЛго) , ! дЧ~(го) Время го фиксировано, поэтому Ь!о =О. Так как начальная А и конечная В точки движения механической системы известны: д,(ео)=сопз1, д,(Е!)=сопз1, то Лд(Го)=О, Л!2,(С!)=О (! =1,..., п). Потенциальная энергия П зависит от обобщенных коорди- (дП д2, дТ нат — = О и, следовательно, — = —. Кинетическая энергия д!), д!)! д!)! представляет однородную квадратичную относительно скоростей форму, поэтому 545 и дг и дT ~!), — = ~ф, — = 2Т. Й, =! Й Таким образом, безынтегральная часть уравнения (18,56) будет равна с . ~-д,(г!) " ~бг!=[(Т и) 2Т]Ь~!= [Т+П),= Ьб,!.
Ж,(г!) ) а полная вариация действия Я примет вид в ЬЮ = — 7!Ьг! — !)Я Е, (Е)багЕг, ч /=! или и Л(5+7!г!) = — Ц~ Е,(Е)бд,ог. ч ~=! Поскольку траектории движения удовлетворяют уравнениям Лагранжа (18.55), из последнего уравнения следует Ь(Я+ Ьг!) =О.
(18.57) Принимая во внимание закон сохранения механической энергии Т+ П = 7!, из соотношения (18.53) находим !) ь Я = )Ей = (1(Т Л)й = ()2Тй lф! го) ь ь или Я + 7и! — — — )2ТЙ! + Ьгь ч Определенный интеграл ИГ=Ю+Ь~, =Ьта! 5 (18.58) (18.59) 546 называется действием ао Лагранжу. Вычислим полную вариацию от обеих частей уравнения (18.58) и, учитывая, что вариация постоянной равна нулю (!з(Ь|,) = О), представим соотношение (18.57) в виде н Л1Р= ')8(2Т)а=О.
ь Таким образом, при действительном движении с!)Г=О и принцип Мюпертюи — Лагранжа формулируется следующим образом: действительное движение голономной консервативной системы между двумя заданными конфигурациями А и В отличается опг кинематически возможных движений, совергиаемых между теми же конфигцзациями и с той же полной механической энергией, тем, что для действительного двизгсениа, действие по Лагранжу имеет стационарное значение. Из принципа наименьшего действия в форме Лагранжа можно получить уравнения движения голономной консервативной системы.
Вычислив в соответствии с (18.59) полную вариацию функции И', находим соотношение Л(Я+ Ь~,) = -~~ Е,(ЕЯц,й =О, ч откуда вследствие произвольности и независимости вариаций 89, приходим к уравнениям Лагранжа (18.55). Рассмотрим применение принципов Гамильтона и Лагранжа к исследованию движения материальной точки массой м по гладкой поверхности при отсутствии активных сил. ! Согласно закону сохранения энергии, — мг = солж и, следовательно 2 у = сопзг .
В соответствие с принципом Гамильтона действие 5 имеет минимальное значение для действительного движения по сравнению с кинематически возможными движениями, совершаемыми за один и тот же промежуток времени. Для рассматриваемого случая 5=)(Г-П)й=~~ — шт Аг= — мт )г, » ох 2 ) ь2 а значит, пнп5=ш!ш-мт )г=гш1п~ — лп ). » г (,2 ) (,2 Отсюда следует, что т = т,„. Из всех кинематически возможных движений, совершаемых между точками'А и В за один и тот же промежуток времени г, но с различными постоянными скоростями, действительным будет то, для которого » =т,„.
Но так как»»5/»гг=» и, то 5=» мг и движение по поверхности происходит в кратчайшее время и по кратчайшему пути, т. е. по геодезической линии. В соответствии с принципом Лагранвзь действие И' имеет минимальное значение для действительного движения по сравнению с кинемвгически возможными движениями, совершаемыми между точками А и В с одной и той же энергией.
Для рассматриваемого случая 547 Г (г' = 2 )ТсЫ= '1(шг~)г(Г = (тг~)Г, о о а значит. ш! и И' = ш!п(лзг ~ )г = (юг ) ш (п(г), Отсюда следует, что г =г и, поскольку на основании закона сохранения энергии шг для кинематически реализуемых движений имеет одно и то же значение, Таким образом, из всех кинематически возможных движений, совершаемых между точками А и В с одной и той же энергией, но за различное время, действительным будет то, для которого г=г и, Но аБ/й=г=з/2л/ш =сопзг. Следовательно, 5 = гг,„и движение точки по поверхности происходнт в кратчайшее время и по кратчайшему пути, т. е. по геодезической линии. Принцип стационарного действий Якоби Принцип Мюпертюи — Лагранжа позволяет выяснить характер движения механической системы в пространстве обобщенных координат д,. Принимая во внимание формулы перехода к обобщенным координатам: гь =гь(ды -.д.)~ представим соответствующий дифференциал с/ га в виде ь Д, и Дз.
с/гь =", — "Йу, и с(гл =',) — "с/д, ы бд ,,дд, Тогда квадрат длины дуги е/за определится как 2 и в лз. лг. а(з2 г/р йр ™Л' ка а г/д ИЧ Ф у / Введем в п-мерном координатном пространстве риманову метрику, определив элементарное расстояние между двумя соседними точками д и д+с/д формулой и я в и бз. Д. П Ю ~6' ="~ т,й„'=ч~ '~ ') та —" — "с/д,с/д =,)„„) а, с/д,а(д ь ь ~ з Ф бдз ю' у Сопоставляя данную формулу с выражением (18.38) для кинетической энергии, находим 548 т=+) . (18.60) т.
е. кинетическая энергия системы совпадает с кинетической энергией изображающей точки в и-мерном пространстве обобщенных координат, если массу точки т принять равной единице. В соответствии с законом сохранения энергии 2Т = 2(й — П), тогда из формулы (18.60) находим аз ,)2~Ь- П) Подставив полученные выражения для Т и ш' в формулу (18.59), определяющую действие по Лаграюку, получим ь О' = 1 )хь — пы.. Интеграл )г; представленный в форме (18.6!), называется действием но Якоби.
Принцип стационарного действия в этом случае принимает вид ьВ'=ь/2тю=ь( ~2е — щй=О. В такой форме принцип стационарного действия, открытый в 1837 г. К. Якоби, формулируется следующим образом: действительное движение голономной консервативной системы между двумя заданными конфигурациями А и В отличается от кинематически возможных движений, совершаемых между теми же конфигурациями и с той же полной механической энергией, тем, что для действительного движения действие по Якоби имеет стационарное значение.
Пусть на механическую систему не действуют активные силы. Тогда на основании формулы (18.61) действие 1г' с точностью до произвольной постоянной будет и принцип стационарного действия имеет вид ь ЛИ'=Ь~'Ь=б. Следовательно, движение голономной системы по инерции в пространстве обобщенных координат эквивалентно движению изображающей точки по геодезической линии этого пространства. Длина дуги геодезической линии меньше длины дуги любой другой линии, соединяющей заданные точки. При движении механической системы под действием потенциальных снл в пространстве обобщенных координат вводят метрику л П сЬ' =2(Ь вЂ” П7~ а„.йд,й~,, =~ЬьНд,й1, я в где Ь„= 2(Ь вЂ” П)а„, поэтому (18.62) 1Р= )~Ъ.
ь Таким образом, движение голономной системы под действием потенциальных сил эквивалентно движению изображающей точки по инерции в пространстве Римана, метрика которого определяется выражением (18.б2). Согласно принципу наименьшего действия, в форме Якоби движение происходит по геодезической линии пространства Римана. При доказательстве справедливости интегральных принципов показано, что соответствующие действия (Гамильтона, Мюпертюи-Лагранжа, Якоби) имеют стационарные значения.