Termeh (523129), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Если при устойчивом положении равновесия все обобщенные координаты и скорости с течением времени стремятся к нулю !1шд,.(г)=0, 1ппф,(г)=0(1'=1,2,...,п), 1-+и С-+а 557 то рассматриваемое положение равновесия называется асимптотичесни устойчивым. Достаточное условие устойчивости положения равновесия консервативной системы определяется теоремой Лагранжа: достаточным условием устойчивости положения равновесии консервативной системы является наличие в нем локального (изолированного) минимума потенциальной энергии. Однако в реальной механической системе всегда существуют силы сопротивления движению, возникающие благодаря трению или вязкости среды.
Такие силы Келъвином названы диссипативными При наличии в системе диссипативных сил для оценки устойчивости положения равновесия можно дополнительно воспользоваться тремя теоремами Кельвина. 1. Если положение равновесия консервативной системы устойчиво при одних только потенциальных силах, то оно будет оставаться устойчивым и при добавлении диссипативных сил. 2. 'Устойчивое положение равновесия становится асимптотически устойчивым при добавлении диссипативных сил с полной диссипацией.
3. Изолированное и неустойчивое при одних потенциальных силах положение равновесия не может быть стабилизирована диссипативными силами. Доказательства этих теорем могут быть получены как следствие теоремы Ляпунова об устойчивости движения, выходящей за рамки данного курса. Первые две теоремы Кельвина указывают на то, что диссипативные силы не могут нарушить устойчивосп положения равновесия, а третья — что диссипативные силы не в состоянии трансформировать неустойчивое положение равновесия консервативной системы в устойчивое. Следовательно, для оценки устойчивости положения равновесия реальную колебательную систему с диссипативными силами можно заменить ее консервативной моделью.
Понятие полной диссипвпии существенно длл систем с числом степеней свободы и > 1 и будет определено в 8 19.7. 558 19.2. Дифференциальные уравнении малых колебаний линейной системы с одной степенью свободы Отметим, что наличие в механической системе хотя бы одного упругого (деформируемого) тела автоматически превращает ее в систему с бесконечным числом степеней свободы, поскольку у таких тел каждая материальная частица имеет возможность двигаться относительно других материальных частиц и, следовательно, ее движение должно описываться своими обобщенными координатами, а таких частиц бесконечное множество. В теоретической механике используется модель абсолютно твердого тела, для описания движения которого требуется конечное число координат, а все упругие элементы — пружины принимаются безынерционными, т.
е. масса их считается пренебрежимо малой по сравнению с массами твердых тел, входящих в систему. Только в этом случае можно говорить о системе с конечным числом степеней свободы. Рассмотрим несколько примеров. Пример)9П. Тело массой т, подвешенное к пружине АВ (рис.
19.2, а), движется поступательно в вертикальном направлении под действием силы г (1), преодолевая вязкое сопротивление среды. Составить уравнение малых колебаний. Решение. На рнс. 19.2, б представлена зависимость реакции Р' цилиндрической пружины растяжения — сжатия ст деформации Х . Предположив, что деформации пружины относительно малы, т.
е. мала амплитуда колебаний тела характеристику пружины можно аппроксимировать наклонной прямой, тангенс угла а наклона которой называется козффициеииюм жеслигосгии, или просто жесиигослмю с пружины. При сделанном допущении о малых деформациях пружины пикейная восстанавливающая сила будет противоположна по направлению деформации пружины: г"'=сХ. (19.2) На рис. 19.2, е представлена зависимость силы вязкого сопротивления среды Г' от скорости движения в ней тела з. Только при достаточно малых скоростях движения тела можно аппроксимировать характеристику наклонной прямой. тангенс угла наклона у которой называется козффициеииим линейного вязкого соиротиялекия А и имеет единицу юмерения ньютон-секунда на метр (Н с/м ). При сделанном допущении о малых скоростях движения тела сила вязкого солротиялеиил г'=/В, всегда линейна и направлена противоположно скорости движения тела.
559 Рис. 19.2 теле, равное й„а й/с. (19.3) Будем отсчитывать координату х от положения статического равновесия О, тогда дифференциальное уравнение поступательного движения тела имеет внд тх Р(С)+тй-с(Х +х)-Ьх. (19А) В силу (19 3) тли сй вэаимно уничтакаются, и уравнение (19 4) принимает вид тх+ Ст+ сх = Р(с) .
Если Г(с) = Ре а(п(рс+ (5), то та+ Ы+ Реил(РС+ Б), илн х+ 2кт+ в~я /е яп(рс+ Р), где 2а = Сс/т, е с/т, /е Ре/т . (19.5) 560 Если АВ=!е (см. рнс. 19.2, а) длина нерасгянутой пружины, то АО прелставляет собой статическое удлинение пружины ь под действием силы тяжести Пример 19.2. Однородный диск А, момент инерции которого.1, через упругий безынерционный стержень скреплен с телом В, вращающимся по закону ф(г) = фс яп(рг+(1) (рис.
19.3). Составить уравнение малых колебаний диска. Реьченна Выберем в качестве координаты угол поворота ф и соспшим дифференциальное уравнение вращательного движения диска (ось Ох при этом остается прямолинейной). Полагая, что ф> ф, а сами углы ф и ф малы, запишем выражение для момента М(см. рис. 19.3) в вщ!е М = с(ф — фс яп(рг+())]. где с — жесткость стержня на кручение.
При вращении однородного диска вязкое сопротивление среды мало и его можно не учитывать. Тогда дифференциальное уравнение вращательного движения диска будет иметь вид .Тф = -М = -с!ф- фс з!п(рг+ б)), Рис. 19.3 или ф+ ы'ф = /; яп(рг+ б), (19.6) где со =с/1;,/с =сфс/./.
Пример 19З. Материальная точка (бусинка) массой т закреплена на струне, имеющей предварительное значительное натяжение Т (рнс. 19.4). Учитывая вязкое сопротивление среды, составить уравнение малых колебаний. Изменением натяжения струны при движении бусинки, массой струны н влиянием силы тяжести бусинки пренебречь. Решение Полагая, что колебания бусинки ' малы (х«!), можнозаписать япамх/!. х (г В Принимая вязкое сопротивление среды линейным: В" = Ьх, получим дифференциальное уравнение движения бусинки Рис. 19.4 мх = -2Тяпа — В" =-2Т вЂ” — лх, ! нли х+ 2ах+ ш~х = О, (19.7) где 2е=Ь/т,ш =2Т/т!.
37 Зяк.!а 56! Приведенные примеры показывают, что при сделанном допущении о малости колебаний, колебательные системы описывщотся одинаковыми по структуре линейными дифференциаль- ными уравнениями (19.5) — (19.7). Они могут быть полными (см. 19.5), в них может отсутствовать обобщенная скорость (при пренебрежении силами вязкого сопротивления (см. 19.6)) или правая часть (в случае отсутствия вынуждающей силы (см.
19.7)). Однако условие малости колебаний еще не гарантирует линейность дифференциальных уравнений. Так, при учете сил сухого трения дифференциальное уравнение остается нелинейным даже при сделанном допущении,о малости колебаний. Получим теперь дифференциальное уравнение малых колебаний в общем случае. Рассмотрим механическую систему, состоящую из Ф материальных точек и имеющую одну степень свободы, на которую наложены голономные, стационарные н неосвобождающие связи.
Предположим, что система имеет устойчивое положение равновесия, от которого будем отсчитывать обобщенную координату 9. В соответствии с предположением о малости колебаний обобщенную координату, ее скорость и ускорение полагаем величинами первого порядка малости. В дифференциальных уравнениях движения будем учитывать величины первого порядка малости, а в выражениях для кинетической энергии Т, потенциальной энергии П и вводимой ниже диссипативной функции Рэлея Ф вЂ” величины до второго порядка малости, поскольку использование уравнения Лагранжа второго рода приводит вследствие дифференцирования к понижению порядка малости на единицу. В общем случае сила, действующая на Ь-ю точку системы, может быть функцией от положения точки г„, ее скорости г„и времени л Г~ =7~(г,,к,,г).
С учетом малости колебаний представим г в виде г' =Р„'(гь)+ Р"(и )+ Р,(г), (19.8) где все силы Р„'(г„) — потенциальные, и будем полагать, что силы Г„"(г„) являются диссипативными, т. е. уменьшающими 5б2 полную механическую энергию, и линейно зависящими от скорости: Г"= — Ьт . (19.9) ь е Кинетическая энергия системы е Т = ! ~' !и!,3!~ . ьи В силу стационарности наложенных на систему связей р~диусвекторы точек зависят только от обобщенной координаты: г, =ге(9). Тогда У~ = — = — 9 дг, дг~, (19.10) бг ад и, следовательно, кинетическая энергия Т=-,') т!~ — ) д~ =-А(д)д . (19.11) гзм '.~а~! г Здесь А(д), как и г„является в общем случае функцией обобщенной координаты д.
Разложим А(д) в окрестности положения равновесия (9 = О) в степенной ряд: (19.12) А(д) = А(0) + — д + — д — + "" Индексом «О» здесь и далее отмечены величины, вычисленные в положении равновесия. В силу малости колебаний в выражении (19.11) для кинетической энергии будем учитывать величины не выше второго порядка малости. Но в этом уравнении уже содержится квадрат обобщенной скорости 9' — величина второго порядка малости, поэтому в разложении (19.12) удерживаем только первый член, который обозначаем А(0)=а.
Коэффициент а называется обобщенным инерционным коэффициениюм. Его единица измерения определяется еднницей измерения обобщенной координаты: если д в м,'то а в кг, еслид врад,тоав кг м . 563 зт Окончательно получаем Т= — аф . (19.13) 2 Таким образом, в предположении о малости колебаний, кинетическая энергия системы является функцией только обобщенной скорости. Тогда в уравнении Лагранжа второго рода состав- дТ ляющая — тождественно равна нулю.
Поскольку кинетическая дя энергия — величина положительная, обобщенный инерционный коэффициент может быть только положительным (а > О ). Согласно (19.8), представим обобщенную силу Д в виде 0=0п+0д+Иг) (19.14) где Я, — составляющая обобщенной силы от потенциальных сил; Я~ — составляющая обобщенной силы от диссипативных сил; Яг) — составляющая обобщенной силы от сил, зависящих от времени и действующих извне. Составляющая обобщенной силы от потенциальных сил равна дП 0п— дд где П(9) — потенциальная энергия системы, отсчитываемая от положения равновесия. Так как обобщенная координата также отсчитывается от положения равновесия, то П(О) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
