Termeh (523129), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Таким образом, дифференциальное уравнение движения системы получилось в виде ф+оо'ф=О, где ш= ~ — = а с,! — 1/2(м, + мз)л1 ; ш=б рад!с. (1/3м) ™о+ воз)1 В соответствии с (19.28) получаем общее решение в виде ф = С~ соя юг+ Сз з1п см . В начальный момент кривошип отклонили от вертикали на угол ф = 3' и отпустили без начальной скорости, т. е начальные условия (19.29) будут такими: при 1=0, ф=фо = — 3=0052рад, ф=фа =О, 180 Определив С, =0,052 рад; С, =О, находим ф = О 0 52 соя бг рад . 572 откуда, согласно (19.16), квазиупругий коэффициент с = с,1 — (т, + мз) я1 .
1 2 Отмстнм интересное обстоятельство. Если при определении кинетической энергии движение шатуна можно считать поступательным, то при вычислении потенциальной энергии необходимо учитывать его поворот, поскольку изменение потенциальной энергии шатуна, так же как н изменение потенциальных энергий криаошипа и пружины, имеет второй порядок малости. Для устойчивости положения равновесия необходимо выполнение условия (19.17).
Приравнивая с к нулю, находим критическое значение с, жесткости пружины: Свободные деыжемкя линейкой неконсервативной системы В самом общем случае дифференциальное уравнение свободного движения такой системы в соответствии с (19.2б) имеет вид Ч+ 2вч+ в!9 = О (19.32) где в = Ц2а — коэффициент затухания, единица измерения которого (рад/с) совпадает с единицей измерения в . Представив решение уравнения (19.32) в виде д = е, получим характеристическое уравнение )!,2 + 26)!, + !с 2 = О, корни которого 9 =с "(С, сова!!+С, вшгс!!), д=Ае "вш(в!в+а). При начальных условиях (19.29) Чо+вйо С! =Дв1 Сэ = Э О! (19.34) (19.35) 573 ) „=-в+4':~'.
(19.33) Характер движения системы будет существенно зависеть от соотношения между величинами в и а. Возможны следующие три случая: при в < гс — случай малого сопротивления — уравнение (19.33) имеет комплексно-сопряженные корни; при в = сэ — случай критического соиротивления — уравнение (19.33) имеет кратные корни; при в > а — случай большого сопротивления — уравнение (19.33) имеет два вещественных отрицательных корня. Рассмотрим зти случаи по отдельности. 1.Случай малого сопротивлении! в<в; Х! э = — вхкс„ где а! =че» вЂ” е Г 2 2 Общее решение дифференциального уравнения (19.32) будет иметь вид откуда, согласно (19.30), находим 2 Чо +~ еэ~ Чо + еЧо При определении а следует учитывать, что при 99 + е94 > 0 а находится в1 или 1Ч квадранте,а при 9, +е94 <0 — во П или П1 и, следовательно, к вычисленному главному значению арктангенса необходимо добавить к.
При 9, + щ, = 0 а = к/2, если д, > О, и а = — л/2, если 9, < 0 . Графически решение (19.34) приведено на рис. 19.7. Оно представляет собой синусоидальную кривую, расположенную между экспоненциапьными ограничивающими кривыми Ае " и — Ае " . Колебания такого вида называются мивухаювяими. Рис. 19.7 Затухающие колебания не являются периодическим движением, однако сохраняют его некоторые свойства. Действительно, решение (19.34) представляет собой произведение двух функций— экспоненты, которая не обращается в нуль, и синусоиды с периодом Т, = 2к/а, . Это обстоятельство приводит к чередованию через равный промежуток времени Т, нулей и максимумов 9(г) (см. рис. 19.7), что позволяет считать затухающие колебания условно- периодическими. Величину Т, = 2к/гс, = 2к/Д~ — е2 называктг услоенын периодом затухающих колебаний. Условный период затухающих 574 колебаний больше периода свободных колебаний консервативной системы Т.
Величину а, называют условной частотой затухающих колебаний. Отметим, что при малых значениях коэффициента затухания (в«в) условная частота затухающих колебаний а, и гс; аналогично Т, и Т. Наконец. величину Ае " можно назвать условной амплитудой затухающих колебаний. Решение (19.34) показывает, что затухающие колебания должны продолжаться сколь угодно долго, поскольку д(г) обращается в нуль только прн г-+ со. Однако это не соответствует опыту наблюдения колебаний в реальных системах, которые всегда заканчиваются за конечный промежуток времени. Данное противоречие есть результат того, что в расчетной схеме не учитывались другие виды сопротивлений, кроме линейно-вязкого.
Ниже будет показано, что учет сил сухого трения приводит к прекращению колебаний через конечный промежупж времени. Величина т, =1/в называется постоянной времени затухающих колебаний и измеряется в секундах. Рассмотрим последовательность условных амплитуд колебаний в моменты времени, отличающиеся один от другого на постоянную времени та: А1=Ае"' Аз=Ае'"'"'=Ае '* Аз=А1е'"" За каждый промежуток времени т, условная амплитуда затухакнцих колебаний уменьшается в е раз. Через Зтв условная амплитуда уменьшится в е', т. е.
примерно в 20 раз. Обычно полагают, что по истечении времени, равного Зтв, затухающие колебания можно условно считать прекратившимися. Декрементом колебаний Л называют отношение двух последовательных (взятых через условный период Т,) максимальных значений обобщенной координаты. Пусть А, =Ае™ в1п(в1г, +а); Аьп =Ае 'о" 0 вш[а1(г, +Т1)+а|=Ае~~"'"'1вш(в г, +сс), где г, — время, соответствующее 1-му максимуму координаты.
575 Тогда Ь= — =е А ьт А,1 .Логарифмическим декрементом колебаний Ь называют натуральный логарифм от декремента колебаний: а=1пЛ= т,. Логарифмический декремент колебаний удобен для характеристики медленно затухающих колебаний, когда е «а. Тогда изменение максимальных значений за условный период мапо: А4, =А, — А,.„«А,, (19.36) 6=1~ — '=1 ' =-1п 1- — '~ Логарифмический декремент колебаний в этом случае характеризует относительное изменение максимальных значений за условный период. Кроме того, он имеет определенный энергетический смысл. Вычислим изменение полной механической энергии за условный период колебаний. В положениях максимальных отклонений (9(г,) = О ) полная механическая энергия определяется потенциальной энергией сА,2 с(А,.
— ЛА, ) 2 " " 2 С учетом (19.36) для медленно затухающих колебаний (Аэ 2А 1А ) 2 Тогда относительное изменение полной механической энергии системы за условный период колебаний будет равно ! кч Е, А,2 А, где ц~ — коэффициент поглощении энергии эа один период (цикл) колебаний. 576 2. Случай критического сопротивления: а = сз; Х, з = — в. При кратных корнях общее решение дифференциального уравнения (19.32) имеет вид у=С,е "+С,Ге "=е "(С, +С7Г). (19.37) Произвольные постоянные определим из начальных условий (19.29): С1 ЧО~ Сз ЧО в90' (19.38) Решение (!9.37) представляет собой произведение экспоненты в отрицательной степени и линейной функции времени. Из математики известно, что экспонента в отрицательной степени убывает быстрее, чем возрастает любая степенная функция.
Поэтому решение (19.37) стремится к нулю при г -+ ю. Решение может обратиться в нуль только единожды, если константы С, и С, имеют разные знаки. Для этого, согласно (19.38), начальное отклонение и начальная скорость должны иметь разные знаки, и при этом необходимо выполнение условия Ц > вЦ . На рис. 19.8 представлено решение (19.37) при различных начальных условиях. Видно, что движение не имеет колебательного характера и отсутствуют какие-либо признаки периодичности. Такое движение называют аиериодическии, а с учетом рассмотрения критического сопротивления — предельно аиериодическим.
Рис. 19.8 З.Случайбольшогосопротивлеиия: в>ез; Х, з =-в~/г, где к=те — а . Поскольку А <в, оба корня характеристиче- Г2 2 ского уравнения будут отрицательными. 577 Обшее решение дифференциального уравнения (19.32) в этом случае имеет вид д=е "(С,е ьСзе '). Произвольные постоянные С, и С определим из начальных условий (19.29) 1 9с+ефо 1 ос+~> Движение в случае сопротивления, большего критического, также имеет апериодический характер, аналогичный представленному на рис. 19.8, однако с увеличением е графики растягиваются вдоль оси абсцисс, поскольку с возрастанием вязкого сопротивления при прочих равных условиях скорость движения убывает. Пример 19.5.
Груз массой т= 0,5 кг, скрепленный с пружиной, помещен в сосуд с жидкостью, создающей при движении груза силу сопротивления, пропорциональную его скорости г ( рис. 19.9, а). Определить закон движения груза, если статическая деформация пружины Х = 5 см, коэффициент вязкого сопротивления жидкости л =!и с/и. а в начальный момент времени груз был подвешен к концу недеформированной пружины и отпущен без начальной скорости. к, 0,04 0,02 -0,02 -0,04 Рнс.
19.9 Решение Дифференциальное уравнение движения груза, скрепленного с пружиной и преодолевающего вязкое сопротивление среды, было получено в примере 19,1. Положив внешнюю силу равной нулю, запишем х+2ех+в х= О, 578 где х — координата груза, отсчитываемая от положения статического равновесия вниз; а = 6/2т = 1 рал/с; в,Ят . Поскольку статическая деформация пружины Х„„связана с жесткостью с пружины и весом груза Р соотношением (19.3) (где Р = тя ), то в= ~ — = —, в=!4 рад/с. 8~ ш Начальные условия в данном случае имеют вид при 1=0; х=-Х; х=О.
Так как е < в, имеют место затухающие колебания. Условная частота затухающих колебаний в, = ~Я'-а' =13,96 рад/с. Согласно (19.34), х=Ае "з(в(вр+а), 2 где А= хе+ — ~,А=0050!и. з аго Главное значение а'=мсга — =1,5рад. Учитывая, что хе+ахе<0 и, Щ а следовательно, а лежит в Ш квадранте, добавим к главному значению а' величину н . Тогда решение будет иметь вид х=0,0501е 'з)л(13,96г+4,641), гдехв и. Зависимость х(г) представлена на рнс. 19.9, б.
Выше было отмечено, что затухающие колебания рассматривают на промежутке времени Зтс = 3/а = 3 с. За зто время условная амплитуда колебаний уменьшится примерно в 20 раз. Влияние на свободные колебании сил сухого тренин Гмвх ю м ° 'в х>0 х<0' 579 Дифференциальное уравнение движения тела, скрепленного с пружиной и находящегося на горизонтальной шероховатой поверхности (рнс. 19.10), имеет внд пах+ сх+ Р =О, (19.39) где р — сила сухого трения 1 скольжения, равная максимальной ЯЮ силе трения покоя (зависимость силы трения скольжения от значения скорости скольжения не учитывается), знак «+» соответствует движению Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
