Termeh (523129), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Таким образом, добротность Д представляет собой значение коэффициента динамичности нри резонансе; она показывает, во сколько раз амплитуда колебаний при резонансе отличается от статического смещения. В отличие от случая отсутствия вязкого сопротивления, амплитуда при резонансе имеет конечное значение. Если частота р изменения возмущающей силы мала по сравнению с частотой щ свободных колебаний, т. е. р «в, то амплитуда вынужденных колебаний близка к статическому смещению, а коэффициент динамичности близок к единице.
Если же р»а, то колебательная система ведет себя как фильтр, т. е. практически не воспринимает возмущения с частотами, существенно превышающими собственную частоту. Выражение для коэффициента динамичности (19.55) показывает, что при малых значениях И вязкое сопротивление становится существенным лишь в достаточно узкой зоне в окрестности резонанса, когда величина а'я становится соизмеримой с Л (1-яз)'. Это же демонстри- а=О руст график Л1е) при И=О, приведенный на рис.
19.15. ! Поэтому при определении ам- 0,25 плитуды вынужденных колебаний в реальных системах с малым вязким сопротивлением ! последнее можно не учитывать, ! ! если известно, что частота р возмущающей сипы далека от ! собственной частоты щ . 1 а=.Г2 Для определения экстре- ! мапьных значений коэффици- 0 г еита динамичности достаточно исследовать подкоренное вы- Рие. 19.19 ражение в уравнении (19.55), 594 поскольку его максимум в силу структуры уравнения (19.55) будет соответствовать минимуму Х, и наоборот. Вычислим производные по г от подкоренного выражения у(г) = (1 — г ) ~- И г : у(г) = — 4г(1 — г ~ ) + 2с!'г = 2г(сК' — 2+ 2г 2 ), у'(г) = 2(сХ 2 — 2 -ь 2г' ) + 8г ~ = 12г' — 4(1 — И '/2) .
Приравняв к нулю у'(г), получим два значения г, соответст- вующие экстремумам: ~(г г=Ог =~! —— 2 — ~ 2 (второе значение имеет место только при Иьч'2, причем при 'Ы = сГ2 оно совпадает с первым). Если с! < ч'2, то вторая производная у"(г) отрицательна при г, и положительна при г , следовательно, г, соответствует максимуму у(г) и локальному минимуму Х(г), а г — минимуму у(г) и максимуму Х(г). Максимальное значение коэффициента динамичности при этом будет равно При И > чГ2 остается только одно экстремальное значение г, =О; в этом случае имеет место минимум у(г) и максимум Х(г). На рис. 19.15 представлены кривые, определяющие зависимость А(г) прн различных значениях коэффициента Ы .
Прн Н > чГ2 максимальное значение коэффициента динамичности Х = 1 соответствует г = О, т. е. амплитуда установившихся вынужденных колебаний равна или меньше статического смещения. При других значениях Ы максимум Цг) оказывается всегда сдвинутым влево от резонансной частоты.
595 зв* Для исследования фазочастотной характеристики в безразмерном виде разделим числитель и знаменатель аргумента арктангенса (19.51) на со~: 2в р у = агсгй, 2 = агс1К вЂ” 2. ,асс с1 г 1 — р'/а 1 — з Учтем, что производная у(г) по г независимо от значения а' (кроме су = 0) положительна при всех значениях г, т. е. у(г) представляет собой монотонно возрастающую функцию. Тогда у при я=О у=агсгя(0)=0; л при я=1 у =агс1й(со)=л/2; 1 при г -+ со у = агсгй( — 0) = л . ! Отметим, что при резонансе фазо- 1 вое запаздывание у=л/2 независимо от значения козффициента 1 2 Ы, характеризующего вязкое со- 1 противление.
05 На рис. 19.16 представлены ! кривые, характеризующие зависимость у(я) при различных зна- 0 чениях с(. При а = 0 (отсутствие вязкого сопротивления) у(г) Рис. 19.1б представляет собой разрывную функцию (см. рис. 19.14, в). Отметим, что с ростом су меняется характер фазовой кривой, она трансформируется из кривой с двумя перегибами в кривую с одним перегибом. Инерционное возбуждение колебаний В случае инерционного возбуждения колебаний, как и при отсутствии вязкого сопротивления, ~с =Зор 2 596 Тогда )2=7.7 .. Здесь коэффициент динамичности Х„„при инерционном возбуж- дении г г г ( -и') 4 'и' ~О-*')' Для исследования амплитудно-частотной характеристики, заменив коэффициент расстройки г обратной ему величиной » =а/р, получим ИН и* нб:Б* и*',* 1 — — +— »г! По структуре Х„„(») полностью совпадает с )н(г) при силовом или кинематическом возбуждении.
Следовательно, при г=О»-+со, Х„„=О; при г-+со»=О, Х„„=1; при г =1» = 1, Х„„= 1/с1 = Д. При И < и/2 имеет место максимальное значение Х„„=, которому соответствует» = 11! — с1 /2 или Д 2 /1 — ~ /4 1 г =, т. е. в отличие от силового или кинематического ,/~- '/2 возбуждения максимальное значение коэффициента динамично- сти смещено вправо от резонансной частоты. При И > и/2 максимальное значение й,„„= 1, г -+ нс, Зависимость Х„„(г) при различных значениях коэффициента И представлена на рис.
19.17. Как и в случае силового или кине- матического возбуждения, при определении амплитуды вынуж- денных колебаний в реальных системах с малым вязким сопро- тивлением последнее можно не учитывать, если известно, что частота р возмущающей силы далека от собственной частоты в . Фазочастотная характеристика не зависит от способа возбуждения (см. рис. 19.16). б Рис. 19.17 Переходные процессы Важной характеристикой колебательной системы является временная характеристика — изменение колебаний во времени. Анализ решения (!9.54) показал, что по истечении определенного промежутка времени с начала колебаний свободное движение затухает. Однако оно возникает каждый раз, когда изменяется возмущающая сила: возникает, меняется ее амплитуда, или частота, и наконец, прекращает действовать.
Возникнув, свободное движение осуществляет плавный переходный лронесс от одного установившегося режима вынужденных колебаний кдругому. Для того чтобы получить переходный процесс, необходимо зафиксировать значения отклонения и скорости в момент изменения возмущающей силы, а затем, считая зти значения начальными условиями, использовать полное решение (19.54), определив в нем произвольные постоянные. 598 Пример л9.6.
К телу массой т =1 кг (см. рис. 19.2, а), подвешенному на пРУжине АВ, жесткость котоРой с =144 Н/м, пРиложена сила Р(г) = Ге в1п РГ, где Гс = 2 Н; р = 8 рад!с. При движении тело преодолевает силу вязкого сопротивления Г =-ЛР, где й =1Н с/м. В начальный момент тело смещено от положения равновесия на 4 см н отпущено без начальной скорости. Через 200 с после начала движения амплитуда приложеыыой силы увеличилась в полтора раза, а еще через 200 с действие силы прекратилось. Исследовать движение тела.
Решение. Рассмотрим три временных интервала двыженив: 0...200с, 200...400 с н более 400 с. На нервам интервале (промежуток времени от 0 до 200 с) дифференциальное уравнение движения в каноническом виде (19.5) прн р = 0 имеет вид х+ 2ех+ а~ х = Ув в!и рг, где а = й/2т = 0,5 рад; а =,/с/т = 12 рад; /е = Гл/т = 2 и/с Поскольку е < ю, запишем решение в виде х =е~(Сц савв !+ С„вшаз г)+ 1)в!п(рг — у), где Сц и См — произвольные постоянные на первом ипюрвале движеыия; о~ = Яз-ев =1199рал !)и =0,025 м; утис!8 ( 2 2)2+~ 2 2 о!в р =О,! рд.
Подставив в общее решение начальные условия: при 1=0 х=004м; х=О, определим произвольные постоянные Сц =0,042м; См ---0,015м. Следовательно, х = е~и(0 042сов1199с -О 015 в!п11 99!) + О 025 в!п(8г -О 1) м . Процесс перехода от начального смещения к установившимся вынужденным колебаниям представлен на рис. 19.18, а. Видно, что продолжительность переходного процесса составляет примерно 9 с. Поскольку она существенно меньше 200 с, можно при определении параметров движения в конце первого интервала учитывать только частное решение, определяющее установившиеся вынужденные колебания: гт200с; х(200) = !) мп(рг — у) = Ч),018 м; х(200) = 2)рсоа(р! - у) = -01 34 м/с.
Эти значения будут начальными условиями на втором нытервале двюкениа. Па втором интервале (промежуток времени от 200 до 400 с) решение с учетом линейной зависимости 2)(Ре) будет иметь вид х=е '(Сзсовюрз+Сжв!позрз)+151)вш(ргз-у), 599 где !з =г-200с; Сц, Сзз — произвольные постоянные на втором интервале движения, Сн =-0,015м; Сзз =-0,037 м. 0,04 -0,04 0,04 — 0,04 х, 0,04 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
