Termeh (523129), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Два одинаковых математических ма- О ятника длиной 1 и массой т каждый соединены между 1, собой прухпщой, жесткосп которой с (рис. 19.27). При вертикальном положении маятников пружина не деформирована. Состаюпь дифференциальные уравнения мр А с л малых колебаний. Ш Решение. Воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода.
В качестве обобщенных координат выбернс. 19.27 рем углы отклонения маятников от вертикали ф и зу. Кинетическая энергия системы т = — жуя+-взгв =-(т) ф +щ( ф ). 1 г 1 2 1 г.г 2 2 2 " 2 2 Следовательно, в соответствии с (19.91) При выводе дифференциальных уравнений малых колебаний в линейной системе с п степенями свободы мы воспользовались уравнениями Лагрвнжа второго рода. Иногда этот способ называют основным способом составления уравнений движения. Аналогичные по структуре (19.90) уравнения можно получить прямым способом: описывая движения входящих в систему инерционных объектов, используя дифференциальные уравнения поступательного, вращательного, плоского и т.
д. движений. 622 он=а„= 1; о„=о. г, Потенциальная энергия системы 1 П = жй!(1 — соя ф) + тя(П вЂ” соз у) + -сХ, где Х вЂ” деформалия пружины. С учетом малости колебаний соз9=1-9 /2, соззр=1-зр~/2, Х=!9-)зр. Тогда )7 мл!<Рз+ лзх)зуз+ с((зу !9)2 [(шь!+с!2)92 2с!2<РзР+(глд!+с!2)зуз[ 2 2 2 2 Следовательно, в соответствии с (19.91) сн = си = шй!+с!; см =-с! и дифференциальные уравнения малых колебаний имеют вид а! ~ф+ (жй! + с1')9- с!'зр = О; т! ф — с(~~р+(тя!+с!з)у =О.
(19.93) б2Э !Уример 19.9. Двойной математический маятник (рис. 19.28) состоит из двух связанных шарнирно одинаковых математических маятнйков массой ж и длиной 1. К верхнему маятнику приложена горизонтальная сила Р(г). При движении на грузы маятников действуют силы вязкого сопротивления Ч' т Г =-лр, где Ь вЂ” коэффициент вязкого сопротивления; й — скорость движения р Ц/ груза.
Составить дифференциальные уравнения малых колебаний. ря Решение Воспользуемся уравнениями з9 Лагранжа второго рода В качестве обобщен- Рне. 19.23 ных координат выберем углы отклонениа ф и зр маятников от вертикали. Кинетическая энергия системы -2 1 -3 жги + глтв 2 2 где к. =!ф' бе =9 + яя' =!ф.
Согласно теореме косинусов, 2 (!ф)2 +(! )2 + 2(з Поскольку в выражении для кинетической энергии при малых колебаниях нужно учитывать члены до второго порядка малости, соз(зр-9) заменяем едини- цей. Тогда г !г ' г+!г ' с+2(г Т = — (2щс~ф'+ т!'ф~ + 2тс'фф) 1 2 и, следовательно, в соответствии с (19.91) г, г, г ап =2тс; агг =тс; аы =т! Диссипативная функция Рэлея ф = 1)„г+ 1с„г =1(2Ь!гфг+Ь!гфг+2Ьсгфф), 2 " 2 2 Следовательно, в соответствии с (19.91) Ьп=2Ь!г; Ь =Ьсг; Ь, =Ьсг. Потенциальная энергия системы складывается из энергии подъема груза верхнего маятника на высоту Ь, = Д!-совср) и энергии подъема груза нижнего маятника на высоту Ьг =!(1-совср)+с(1-совгр).
Принимая с учетом малости колебаний совср= 1 — ср'/2, савву =1 — гр~/2, получаем П=-(2тр!ср втрЬр ), г г 2 откуда сп = 2трс; сгг = щрс; сы = О. При ЬсрмО и Ьгр=О элементарная работа Ь4(Р) =Р(с)ссовсрйр и, следовательно, Я(с)=Р(с)!совср, при ЬгрмО и йр=О Ь4(К)=0, а значит, (уг(с)=0. Поскольку в дифференциальных уравнениях малых колебаний учитываотся только члены первого порядка малости, то в выражении для Я(с) совср=1. Тогда дифференциальные уравнения малых колебаний будут иметь вид 2щсгф+ щсгф+ 2Ь(гф+ Ьсгф+ 2щрсср РВ)1, щсг-+т!гф+Ьйгф+Ьсгф,щ,рр 0 Пример 19.10. Два тела с массами т, и т, связанные между собой пружиной, жесткость которой с, и скрепленные с основанием пружиной жесткостью с,,могут двигаться в вертикальном направлении (рис. 19.29).
На тело массой ссь действует сила, изменяющаяся во времени по гармоническому закону Р(с) = Ров)п рс. Составить дифференциальные уравнения малых колебаний. Решенаа Воспользуемся дифференциальными уравнениями поступательного движения. Будем отсчитывать координаты х, и х от положения статического равновесия каждого тела. В этом случае, как было показано при анализе колебательных систем с одной степенью свободы, силы тяжести и упругие силы, возникающие в пружинах в результате статической деформации, взаимно 624 компенсируются и могут не учитываться при составлении дифференциальных уравнений. Запишем дифференциальные уравнения поступательного движения в проекции на ось Ох: т,х, =-с,х, +сг(хг-х,)+РсашРг; тгхг = -сг(хг -х1), т,х, +(с, ее,)х, -с х = рсяп рг; т,хг-сгх, +саха =О.
(19.94) Сг(Хг-Х1 ) О 61П Р Рнс. 1929 19.8. Свободные колебания линейной консервативной системы с двумя степенями свободы В соответствии с (19.92), учитывая, что при свободных колебаниах консеРвативной системы Д1 (() = Дг (г) = О, Ьы — — Ьгг —— = Ь„= О, запишем дифференциальные уравнения в виде а1 41 + а1гЧг + С1191 + С11 Чг = О ~ а,гд1+а д +С1гд, +С г) =О. Начальные условия для 91 и фг имеют следующий вид: ПРи Г=О 91 =916' 91 тч16' Чг =г)гю'* Чг кеЧго (199б) Напомним, что в силу положительно-определенной квадратичной формы кинетической энергии обобщенные инерционные коэффициенты удовлепюряют соотношениям г аы >О; аыагг — агг >О; агг >О, а аналогичные соотношения для квазиупругих коэффициентов с„>0; с„сгг — сп >О; сгг >О г (19.97) 41 аак.
16 являются достаточными условиями устойчивости положения равновесия системы. Коэффициенты агг и с,, связывающие в уравнениях (19.95) обобщенные координаты д, и 92, называюл соответственно коэффициентами инерционной и унругой связи. Если в колебательной системе коэффициент а„= О, ее называют системой с упругой связью, а если сп =0 — системой с инерционной связью. Системы с упругой связью представлены в примерах 19.8 и 19.10, а система с инерционной связью — в примере 19.9. Ларциилънои системой, соответствующей обобщенной координате 92, называют условную колебательную систему с одной степенью свободы, получаемую из исходной системы, если наложить запрет на изменение всех обобщенных координат, кроме 9, . Число парциальных систем равно числу степеней свободы. Дифференциальные уравнения движения парциапьных систем получают из дифференциальных уравнений исходной системы, положив условно все коэффициенты связи равными нулю.
Для системы с двумя степенями свободы, согласно (19.95), имеем а2Я, +спд, =0; а2242 + С2292 = О. Парциалъными называют собственные частоты л,, л парциальных систем: 2 2 . 2 и, =сп/ап ', л =сд/а Парциальные системы, соответствующие рассмотренным в примерах 19.8 — 19.10 колебательным системам с двумя степенями свободы (см. рис. 19.27 — 19.29), представлены на рис. 19.30, а-в соответственно. В силу того, что уравнения (19.95) содержат только обобщенные координаты и их вторые производные по времени, ищем их решения в виде 9, = А, зш(аз+ а); 92 — — А2 зш(оэг+ оО, (19.98) где А,, А,, оз, а — пока не определенные величины.
б26 Рве. 19зе Подставив (19.98) в (19.95) и сократив на аш(вг+ а), получим однородную относительно А, и А, алгебраическую систему 2 2 (сп -в ап)А, +(с1г в а~г)А2 =0; (с, — ва,)А,+(с — ва )А =О. 2 2 Поскольку однородная алгебраическая система всегда имеет нулевое решение (А, =О, А, =0), а любая невырожденная алгеб- 627 41* раическая система имеет единственное решение, то для того чтобы система (19.99) имела ненулевое решение, она должна быть вырожденной, т.
е. ее определитель должен р г г (сп — в ап) (сгз — в а,2) 2 2 (с!2 в 1212) (с22 в а22) авняться нулю: (19.100) или г (а,,а22 - агз)оз — (с1 1а22+ с22ап — 2сгзагз)в + с1 1с22 - сгз = О. (19.102) Уравнение, представленное в форме (19.100) — (19.102), называют час2лотным. Как следует нз (19.102), частотное уравнение биквадратное. Обозначим его корни в порядке возрастания через в,' и в,'. Важно убедиться, что оба корня положительные, ибо в противном случае (если один или оба корня оквкутся отрицательными) частоты в, и в (нли одна из них) будут мнимыми.
Такой аргумент в решении (19.98) приведет к трансформации тригонометрического синуса в гиперболический и, следовательно, к неограниченному возрастанию во времени д1 и 92, что противоречит предположению об устойчивости положения равновесия. Введем функцию Ь(в ), равную левой части частотного уравнения (19.101) или (19.102), т. е. А(в ) =(с„— в а„)(с — в а„) — (с„— в а, ), 2 2 2 2 2 г г г 2 Ь(в ) =(а11а22 -а12)в -(с11а22 +с22а11 — 2с12а12)в +с11с22 -с12, и построим ее график.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
