Termeh (523129), страница 81
Текст из файла (страница 81)
В силу невозможности одновременного приведения к каноническому виду трех квадратичных форм — кинетической Т и потенциальной П энергий, а также диссипативной функции Ф— действигельные нормальные координаты для уравнения (19.118) существуют только при определенных ограничениях, налагаемых на матрицу В диссипативных коэффициентов. В двух простейших частных случаях, когда такое приведение возможно, нормальные координаты диссипатнвной системы совпадают с нормальными координатами консервативной системы. Первый случай — зто когда матрица диссипативных коэффициентов пропорциональна матрице инерционных коэффициентов, т.
е. В = гвА, где а=сопзг. Демпфирование такого типа называют внеи»ним. Во втором случае, когда матрица В пропорциональна б51 матрице С квазиупругих коэффициентов: В=тС, где т=сопз~, демпфирование называют внутренним. Если диссипативные силы появляются в системах в силу естественных причин, определить их путем прямых измерений затруднительно. Поэтому часто в практических расчетах характеристики и распределение по системе диссипативных сил неизвестны, и исследователь вправе принимать любой вариант демпфирования, добиваясь лишь удовлетворительного совпадения с результатами опыта. Обозначив вектор обобщенных возмущающих сил, соответствующих нормальным координатам, через Р=Н'9, получим матричное уравнение движения системы в аиде А'6+ В'6+ С'6 = Р или в развернутой форме 6„+2в„Е„+а,'Е„=Г,Уа„~М=~,2,..., 1. Здесь в„= в в случае внешнего и в„=тгв„(2 в случае внутрен- 2 негодемпфирования; Г =~~,.Д, / Глава 20 ТЕОРИЯ УДАРА 20.1.
Основные понятия и допущения. Модель удара (20.! ) и проинтегрируем его в пределах от 0 до т т т(й — Р) = )Ей=о . о (20.2) б53 В курсе теоретической механики теорию удара рассматривают как процесс соударения материальных точек и тел со сравнительно малыми относительными скоростями. Для этого используют модель Гюйгенса — Ньютона, в которой интегрально учитываются потери энергии при наличии местных упругопластических деформаций. Более точной является физическая модель удара, в которой рассматриваются происходящие во времени местные деформации сплошной среды. Для изучения процессов деформирования при этом привлекают теории упругости, пластичности и распространения волн в теле.
При значительных относительных скоростях удара (до нескольких километров в секунду) применяют гидродинамическую или специальную теорию высокоскоростного удара. В излагаемой ниже теории удара рассматривают такие ударные явления, при которых происходит конечное изменение скоростей точек механической системы за весьма малый промежуток времени т, называемый временем удара. Запишем дифференциальное уравнение движения материальной точки массой т в виде И(ту') = Гй = Ж У= Р(г=Г„т, о где Р' — среднее значение ударной силы за время удара.
Из (20.2) н (20.3) получаем — т(й — й) Р' т (20.3) т. е. прн конечном значении произведения в числителе и очень малом знаменателе (т = 10 ' — 10 с ) Г„ очень велико (порядка 1~т). В связи с этим прн т-+ 0 н Р„ — ьас импульс о есть вели- чина конечная. Согласно принятому допущению, в уравнениях теории удара время отсутствует, поэтому вместо ударных сил будем оперировать нх импульсами. Уравнение (20.2) выражает теорему об изменении количества движения точки при ударе. Покажем, что перемещение ЬР точки за время удара бесконечно мало. Интегрируя уравнение — Ыг тГ=т — =Я+тй Й от 0 до т, получаем ( л„ г — г =Лг = й+ — т. о= (20.4) Здесь Я = ~Уог/т — средний ударный импульс силы; У = ) Гпг о о прн 0<г<т.
При конечных й, Я и т-+О перемещение точки 654 Здесь 17 — скорость точки в процессе удара; Р, й — скорости точки до н после удара соответственно; о — импульс ударной силы Г за время т. Изменение скорости точки ай =й-й за время удара есть величина конечная, что следует из эксперимента. Из (20.2) следует, что импульс ударной силы также величина конечная. Запишем импульс ударной силы с помощью теоремы о среднем значении функции: ' Ьг за время удара пренебрежимо мало и его при ударе не учитывают. Пусть на точку действуют ударная сила г"(г) и конечная сила Р .
В качестве конечных можно рассматривать силы тяжести, упругости, а также силы, зависящие, например, от скорости точки. Суммарный импульс этих сил равен т Я = ~йй+ ~Рй~=У+Р т. о о Вторым слагаемым здесь можно пренебречь, так как оно является малым того же порядка, что и т, а о — величина конечная, поэтому при ударе действие конечных сил не учитывается. Используя модель Ньютона, рассмотрим удар двух тел, при котором в точке контакта А возникают ударные силы. Трение не будем учитывать, поэтому ударные силы и их импульсы о и У' направлены по общей нормали к соударяющимся телам в точке А (рис.
20.1). Рис. 20д Ударная сила, действующая на тело, изменяется во времени, как показано на рис. 20.2. В контакте тел образуются местные упругопластические деформации, зависящие от физических свойств тел. Процесс удара 655 разбивается на две фазы. В первой фазе — фазе деформирования происходит сближение тел в точке А по общей нормали до тех пор, пока нормальная составляющая относительной скорости точки контакта тел не обратится в нуль в момент времени т,.
Фаза деформирования характеризуется импульсом Рис. 20.2 ударной силы Я,. Далее начинается вторая фаза — фаза восстановления, при которой тела в месте контакта восстанавливают свою форму вследствие упругих сил. Нормальная составляющая относительной скорости точки контакта меняет знак и возрастает, но из-за пластических деформаций не достигает своего первоначального значения. Импульс ударной силы в этой фазе равен Я .
Введем коэффициент восстановления К, который характеризует свойства материалов соударяющихся тел: К= — = — „ ~2 ~2 (20.5) Ж где Я,, Я,', Я, Я' — импульсы ударных сил в фазах деформиро- т, т вания и восстановления для первого и второго тел соответственно. Коэффициент восстановления определяют экспериментально.
Так как после удара в общем случае полного восстановления формы тел не происходит, то 0 < К < ! . При К = 1 удар называют абсолютно упругим и при К=Π— абсолютно неупругим, а при 0 < К <1 — упругим. В случае, когда К=О, нормальная составляющая относительной скорости точки соприкосновения тел после удара равна нулю и фаза восстановления отсутствует. Оба тела либо движутся совместно, либо одно тело скользит по другому после максимального сближения в точке контакта. Теорию удара при изложенных допущениях можно применять с достаточным приближением на практике для сравнительно небольших относительных скоростей точек контакта при ударе (до десятков метров в секунду); для компактных соударяющихся 656 тел, близких по форме к сферическим, а также для компактного тела, ударяющегося о полупространство. Формулы классической механики справедливы и при соударении удлиненных тел, если время т удара в несколько (3 — 5) раз превышает время Т двойного пробега упругих волн по соударяющи моя телам, т.
е, т > (3... 5) Т . Это означает, что время удара должно быть велико, чтобы из места соударения не была безвозвратно удалена упругая энергия волнами возмущения. Например, для стержней Т= 27/с, с=,~Е(р, где (, Е, р— длина, модуль упругости и плотность стержня. Для стального стержня скорость распространения упругих волн (скорость звука) с =5000м/с. Пусть время удара тм0,00!с, тогда длина стержней, при которых можно использовать данную теорию, должна тс быть 7< =0,5...0,83м. б...!О На рис. 20.3 представлены экспериментальные зависимости коэффициента восстановления при соударении сфер из одинакового материала (бронзы или свинца), но различной массы и отношения масс, от начальной относительной скорости удара я.
Значение коэффициента восстановления К, как видно на рисунке, зависит от г, поэтому выбирают некоторое среднее значение К в определенном диапазоне изменения т. Это среднее значение принимают постоянным (в определенном диапазоне изменения г) и используют при решении практических задач. 0,8 О,б 0,4 0,2 0 1,2 2,4 З,б 4,8 6,0 7,2 8,4 6,мlс Рис. 20З Ь57 43 Зак.
16 20.2. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс системы при ударе Для материальной точки теорема об изменении количества движения при ударе имеет вид (20.2), т. е. изменение количества движения точки за время удара равно импульсу ударной сизы, действующей на точку. В проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат получаем ти -тт =Я; ти — тт =Я ' ти — т»!.
=Я.. х» Для ударных внутренних сил механической системы имеем И н ;)" г„" =о; ~мо(г„!'!)=о. »=! »=! Проинтегрировав по времени удара, получаем ',) У„" =о; ,'Гмо(У!'!)=о. »=1 »=! (20.6) Здесь и„, й» вЂ” скорости 1»-й точки после и до удара; У,", У,"— импульсы внешней и внутренней ударных сил. Суммируя уравнения (20.7) по точкам системы, получаем М и ~т»й» — ч ~т»й» =~У»!"! +')" У!'!. »=! »=! »=! »=! и и Обозначив Д = ) т„й„, Я> — — ~т»т», с учетом свойства »=! »=! (20.6) из (20.7) находим н а -а =',).У,'"1, (20.8) »=! где Д, Д вЂ” количества движения системы после и до удара соответственно. 653 Рассмотрим механическую систему, состоящую из Ф материальных точек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
