Termeh (523129), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Применим теорему об изменении количества движения для lг-й точки системы: т»й» — т» й = У!'! + У!'1, й =1, ..., У . (20.7) Таким образом, изменение количества движения механической системы за время удара равно векторной сумме импульсов всех внешних ударных сил, действующих на точки системы. В проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат имеем н и н О» 0о» Х~». ' О! 0о~ =Х~», ' О» Ро» =,>'„~~~-~ (20 9) »-! »=! » ! Запишем Д =Мй, Я, =М«!, где М,йг,«! — соответст- венно масса системы и скорости ее центра масс после и до удара.
Согласно (20.8), выражение для теоремы о движении центра масс системы имеет вид н Миг ™! =Х~»". (20.10) »=! В проекциях на оси координат получаем и и М(иг, — «г„)»»~ Я»»„!; М(и, — «г )= ) Я»! !; (20.11) М(иг — «г»)=) ф!. Получим законы сохранения, вытекающие из этих теорем. 1. Если,) У~'~ = О, то из (20.8), (20.10) следует »=! (20.12) 0 =0о иг ="г Таким образом, если векторная сумма импульсов внешних ударных сил равна нулю, то вектор количества движения и скорость центра масс системы остаются постоянными.
В проекциях на оси координат имеем Р» = 0»» ~ Ру = Дьу! 0» = Оь» 1 иг «г» иг» «г» игз «г* и 2. Если,) Я»!'! =О, то из (20.9), (20.11) получаем »=! Д = Я>„и~„= «< 659 »з* 20.3. Теорема об изменении главного момента количеств движеива системы при ударе Умножим векторно равенство (20.2) слева на радиус-вектор г (рис. 20.4): ! хтй — Рхтй=г хУ, или М (ти) — Я (тй)=МО(У), (20.13) где М (ти), Мо(л»й), Мо(Я) — моменты количества движения материальной точки ппсле и до удара и момент импульса ударной силы относительно точки О соответственно. М Уравнение (20.13) выражает теорему об изменении момента количества движения материальной точки относительно У й точки О при ударе.
В проекциях на оси прямоугольной Р декартовой системы координат получаем О М, (тй) — М„(тй) = М,(У); Рис. 20.4 М (тй) — М,(л»й) = М„(У); ! М (ти) — М (тй) = М (У). Запишем уравнение, выражающее теорему об изменении момента количества движения для любой из Ф точек механической системы: г» х ти» вЂ” г„х тй» вЂ” — г» х У<'! + г» х У»!'!, 1< =1,...„<1<, (20.14) где й„, й» вЂ” скорости <!1-й точки после и до удара; У<'», У<'!— импульсы внешней и внутренней ударных сил, действующих на I<-ю точку системы. Суммируя (20.! 4) по всем точкам системы, получаем (20.15) »=! »< »< — — <о! х где К„=» г„хт,и„Ко =~ г, хт»!» — главные моменты »=! »=! количеств движения системы относительно точки О после и до удара, ~М<»(о»' ) = ~г„х У„" — сумма моментов импульсов »=! »-! 660 н внешних ударных сил относительно точки О (~~Ма(У„' )= го о=! = 'з го х У~'~ =0 по свойству внутренних сил).
lе=! Сформулируем теорему: изменение главного момента количеств движения системы относительно какой-либо точки за время удара равно векторной сумме моментов импульсов внешних ударных сил, приооженных к материальным точкам системы, относительно той же точки. Для главных моментов количеств движения системы относительно осей координат имеем и н К>о> ), М (~<е>), К К>о> з~) М О~! >).
>е ! о.! (20.16) К>о> ~; М 1 — >е> Получим законы сохранения, вытекающие из этой теоремы. 1. Если главный момент импульсов внешних ударных сил относительно точки О равен нулю: ~ М >(Я„) = О, то, согласно !е) о-! (20.15), Ко — — К>о), откуда К =К'о), К,=К'о>, К. =К!о). 2. Если главный момент импульсов внешних ударных сил относительно оси Ох равен нулю:,) М,(У~"~) =О, то, согласно о ! (20.16), К„= К>о> .
Рассмотрим теперь, как изменяется угловая скорость вращающегося тела при ударе. Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Аг с угловой скоростью е> о (рис. 20.5). К телу приложены импульсы Уо!"> (к = 1, ..., Ф). Определим изменение угловой скорости о> тела после их приложения. Главные моменты количеств движения тела относительно оси Аг после и до удара равны: К, =.У,ь>„К!" =.У,о> „где У,— 66! момент инерции тела относительно оси вращения. Из третьего уравнения (20.16) имеем н .У,(а, — ас,)=') М,(Я„~о), (20.17) .см откуда ХМ (Ус ~) ~аг аю асг Л где Ьа„а, — изменение угловой скорости при ударе и проекция на ось Аг угловой скорости тела после удара (см. рис.
20.5). Моменты импульсов о„,У„ударных реакций относительно оси Аг при этом равны нулю. Рнс. 20.0 20.4. Коэффициент восстановлении Пусть материальная точка массой т падает на гладкую поверхность со скоростью й, направленной под углом а к нормали к поверхности (рис. 20.б). После удара скорость точки й составит с нормалью угол р. Угол а называют углом падения, угол 13— углом отражения. Если а н0, то удар точки о поверхность называют косым, если а = 0 — прямым. Импульс о ударной реакции поверхности направлен по нормали к поверхности. Определим скорость й точки после удара и импульс о ударной реакции. Согласно теореме об изменении количества движения точки, в проекциях на нормаль л и касательРнс.
20.6 ную т имеем бб2 т(и„— т„) = Я; т(и, — т, ) = О. Отсюда и, = т, = та(п а. Но Я и и„нельзя определить из одного уравнения, необходимо знать коэффициент восстановления К. Для его определения представим удар точки о поверхность в двух фазах. В начале фазы деформирования скорость точки равна й, в конце — й, . Импульс ударной реакции в этой фазе ч Я, =)ЛИ, о где т,, Ф вЂ” время фазы деформирования и нормальная ударная Заметим, что Я, + Я = Я . Разделив (20.19) на (20.! 8), получим Я, и„ Я, т„ (20.20) Соотношение К = — и„/т„подчиняется модели Ньютона. В учебной литературе его используют для определения коэффициента восстановления. При отсутствии ударного трения (20.5) и (20.20) во многих случаях равнозначны. При наличии ударного трения для тел, совершающих при ударе произвольное движение„ модель Ньютона в ряде случаев противоречит теореме о кинетической энергии, поэтому уравнение (20.5) более приемлемо.
663 реакция поверхности соответственно. В конце фазы деформирования нормальная составляющая скорости точки равна нулю и и, = й, (где й, — касательная составляющая скорости точки). Фаза восстановления начинается при скорости точки й, и заканчивается, когда точка покидает поверхность со скоростью й . 1 Импульс ударной реакции в этой фазе Я = )Фиг . Коэффициент восстановления для точки К = Я,/Я,. Согласно теореме об изменении количества движения точки в проекции на нормаль (см. рис. 20.6) для первой и второй фаз удара соответственно, имеем т(и,„— т„) =т( — т„) =У,; (20.18) т(и„— и,„) = ти„= Я, .
(20.19) Формула (20.20) позволяет определить с помощью простого эксперимента значение коэффициента восстановления К. При прямом ударе а=О, г„= — т, и„=и и К=и/». В то же время т=з~2~6,, и= ~2уЬ (рис. 20.7). Подставив выражения для т и и в формулу для К, получим К=Д~~,. Измерив высоты падения Ь, и отскока Ь, мате- 1 риальной точки, можно рассчитать значение коэффициента восстановления.
При косом ударе а в 0 (см. рис. 20.б) и„т, и„гба К и с а т„ г„ и, Гй 13 Измерив экспериментально углы падения а и отражения 11, можно вычислить значение коэффициента восстановления. При известном коэффициенте восстановления К можно решить задачу об определении и и У с помощью дополнительной зависимости и„= — Кг„= Кг соя а, так как т„= — т соя а. 20.5. Теорема об изменении кинетической энергии системьз нрн ударе.
Теорема Карно Теорема Кельвина Получим выражение для работы ударных сил. Умножив скалярно члены уравнения (20.2) на й и й, получим ти — тйР=Яй, тйй — тг =Уй. Сложив эти уравнения и разделив на 2, находим ти тг о(й+ й) (20.21) 2 2 2 Из теоремы (20.21) следует, что изменение кинетической энергии точки при ударе равно работе А ударной силы Г: 664 АФ) = У(™+м) 2 Сформулируем теорему Кельвина: работа ударной силы, приложенной к материальной точке, за время удара равна скалярному произведению ударного импульса на полусумму скоростей точки после и до удара. Теорема об изменении кинетической энергии Рассмотрим механическую систему, состоящую из Ф точек.
Запишем теорему Кельвина для к-й точки: 2 2 т„и„тз ч„3„(и„+ т„) 2 2 2 где Я„= э„"' + б„",. Суммируя по точкам левую и правую части уравнения, получаем уравнение, выражающее теорему об изменении кинетической энергии системы при ударе: У~"~+У~' и +й Т вЂ” Т =,) ~ " ь ~, (20.22) ьи 2 к г т„и„т, т„ где Т=~, Ть = , '— кинетические энергиисистемы 2 г, 2 после и до удара соответственно.
Согласно (20.22), сумма работ ударных сил, приложенных к материальным точкам механической системы, равна я и ~ ( й + р ) и я си ( й + й ) л.А =л. +~ 2 ь=! Сформулируем теорему об изменении кинетической энергии: изиенение кинетической энергии механической системы при ударе равно сумме работ внешних и внутренних ударных сил, выраженной через суммы скалярных произведений внешних и внутренних ударных импульсов на полусуммы скоростей точек после и до удара.
бб5 42 зак. гв Теорема Карно В выражении (20.22) присутствуют неизвестные ударные импульсы. Чтобы использовать теорему об изменении кинетической энергии при ударе для решения практических задач, необходимо эти неизвестные импульсы исключить. Для этого нужно воспользоваться теоремой об изменении количества движения при ударе. Теорема Карно соединяет эти две теоремы. Выведем теорему Карно для материальной точки (см.
рис. 20.б). При падении материальной точки на гладкую поверхность происходит наложение идеальной стационарной неупругой связи. В начале фазы деформирования скорость точки равна й, в конце й, = й,; импульс в фазе деформирования У,. Так как ударная поверхность гладкая, У,й, =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
