Termeh (523129), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Дифференциальные уравнения системы с демпфером имеют вид т~х, + Ь», + (с, + с2)х~ -Ьх2 -с2х2 = Ус зшр1; в22»2-Ь», -с,», +Ь»2+с,»2 =О, Добавим к введенным выше безразмерным параметрам ~3, б, у Ь безразмерный коэффициент вязкого сопротивления 21 —. =2В22 С2 Тогда, после достаточно громоздких преобразований получаем выражение для безразмерной амплитуды колебаний обьекта 111 У Хб У) ЯУ) +4Ч У (1-У 13У ) На рис.
19.38 представлены амплитудно-частотные характеристики и,(У) при ~3= 0,1; б =1 и различных значениях ц. 12 Рнс. 19,38 При ц = 0 характеристика имеет два резонанса и тождественна представленной на рис. 19.36. При ц-+ю относительное движение гасителя становится невозможным, система как бы трансформируется в одностепенную с резонансом на частоте сс" = ' = — Я = Оз953соо. "ч + и2 ~ф+ Р Как видим на рис. 19.38, при этих и любых других значениях ц амплитудно-частотные характеристики проходят через точки Яи Т. Поскольку избавиться от этих точек нельзя, а снижение одной вызывает подъем другой, то, очевидно, что параметры гасителя станут оптимальными, если точки Я и Т.будут находиться на одной высоте, а коэффициент демпфирования будет выбран 643 таким образом, чтобы в одной из точек амплитудно-частотная характеристика имела максимум (при этом, как показывают расчеты, и второй максимум будет незначительно превышать ординаты точек Я и Т1.
Чтобы выполнить первое условие, необходимо подобрать параметры т, 'и ~," гасителя так, чтобы выполнялось 1 условие б = —. При этом ординаты точек Я и Т будут равны 1.О Гг и, = — +1. й Определение оптимального т1 более сложно и требует использования ЭВМ или специальных номограмм. Для рассматриваемого примера оптимальное и = 0,1б8. На рис.
19.39 представлена амплитудно-частотная характеристика объекта при оптимально подобранном гасителе для случая 13 = 0,1 . Значения параметров приэтом 8=0,9091, и, =4,59. и 16 1,2 0,8 0,9091 1,0 Рис. 19З9 Для расширения зоны гашения и уменьшения амплитудных значений и, необходимо в разумных пределах увеличивать массу гасителя по отношению к массе объекта. 19.10.
Колебании лыыейыых систем с коыечыым числом степеыей свободы Матричная форма дифференциильныхуривнений движения Дифференциальные уравнения движения линейной системы с конечным числом степеней свободы были выведены в 8 19.7 и имеют вид (19.90), или в развернутой форме аца', +а,заз +...+аыа'„+Ьца, +...+Ьыд„+сц9~ + ...+сна„= Я(Г) а„4+а22д, +...+ам9„+Ьыд', +...+Ь,„9„+с,у+...+с,„9„=Щг). а„Д, +а„,д, +...+а„„9„+Ьи9, +...+Ь„„д„+с„,9, +...+с„„д„= Д„(г) Введем обозначения для вещественных симметрических квадратных размера н х и матриц инерционных, диссипативных и квазиупругих коэффициентов: А=[а, 1 ац ац " ам ам ам ... а „; В=[Ьв); С=[с,.
), а„, а„, ... а„„ а также для матриц-столбцов (векторов) обобщенных координат системы н соответствующих им обобщенных возмущающих сил: 0 (г) 02(г) 1?(г) = [Я(г)]= 645 Тогда уравнения движения можно представить в матричной форме следующим образом: АЧ+ Вя+ Сй =(Хг) . (19.118) В силу положительной определенности кинетической энергии Т системы матрица А инерционных коэффициентов как матрица квадратичной формы от обобщенных скоростей является положительно определенной во всех случаях. Матрица С квазиупругих коэффициентов является положительно определенной только при движении около положения устойчивого равновесия, где в силу теоремы Лагранжа потенциальная энергия имеет минимум. В этом случае выполняется условие критерия Сильвестра — главные диагональные миноры ее матрицы коэффициентов должны быть строго положительны.
Если матрица В диссипативных коэффициентов является положительно определенной, то, как указывалось выше, диссипация называется полной (проявляется во всех главных движениях). Определение собственных характеристик системы Частоты и формы колебаний системы определяют из матричного уравнения, описывающего свободное движение консервативной системы, А(1+Сй = О, (19.119) решение которого ищут в виде ц =Уз1п(вг+а), (19.120) где У =[Р;1 — матрица-столбец (вектор) амплитуд обобщенных координат. Подстановка выражения (19.120) в (19.119) дает алгебраическое матричное однородное уравнение (С вЂ” в2А)У =О. (19.121) Условие существования нетривиального решения уравнения (19.121) приводит к характеристическому уравнению задачи бе1(С вЂ” в~А)=0, или бе1(А 'С вЂ” в'Е) =О, (19.122) где Е = б1ая111 — единичная матрица, элементы которой ~1, если 1= 1; е„= (О, если 1~ у.
Упорядоченная в порядке возрастания и пронумерованная совокупность положительных корней уравнения (19.122) в,' < в' « ... в„' образует так называемый спектр собственных значений системы, а соответствующая ему совокупность в, <оз «...в„— спектр собственных частот.
Если в спек- 646 тре собственных значений существует нулевой корень, то такой случай рассматривается как особый; он имеет место, когда матрица С не является положительно определенной. Каждой собственной частоте в„, й = 1, 2,..., л, соответствует свой вектор У, амплитуд обобщенных координат, удовлепюряющнй уравнению (19.121), т. е. (С-в,'А)У, =О (19.123) нли в развернутой форме л ,') (с,, - ш,'а,, )У,.„= О 0 = 1, 2, ..., л) . /и Уравнение (19.123) содержит л неизвестных координат вектора У„однако, так как, согласно (19.122), матрица коэффициентов однородной системы алгебраических уравнений является вырожденной, число независимых уравнений в системе меньше и.
Если характеристическое уравнение (19.122) имеет простые корни (т. е. в спектре нет кратных корней), число независимых уравнений будет равно п-1, и компоненты вектора амплитуд определятся с точностью до множителя. Найденное таким образом (с точностью до множителя) распределение амплитуд в собственном колебании с частотой а„называется собственной формой колебаний. Задание множителя определяет процедуру нормирования, которая может быть выполнена различными способами. В качестве нормирующего может выступать какой-либо из компонентов вектора амплитуд У„, например Уц нли У либо модуль вектора (эвклидова норма) У~ — — ~У ь 2 Примем в качестве нормнрующего множителя вектора У, его компонент У„и введем векторы формы з)ь = У„/У~„. Число неизвестных компонентов вектора т1„равно л -1 (т)н = 1) .
Отбросив одно из уравнений в (19.123), получим невырожденную систему алгебраических уравнений вида л-! ~(с!! — В,а!1)Г!,.„= В!аы — сы (,1 = 1, 2, ..., л), !=! из которой последовательно определяются все векторы н! . Пронумерованная совокупность векторов з)!, з),, ..., з)„образует спектр собственных форм колебаний системы.
Свойства собственных частот и форм колебаний В силу симметричности и положительной определенности матриц А и С из теорем линейной алгебры следует: 1) все корни характеристического уравнения (19.122) положительны, а в особых случаях, когда возможны и нулевые значения, неотрицательны и, таким образом, собственные частоты — вещественные; 2) собственные формы попарно ортогонапьны по отношению к матрицам А и С, т. е. при х ~сп з)'„Аз), =!1„'СЧ, =О. (19.124) Для доказательства последнего запишем уравнение (19.123) для собственных форм, соответствующих двум разным частотам в и в„(lс, г=1,2,...,л): в,АЧ„=С !„; в,'Аз), =СЧ„.
Умножим слева первое уравнение на з1'„, а второе — на з)„'. Так как в силу симметричности А'= А, С'= С, то после транспонирования и вычитания второго уравнения нз первого получаем (в',Ч'АЧ,Г =в,'Ч'„АЧ =(ЧХз)„Г =Ч„'СЧ Отсюда (в,' — в'„)Ч'„Аи„= О и, следовательно, Ч„'Аз), =Ч,'Ст(, =О.
Свободные колебания консервативных систем Собственным частотам в (к = 1, 2,..., л) отвечают частные решения уравнения (19.119) Ч" =Чр««яп(оз„«+а )=Ч„(Р, созе„«+К з)поз«г), («) где Р„, К вЂ” произвольные постоянные. Свободные колебания системы представляют собой суперпозицию главных колебаний, т. е. д) — — ,'),9 =,') Ч «У««з(п(ез««+а«) = («) «« (19.125) = с~~11 «(Р«соя аз«$+ К«яп оз«е) « или в векторной форме Ч = ~ Ч«(Р«сов аз«т+ К«з)п го«г) . Произвольные постоянные определяют по начальным условиям Ч(0) =Ч,, Ч(0) =Ч, с учетом ортогональности собственных форм (19.124).
Подстановка в (19.125) ~ = 0 и умножение обеих частей полученного равенства слева на Ч'„А дает Ч'„АЧо =',)„(Ч АЧ«)Р«=Ч АЧ«Р«("=Ь) г откуда следует Р« = (Ч«А Чо)/(Ч«АЧ«) . Аналогично К« =(Ч«АЧо)!оз«(Ч«АЧ«). (19126) Если распределение начальных отклонений и скоростей с точностью до множителя совпадает с какой-либо собственной фоРмой, т. е. Чо — — аЧ;, Чо — — ЬЧ;, то отличными от нУлЯ, согласно формулам (19.126), будут только две константы: Р< = а и К; = Ь. Это означает, что при таком специальном задании начальных условий возбуждаются главные колебания системы, причем, если Ь = О, реализуются так называемые переходные, а при а = 0— импульсные характеристики. Нормальные (главные) координаты Из (19.125) следует, что свободные колебания системы представляют собой суперпозицию гармонических колебаний.
Специальным подбором начальных условий движения можно создать условия, когда система будет совершать гармонические колебания с какой-то одной из возможных собственных частот, т. е. будут возбуждаться главные колебания системы. Как было показано в з 19.8, этого же возможно добиться, если найти такие новые координаты, каждая из которых будет изменяться по гармоническому закону с какой-либо собственной частотой при любых начальных условиях. Путь решения этой задачи подсказывает сама структура общего решения (19.125). Введем новые переменные Оь -— Уь ~ з(п(оь г+ ц ) ( й = 1, 2,..., л ). Тогда, согласно (19.125), будем иметь и В =~ц ~ОЬ (/=1,2,...,л), я или в матричной форме 1=НВ, (19.127) где Н = [ц,, ц„ ..., ц„| — матрица, столбцами которой являются нормированные собственные векторы; В = [О,, Оз,..., О„~' — вектор новых координат.
Линейное преобразование координат (19.127) приводит квадратичную форму потенциальной энергии к каноническому виду: П = — и'Сп = — В'Н'СНВ =-В'С'В, 2 2 2 где и л С =Н Сн=(т1~~ст(~)=йай(сь); са =ць~сць —— ~ ~ч~ ц„еуц ь. Аналогично для кинетической энергии Н АН=А' =гИай(аа) аь =т(ь~Ац~.
В новых координатах, называемых ноумальньгми, или главными, дифференциальные уравнения свободного движения консервативной системы становятся несвязанными относительно координат, т. е. принимают вид 650 Е,+оз,'Е„=О И=1,2,... ), где оз» = с„ /໠— квадраты собственных частот, определенные 2 теперь по элементам диагональных матриц коэффициентов, соот- ветствующих новым координатам. Формула (19.127) определяет прямое преобразование коор- динат, при котором обобщенные координаты выражаются через нормальные. Обратное преобразование имеет вид е=се, где С вЂ” обратная к Н матрица, которая показывает, что каждой нормальной координате соответствует линейная комбинация обобщенных координат Е = 8„'»1 (8» — вектор-строка матрицы С). Эта линейная комбинация сводится к одному числу только в случае, когда распределение координат в векторе»1 соответствует к-й собственной форме, т.
е. н = »1» = »1»Е. Таким образом, каждая нормальная координата представляет собой совокупность обоб- щенных координат, распределенных в ней в соответствии с соб- ственной формой. Реи»ение общей задачи Применив линейное преобразование координат (19.127) к уравнению (19.118) и умножив его слева на Н', получим Н'АНЕ + Н'ВНЕ + Н'СНЕ = Н'0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
