Termeh (523129), страница 76
Текст из файла (страница 76)
19.25. ! Внлно, что для виброзащиты необходимо, чтобы независимо от способа воз- И=О 25 ! мущения и вязкого сопротив- 4 ленив частота собственных ! колебаний системы была бы значительно ниже (но крайней мере в Г2раз) частоты 2 возбуждения. Как видно на графике ! ----г-- ! 13(х), при р>а~Г2, т.е. в ! О области виброзащиты, демп- 1 1,41 2 фирование играет отрицательную роль, поскольку чем меньше демпфирование, тем больше эффект виброзащиты.
Казалось бы, что нужно уменьшать демпфирование, однако это не всегда так. Необходимо учитывать, что при силовом возбуждении любая машина прн пуске проходит режим раскрутки, а при остановке— режим торможения. Частота возбухо)ения при этом меняется от нуля до р и наоборот. То есть система проходп через резонанс, что вынуждает конструктора вводить в ущерб виброзащите достаточное демпфирование с целью уменьшить амплитуду резонансных колебаний.
При кннематическом возбуждении возможно скачкообразное перемещение основания (наезд на прешпствне, попадание колеса в яму и т. д.), что при отсутствии демпферов (амортизаторов) может привести к недопустимым перемещениям н, следовательно, перегрузкам виброзащищаемого объекта, а также к длительному процессу затухания возникающих свободных колебаний.
наложены голономные стационарные связи. Предполагая, что система имеет устойчивое положение равновесия, будем отсчитывать от этого положения обобщенные координаты (1=1,2, ..., л). Сохраним допущения относительно сил, действующих на систему, сделанные при выводе дифференциального уравнения мапых колебаний системы с одной степенью свободы.
Воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода: =Д =Яп+Д;д+Д (г) ('=1 2*" *") (1974) а (дт') ат лг '1 д9,. ~ дд,. В соответствии с предположением о малости колебаний будем считать обобщенные координаты,их скорости и ускорения величинами первого порядка малости. В силу стационарности наложенных на систему связей радиус-векторы точек зависят только от обобщенных координат: г =г„(д,, ...,д„). Тогда Нг„" дг,. Г = — =') — о,. аг,, дд,.
(19.75) и, следовательно, кинетическая энергия системы ( ° а.-„, 1 ° ° ° а.—, аг„.. 2ьи '~ьадд,. ' 2„, '; ..ьадд, д9, дг;дг,. 1" ') ',) 2 и„— ь — «9,.д, = — '~~~ Аад,.д, дд,. дд,. ' ' 2..., — 2 Т= — ЯтЯ гни 1 2 равновесия: 616 Здесь масса й-й материальной точки т~, ее скорость р„, а д.—, а.—, (19.7б) „, "а9, а~,' причем Аа являются в общем случае, как и г„, функциями обобщенных координат. Разложим Аа в ряд Маклорена в окрестности положения " (дА! '! Аа(9„9з, ...9,)=(Аа) +~~ — '! 9„+...
,,( а~„ ), " " В силу малости колебаний будем учитывать только первые члены разложения, которые обозначим (Аа)о --о„.. и назовем обобщенными инерционными коэффициентами, причем, согласно (19.76), ая = ал Окончательно имеем (19.77) Кинетическая энергия оказалась квадратичной формой обобщенных скоростей. Известно, что кинетическая энергия механической системы может быть либо положительна, если отлична от нуля хотя бы одна обобщенная скорость, либо равна нулю при всех равных нулю обобщенных скоростях.
Следовательно, квадратичная форма кинетической энергии (19.77) является положительно-определенной. Составляющая обобщенной силы от потенциальных сил 0 дП (19.78) д9,. Разложим потенциальную энергию системы П(д„()2,...,9„) в ряд Маклорена в окрестности положения равновесия: П(ч! чз ''' Ч ) П(0)+ +~ — 9,. + — ,'1'~ 9,.91+ 1 ° » ° ( дзП (19.79) 617 Первый член в разложении (19.79) равен нулю, поскольку потенциальная энергия и обобщенные координаты отсчитываются от положения равновесия; вторые члены, включающие в себя с ап') —, также равны нулю, поскольку в положении равновесия дц,.),' потенциальная энергия имеет экстремум; четвертые и последующие члены отбрасываем в силу предположения о малости колебаний. Тогда 1" "(д'и '1 ( ) 2 .) .~дд,.д91! о ( дэп1 Обозначим через св и назовем их кваэиупругими ),дц,.ац,Д, коэффициентами, причем св = с». Окончательно имеем и ч п(д,, ...,д„)= — 2 „') св9,91, (19.80) 2,,-,"'' т.
е. потенциальная энергия представляет собой квадратичную форму обобщенных координат. Выясним, в каком случае положение равновесия колебательной системы будет устойчивым. Согласно теореме Лагранжа, достаточным условием устойчивости положения равновесия консервативной системы является наличие в нем локального минимума потенциальной энергии. Выше было приюпо, что потенциальная энергия в положении равновесия равна нулю. Следовательно, для устойчивости положения равновесия достаточно, чтобы в некоторой окрестности положения равновесия она была строго больше нуля и обращалась в нуль только при всех нулевых значениях обобщенных координат. Другими словами, достаточно, чтобы квадратичная форма (19.80) была положительно- определенной.
В соответствии с критерием Сильвестра, для того чтобы квадратичная форма была положительно-определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы коэффициентов квадратичной формы были строго болыие нуля. Запишем в соответствии с (19.80) матрицу коэффициентов квадратичной формы 618 С! ! Сгз ... С!„ Сз, С, ...
Сз„ (19.81) Сл! Сиз Тогда, в соответствии с теоремой Лагранжа и критерием Сильве- стра достаточное условие устойчивости положения равновесия консервативной колебательной системы имеет вид СП СГ2 " С!в С22 ... Сз„ сп >О; С!1 С!2 >О; С2, С22 >О. С„з Поскольку всегда можно изменить нумерацию обобщенных координат и любую из них сделать первой, то очевидно, что все элементы матрицы (19.81), стоящие на главной диагонали, должны быть строго больше нуля: сз! >О (1=1,2,...,л). Для анализа устойчивости положения равновесия при наличии диссипативных сил можно так же, как и в случае системы с одной степенью свободы, воспользоваться теоремами Кельвина.
Пример 19.7. Определить, при каких значениях жесткости пружины с положение равнове- ш сия системы, состоящей из двух связанных между собой пружиной математических маятников, зу (рис. 19.26), будет устойчиво. с ! Рви!елин Изменение потенциальной энергии системы при отклонении от положения равновесия ((р = О,зу = 0) будет результатом подьема груза левого маятника на высоту 0 ! )!! = ЗЦ1 — сов!у), опускания груза правого маятника на высоту 6 = 2)О-сов!у) и деформации пружины. Полагая, что в положении равновесия пРужина не деформирована, запишем изменение Лз ее потенциальной энергии в виде с)Г/2, где Х— деформация пружины, которую в силу предпоРис.
19.26 ложення о малости колебаний можно определить по формуле 2, = !9 — !Ч! = Ц<р — зу) . Тогда потенциальная энергик системы при ее отклонении от положения равновесия П =Зтяд1 -сов!Р) -2тя!Π— сов!у) + — с! (<р-зу) з 2 2 619 Так как в выражении для потенциальной энергии нужно учитывать величины до второго порядка малости, представив соя<р и сову в виде соаЕ = 1-!р«/2 и соку = 1-«р~/2, получим 1 П = — (спф +2с!«<рЧ«+с~«р ), 2 где сн =с1 +Зл!81; с„=сп =-с1; сп — -с1 — 2т81. 2, 2, 2 Иэ условий сп с32 сж >О, >О с„сж соответственно имеем с > 2 л«8/1; (19.82) с > бл!8/1.
(19.83) Сопоставляя (19.82) и (19.83), получаем, что для устойчивости положения равновесия необходимо выполнение условия (19.83). л Дю — --,) сйду. (19.84) )ы Составляющая обобщенной силы от диссипативных сил равна дФ 0 а9,' где Ф вЂ” диссипативная функция Рэлея. Учитывая выражение для скорости (19.75), запишем диссипа- тивную функцию Рэлея Ф для системы с и степенями свободы: — 2 Ф= — ~" Ь«Г« = 2«, ~ ° а-.„, 1 ° ° ° а.-„а.-„..
г = — ~Ьа,~ — "«1! = — ЯЬ« ~~, ~~~ —" — "д,д)= (19.8б) 2«ы «(«!д9! ' 2,,;!1«ду, д9 ог„!тг«1 = — Х.)' .))'.Ь г" — "9А = — ХХВ~ ЧА 2,...„, 'д9,д91 ' ' 2!... (19.85) Здесь В, являются в общем случае функциями обобщенных координат: Подставив выражение для потенциальной энергии (19.80) в (19.78), получим составляющую обобщенной силы от потенциальных сил 620 дг, дг„ ,, "дц,. дУ,. Так как диссипативная функция Рэлея уже содержит величины второго порядка малости (произведения скоростей обобщенных координат), в разложении Ва в ряд Маклорена, как и в разложении коэффициентов А», будем учитывать только первые члены разложения — значения коэффициентов В» в положении равновесия.
Обозначим (Вя) через Ьа и назовем их обобщенными диссипативными коэффициентами, причем Ьа = Ьл Тогда а,.д =-',)"„Ьад, (19.88) !=! Составляющую обобщенной силы Д,(г) от сил Рл(г), зависящих от времени и действующих на систему извне, можно получить стандартным способом, полагая, что вариация только г-й обобщенной координаты 89, ~0, вычисляя сумму элементарных работ от сил Р,(г) на перемещениях, определяемых 89,, и относя полученное значение работы к вариации обобщенной координаты: фи) ! (19.89) 62! О Ф Ф =-',).',)„Ьяд,.дэ (19.87) 2 !=! !нч ё ' ! В общем случае Ф представляет собой, согласно (19.86), неотрицательную квадратичную форму.
Если же Ф является положительно-определенной квадратичной формой, диссипация называется полной. Подставив выражение для диссипативной функции (19.87) в (19.85), получим составляющую обобщенной силы от диссипативных сил: Подставив выражения (19.77)„(19.84), (19.88), (19.89) для Т, Дп, Дщ, Д, (1) в уравнения Лагранжа второго рода (19.74), получим в самом общем случае уравнения малых колебаний линейной системы с и степенями свободы': ~(аа9)+Ьад)+с,у )=Д,(г) (г'=1,2,....,л). (19.90) )=! В частном случае системы с двумя степенями свободы квадратичные формы Т, П и Ф будут соответственно ° г ° г Т = — (апд, +2а,гд,фг+аггдг); 2 1 г г . П= — (сп9, +2с„919г+сгг9г), 2 .г г (Ьп% + 2Ь1гЧ4г+ЬМг) 2 а дифференциальные уравнения малых колебаний примут вид апЯ, +а,Дг+Ьпф, +Ь„фг+спд, +с„дг =Д,(1); (19.92) а~г% + агАг + Ь1г% + ЬыЧг + си% + сггЧг =(чг(Г) Пример 19.В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
