Termeh (523129), страница 71
Текст из файла (страница 71)
19.10 слева направо, «-» — наоборот. Уравнение (19.39) является нелинейным даже с учетом малости колебаний, однако при определенных начальных условиях: при г=О х=хв х=О (19.40) можно легко найти его решение, рассматривая последовательно интервалы движения, где знак скорости постоянен и, следовательно, уравнение (19.39) является линейным и может быть представлено в виде х,+в х,=О, 2 где х, = х + а; а = Р' /с представляет собой отклонение тела от положения равновесия под действием силы, равной максимально возможной силе трения покоя.
При начальных условиях (19.40) на первом интервале тело движется влево, а его уравнение имеет вид х+в х=в а. 2 2 При начальном отклонении тела от положения равновесия на величину хо <а движение не начнется, поскольку упругая сила пружины окажется недостаточной для преодоления силы трения. Полосу — а < х ь а называют зоной застоя (рис. 19.11). хо а -а Рис. 19.П При х > а решение с учетом (19.40) будет иметь следующий вид: х=а+(х, — а)созвт, 580 т. е.
на первом интервале решение — косинусоида с амплитудой хв — а, смещенная вверх на величину а (см. рис. 19.11). Полу- ченное решение справедливо, пока х < О. Так как х = — а(х — а) ьйп сл, то скорость остается отрицательной до 1 = я/сз. В этот момент времени тело остановится и его смещение от положения равнове- сия будет равно х, = а + (х~ — а) соз я = -(х~ — 2а), т. е. по абсолютной величине уменьшится на 2а по сравнению с начальным. Если ~х,~ > а, то движение начнется в обратную сторону и его уравнение примет вид х+еэ х=-еэ а. 2 2 Отсчитывая время от начала движения в обратную сторону, по- лучаем начальные условия для второго интервала движения: при г=О х=х„х=О. Решение на этом интервале имеет вид х=(х, +а)созои — а и представляет собой косинусоиду с амплитудой ~х, + а~ = хр — За, смещенную вниз на величину а (см.
рис. 19.11). Через г = л/о тело остановится в крайнем правом положении, имея смещение от положения равновесия, равное х, = — х, — 2а=х, — 4а (см. рис. 19.11) и т. д. Движение тела будет продолжаться до тех пор, пока при очередной остановке его в крайнем положении смещение от по- ложения равновесия не окажется по абсолютной величине мень- ше а.
Хотя рассмотренное движение и не является периодиче- ским, можно, как и в случае затухающих колебаний при наличии линейно-вязкого сопротивления, ввести условный период коле- баний Т, = 2к/а (см. рис. 19.11), характеризующий чередование нулей и максимумов. Период Т, совпадает с периодом колебаний консервативной системы и не зависит от наличия сухого трения. За каждый период Т, амплитуда колебаний уменьшается на вели- чину 4а, т.
е. убывает во времени по линейному закону. 581 19.4. Вынужденные колебании линейной системы с одной степенью свободы Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний линейной системы с одной степенью свободы имеет вид (19.25). В случае, когда обобщенная сила Д(г), характеризующая внешнее воздействие на колебательную систему„изменяется во времени по закону синуса или косинуса: 0(~) = 0с з(п(рг+ Р) где Я„р, р — соответственно амплитуда, частота и начальная фаза обобщенной силы, имеет место гармоническое возбуждение колебаний.
Способы возбуждения вынужденных колебаний Определение обобщенной силы Д(т) Способы возбуждения колебаний можно условно разделить на группы. На рис. 19.12 приведены три наиболее характерных способа возбуждения вынужденных колебаний простейшей колебательной системы. Система представляет собой тело массой т, имеющее возможность двигаться по гладкой горизонтальной поверхности. С телом скреплена пружина, жесткость которой с. Обобщенная координата х отсчитывается от положения равновесия системы (при отсутствии внешнего воздействия), когда пружина не напряжена. 1.
Силовое возбуждение (см. рис. 19.12, а). Система находится под воздействием силы Р(~) = р0 сдп(рг + р), приложенной извне и не зависящей от параметров системы. В этом случае для получения Д(г) необходимо задать вариацию обобщенной координаты бх и, вычислив возможную работу только от действия силы Г(г), разделить ее на бх: 0(г)= ="оа(п(рг+Р).
Г(г)бх Ът 582 2. Кинематическое возбуждение (см. рис. 19.12, б). Вынужденные колебания возникают в результате задаваемого извне перемещения точки крепления пружины з(1) =з 81п(рг+ 13), не за- висящего от параметров системы. Изменение условной потенциальной энергии пружины при одновременном перемещении ее концов равно П' = 1/2 сХ2 = 1/2 с[» — з(г))2.
Тогда дП' Я,, = — = — с»+с»(~)=Я, + Яг), дх где Дп —— — сх; Д(1) =с»4 81п(рай+ 13). 3. Инерционное возбуждение. Возможны два случая. А. Вынужденные относительные колебания (см. рис. 19.12, в). Механическая система находится на подвижном основании, перемещение которого, независящее от параметров системы, задается извне, причем необходимо исследовать относительные (по отношению к подвижному основанию) колебания. Система координат, связанная с подвижным основанием, движется вместе с ним поступательно, прямолинейно, но неравномерно.
Поэтому при составлении дифференциального уравнения вынужденных относительных колебаний необходимо учитывать переносную силу инерции Ф„= — та„, направление которой противоположно направлению переносного ускорения. Переносное ускорение а„=у(г) при этом считается сонаправленным с з(г). Обобщенная сила Д(г) будет определяться Ф„, т. е.
— тягла» Д(~) = = — тх(г) = тр 44 81п(рг + 13) . В. Вынужденные колебания, вызываемые вращающимся эксцентриком (см. рис. 19.12, г). Тело скреплено с эксцентриком, имеющим массу т, «т, эксцентриситет 1, и вращающимся с постоянной угловой скоростью. Обозначив через у = р~+ 13 угол отклонения эксцентрика от вертикали, выразим Д(~) через проекцию на горизонталь центробежной силы т, р'1,: 584 т, р~1, яп(ре+ 13)бх 0(Е) = = т, р 1, яп(рЕ + ~3) . бх Отметим, что при инерционном возбуждении колебаний, в отличие от силового и кинематического возбуждений, амплитуда Д„ обобщенной силы пропорциональна р' . Приведенные примеры, естественно, не охватывают все способы возбуждения вынужденных колебаний, например возбуждение колебаний вследствие перемещения точки прикрепления демпфера.
Возможно и комбинированное возбуждение колебаний, объединяющее несколько способов. Вынужденные колебания нри отсутствии вязкого сопротивления При гармоническом возбуждении, согласно (19.25), дифференциальное уравнение движения имеет вид ад + сд = Я, яп(рЕ + 13), или д+ ел'еЕ = 1'„яп(ре+ 13), (19.41) где Ев =Я~/а. Силовое и кинематичес«ое возбуждения колебаний Известно, что общее решение линейного неоднородного уравнения (19.41) можно представить в виде суммы общего решения д„„ однородного уравнения 9 + созе = О и частного реше- ния дк„ неоднородного уравнения: (19.42) 9 = Чоо + Ячп.
Общее решение однородного уравнения д„=С, созозе+С, япесе. (19.43) Частное решение неоднородного уравнения определяется в зависимости от соотношения частот свободных колебаний и возмущающей силы. Возможны два случая: отсугствие резонанса реев и резонанс р=в. 585 1. Отсутствие резонанса. В зтом случае (рооа) частное решение следует искать в виде д„„= Огйп(рг+ 13), где 0 — искомая постоянная величина.
Подстановка д„„в (19.41) приводит к соотношению ~(~о Р )=.1о откуда .го з г' В соответствии с (19.42) общее решение уравнения (19.41) будет иметь вид ~у =С, соввг+ С, в(позг+,, 81п(рг+ 13), (1944) .1о ге — р или д = А в(п(вг+ а)+,, в(п(рг+ 13) . (19.45) Уо го — р Произвольные постоянные С,, С, определим из начальных условий (19.29), используя полное решение (19.44): С, — 9о вшР; Сз — — — совР. Уо °, Чо Уор 2 2 ' го ( 2 2) При необходимости произвольные постоянные А и а можно вычислить через С, и С по формулам (19.30). Как следует из (19.44) и (19.45), движение состоит из двух гармонических колебаний с частотами оз и р соответственно.
Первые (с частотой ге) можно по аналогии со случаем отсутствия возмущающей силы условно назвать свободными колебаниями, а вторые (с частотой р ) — вынужденными колебаниями сисяымы. Условность названия «свободные колебания» связана с тем, что определяющие их произвольные постоянные зависят не только от начальных Условий (д„фо), но и от паРаметРов возмУ- щающей силы Д„р, Р), и, следовательно, первые колебания в 586 решении фактически также являются вынужденными колебаниями.
Однако данное название получило широкое распространение лишь потому, что вторые колебания имеют частоту р возмущающей силы, в то время как первые — частоту в свободных колебаний (собственную частоту). Отметим, что в реальных системах, где всегда присутствуют силы вязкого сопротивления, колебания с частотой в со временем затухают и устанавливаются не зависящие от начальных условий стационарные вынужденные колебания с частотой р, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
