Termeh (523129), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Установление типа экстремума связано с рассмотрением второй вариации, минимум которого реализуется при б~о > О. Канонические уравнения Гамильтона 550 Рассмотрим (2н+ 1)- мерное расширенное фазовое пространство, в котором координатами точки являются а„р, и Г. Величины р, называются обобщенными импульсами и опреде' ляются равенствами р, = — =р,(д,д,г) (1=1,2,...,л). (18.63) дУ, l Введем также функцию фазовых переменных Н(д, р, !), связанную с функцией Лагранжа у(д, р, г) равенством // у(дп ..., д„, д/, ..., д„, г)+ Н(д„„., д„, р„„., р„, г) = 2 д,р,. (18.б4) !гя Для вывода уравнений движения в пространстве фазовых координат воспользуемся принципом наименьшего действия (18.54): л Ы =8 1)угу =Ь 15 ~~'(р д/ — Н)/уг =О.
/л !л Обратим внимание на математическую особенность решаемой задачи: время 1 и позиционные координаты д, фиксированы в концевых точках, переменные р, свободны. Следовательно, в пространстве фазовых переменных д,р,г мы имеем задачу со свободными концевыми условиями. Но эти условия не вносят особенностей в решение, поскольку подынтегральная функция не зависит от р . В новых переменных вариация действия имеет вид дН дН бо = ~~~р,бд, /- д,бр, — — бд, — — Ьр, ~й = О. .! Ф! Принимая во внимание краевые условия Ьд, (гр) = Ьд, (г, ) = О, преобразуем первый член подынтеграпьного выражения: !! ~р,~, Уг= р/бд,~," — ~р/Ьд, Уг. !о /л Выражение для М примет вид д, — дН Ьр,. — р, + дН Ьд, /уг = О.
Равенство нулю вариации действия Ы при произвольных и независимых вариациях Ьд,, Ьр, будет при условии равенства нулю соответствующих сомножителей при бд„бр/. 551 Таким образом„получаем дифференциальные уравнения движения механической системы в фазовом пространстве, называемые каноническими уравнениями Гамильтона: — = — — = - — (1 = 1, ..., и) . (18.65) Ф дН Ф; дН аг др, аг да, С учетом уравнений Лагранжа и определения обобщенного импульса (18.63), находим И(дА 1 Ир, дА — — — — — (1 =1,..., и). й ~дд, ! с(г да, Сравнивая эти уравнения со второй системой уравнений Гамильтона, приходим к выводу, что дА дН вЂ” — (1=1,...,н) да, да, и уравнения (18.63), а также первая система уравнений (18.65) могут быть получены из соотношения (18.64) формальной операцией частного дифференцирования в предположении независимости переменных а,, р„г.
Для голономных стационарных систем л Щ и дТ ;) ф, — ='~ а, — =2Т Ф м Й! и функция Гамильтона Н= 2Т вЂ” (Т вЂ” П) =Т+ П определяет полную механическую энергию системы. Канонические уравнения Гамильтона представляют собой нормальную (разрешенную относительно первых производных фазовых переменных р„ а,) систему 2л дифференциальных уравнений первого порядка, что упрощает как аналитическое, так и численное исследование движения механических систем. При составлении канонических уравнений Гамильтона для голономных систем следует придерживаться следующего порядка проведения операций: 1) выделить механическую систему, определить число степеней свободы, ввести обобщенные координаты; Пример 18.12.
Составить канонические уравнения для линейного осцилляторя, полагая, что масса движущейся точки равна и, а коэффициент жесткости пружины с. Решение. Осциллятор имеет одну степень свободы, поэтому в качестве обобщенной координаты выберем о. Кинетическая энергия точки Т=он ~/2=яд~/2, потенциальная П =од~/2.
Вводим импульс р=дТ/дд= = мф и вырываем ф = р/и. Следовательно, функция Гамильтона Н = Т+ П имеет вид Н= — + —. р со 2т 2 В соответствии с (У 8.65) получаем йу дН р др дН вЂ” — — — = — = -сс . й ф м й до Отметим, что первое уравнение определяет количество движения точки р = аяу, что и обусловливает название переменных р, как импульсов.
Выражая импульс иэ первого уравнения и подставляя во второе, находим уравнение дви- жения в форме Ньютона илу = -со . Пример 18.15. Составить канонические уравнения движения материальной точки под действием силы тяготения. Решение Точка на плоскости имеет две степени свободы, поэтому в качестве обобщенных выбираем полярные координаты о, = г, е = ф. Кинетическая и потенциальная энергии имеют вид Т= — (г +гф); П= —.
.2 2 2 Г Вводим импульсы дт .. р, р, = — =шг, г= —, дг дТ Рг= . =шгф дф Следовательно, функция Гамильтона Н = Т + П имеет вид 553 2) вычислить кинетическую и потенциальную энергии системы как функции обобщенных координат и скоростей; дТ 3) ввести обобщенные импульсы системы р,, = — и в выбор ражении полной механической энергии выразить ф, через р,. Полученная функция и будет Гамильтонианом Н данной механической системы; 4) составить канонические уравнения (18.65).
Заметим, что импульс рз = вгг ф определяет момент количества движения точки относительно неподвижного центра. В соответствии с уравнениями (18.65) йг дН р, Ир, дН х рз аЗр дН р — = — = — +— й др, т Ыг дг гз тгз й др мгз фз дН й дф Координата й циклическая, поскольку не входит в функцию Лагранжа Ь. В функцию Гамильтона Н ф также не входит. что указывает на то, что свойство цикличности обобщенной координаты не зависит от того, в какой механике— Лагранжа нлн Гамильтона изучается данное движение. Глава 19 ТЕОРИЯКОЛЕБАНИЙ Колебаниями называется процесс, сопровождающийся многократным чередованием возрастания и убывания некоторых физических величин. Физическая природа колебательных процессов различна.
Колебания могут быть механические, акустические, электромагнитные, в электрических контурах и т. д. В теоретической механике рассматривают колебания в механических системах — механические колебания. Изучение свойств колебательных движений необходимо для понимания многих физических явлений, с которыми приходится сталкиваться в инженерной практике. Движение машин и механизмов практически всегда сопровождается возникновением колебаний илн, как еще говорят, вибраций. Инженеру необходимо, с одной стороны, уметь бороться с колебаниями там, где они вредны, а с другой стороны, уметь использовать их как полезный процесс в таких устройствах, как вибротранспортеры, виброуплотнители, сита и т.
д. Ниже рассматриваются малые колебания в системах с одной, двумя и конечным числом степеней свободы, описываемых линейными дифференциальными уравнениями, относительно положения устойчивого равновесия. 19.1. Устойчивость положении равновесии механической системы Рассмотрим механическую систему с голономными, стационарнымн и неосвобождающими связями с и степенями свободы, движение которой определяется обобщенными координатами Ч!'Чэ' Ч 555 В соответствии с принципом возможных перемещений в положении равновесия все обобщенные силы равны нулю: Я =О, ...,Д„=О.
Для консервативной системы зти условия принимают вид дП =О (1=1,2,...,н), (19.1) где П вЂ” потенциальная энергия системы. Поскольку П есть П(9„92,...,9„), (19.1) можно рассматривать как систему уравнений относительно обобщенных координат, представляющих собой условия экстремума потенциальной энергии. Решая их можно найти положения, в которых система будет находиться в равновесии. Однако положение равновесия может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным. Если существует такое достаточно малое отклонение системы от положения равновесия, при котором она стремится вернуться назад, то такое положение равновесия будет устойчивым.
В случае, когда при любом начальном отклонении система удаляется от положения равновесия, положение равновесия будет неустойчивым. Если же при начальном отклонении система остается в отклоненном положении, то положение равновесия будет безразличным. На рис. 19.1 представлены устойчивое (см. рис. 19.1, а) и неустойчивое (см. Рис. 19.1, б) положения равновесия математического маятника. Безразличное положение равновесия имеет система, приведенная на рис. 19.1, в.
а б Рис. 19.! 556 При устойчивом положении равновесия система после достаточно малого начального возмущения совершает колебания около положения равновесия или возвращается в зто положение без колебаний. При неустойчивом положении равновесия система после любого начального возмущения при дальнейшем движении все более удаляется от положения равновесия. Строгое определение понятия устойчивости положения равновесия было дано в конце Х1Х в. А. М. Ляпуновым. Условимся отсчитывать обобщенные координаты а,, а,, ..., а„от положения равновесия, т.
е. считать их в положении равновесия равными нулю. Выведем систему из положения равновесия, сообщив обобщенным координатам в начальный момент времени возмущения (опоюнешш %о*Чзо " Ч.о и скорости Ао )зо " Ч.о). Обозначим обобщенные координаты и их скорости при дальнейшем движении через а, (г), аз (г), ..., о„(г) и а, (г), а, (г), ..., о„(г) соответственно. По Ляпунову, равновесие системы называется устойчивым, если дпя любых сколь угодно малых положительных чисел а„...,в„; а'„...,е'„можно выбрать 2н других таких положительных чисел 11„...,ц„; 11'„...,11'„, что при начальных возмущениях системы, удовлетворяющих условиям )ч,.! ч„".,1ч.,! ч.; ~ч,.( ч'„-,)ч,! ч'., при дальнейшем движении системы будут выполняться неравенства ~д,(г$<а„...,~д„(г)~<е„; ~д,(г~<е'„...,~д„(г)~<е'„. В противном случае равновесие будет неустойчивыьь Безразличное положение равновесия в соответствии с данным определением относится к неустойчивым, поскольку при наличии начальной скорости система будет удаляться от начального положения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
