Termeh (523129), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Так как Рм ч О и Р = О, то обобщенная сила Д =Š— еГ,—. Вуя е ОВ з*~ Проекции сил и координаты точек их приложения равны Ро = ~1 Рз» =-Рз, 'уз =!з!пе хв =2!созе. Следовательно, Я, =-Р1созе+ 2Гз1з!лЕ. 2. Обобщенные силы для механических систем с и >1 целесообразно вычислять последовательно, учитывая, что обобщенные координаты, а значит, и их вариации независимы между собой. Системе всегда можно сообщить такое возможное перемещение, при котором изменяется только одна обобщенная координата, а другие при этом не варьируются.
В этом случае 510 г ° ,'>',о~(~,) = ~~ бА(~„)~ = ~8~2;, я! ьы и откуда ;)„бАФ,) (18.6) Индекс пз в (18.б) означает, что возможная работа сил, действующих на систему, определяется на перемещениях точек приложения этих сил, соответствующих вариации только одной г'-й обобщенной координаты. Пример 285.
Найти обобщенные силы Д, и Д лля системы, показанной на рис. 18.10. Масса груза 1 равна М, масса цилиндра 2 равна и, а его радиус г. Нить по блоку 3 и цилиндру 2 не скользит. Центр масс цилиндра движется вдоль вертикали. Рнс. 10.10 Региедие. Для определения обобщенной силы Д,зададим приращение бз координате груза 1, а для угла 0 поворота цилиндра 2 будем считать бе = 0.
511 При этом цилиндр будет иметь перемещение, равное перемещению груза. Сле- довательно, где Р, =Мат Р, =ма. Определяя Д~, будем полагать, что бг = О, а бе и О . Тогда с ~~~~бА(Гэ) =ЬА1,Рд)=тлгбе; Я =шлг. ьи 9 3. Если силы, действующие на механическую систему, потенциальные, то для определения обобщенных сил можно использовать силовую функцию У или потенциальную энергию П системы. Потенциальная сила — дУ-. дУ -, дУ— Р„= — 1+ — 1+ — /г . дх„ду, дл, Подставляя проекции силы Г„в (18.5), получаем ч~~,~дУ дхз дУ ф~, дУ д~~1 дУ гы1,дхз Ъ дуя Ф дль Й ) Ф Так как У = — П+ сопз1, то дП й =- —.
дгг, Пример 1е.б. В системе, показанной на рнс. 18.11, массы груза 1 и цилиндра 2 равны М и т соответственно, радиус цилиндра г, а коэффициент жесткости пружины с. Полагал, что трение между грузом 1 и наклонной плоскостью отсугствует, а траектория точки А — вертикаль, найти обобщенные силы Д, и Д~, если при з = О пружина не деформирована. Решение. Потенциальная энергия системы 1 з П=-сз +Моя'па з — тя(з+гр), 2 Тогда дП .
дП Д,, = - — = -сз -1М з! и а - т) я; Д = — = шлг. дз де 512 18.4. Дифференциальные принципы аналитической механики Принципы механики являются основой эффективных методов изучения равновесия и движения механических систем. Их принято разделять на вариационные и невариационные. Невариационные принципы устанавливают общие для всех движений систем свойства, которые имеют место как в определенные моменты, так и на конечных ингервалвх времени. К ним относятся аксиомы механики, принцип независимости действия сил, принцип Даламбера и т.
п. Вариационные принципы устанавливают критерии, позволяющие отличить истинное состояние системы от возможного. Вариационные принципы разделяют на дифференциальные и интегральные. Дифференциальные принципы устанавливают критерии истинного состояния системы для фиксированного момента времени, а иопегральные — на конечном интервале времени. Принцип возможных перемещений Аналитические условия равновесия механических систем были сформулированы Ж.Лаграюкем в его фундаментальной работе «Аналитическая механика» (1788 г.) как «принцип воз- 513 можных скоростей». В настоящее время принцип, определяюший в обшей форме условия равновесия системы, называется принципом возможньах перемещений, или принципом Лагранжа: чтобы данное положение механической системы со стационарными идеальными связями было положением равновепи, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ активных сил на любом возможном перемещении системы из этого положения была равна нулю.
Данной формулировке соответствует условие равновесия системы н ',1„Р! Ьг, =0 (18.7) 4-! или в декартовых координатах „1 (Р,Ьх +Р„Ьу„+Р Ьг )=О. /с ! Положением равновесия называется такое положение механической системы, в котором она может находиться сколь угодно долго, если в начальный момент времени система была приведена в это положение с нулевыми скоростями (Р„= О) . Необходимость условия (18.7) для равновесия системы можно доказать следующим образом. Пусть механическая система, состоящая из Ф материальных точек, находится в равновесии. Тогда приложенные к каждой точке активные силы и реакции связей уравновешены, т. е.
Р'„+ Я„= О, я =1,2,..., )ч'. (18.8) Умножив каждое равенство (18.8) на возможное перемещение Ьг, соответствующей к-й точки и просуммировав скалярные произведения, получим н н 2 Р,Ьг, +,) Я~Ьг» =О. г=! г=! Если наложенные на систему связи идеальные, то,~ Я„Ьг„= 0 lс ! л и условие ~Р„Ь"„= 0 является необходимым условием равное-! весия системы. 5!4 Пример 18.7. Найти вертикальную силу Р', приложенную в точке А к линейке 2 эллипсографа (рис. 18.12), которая обеспечит равновесие системы прн заданном угле ф (О < ф < и/2).
Сила Р; и момент М пары сил известны. Трением в шарнирах и направляющих, а также массой элементов системы пренебречь. Решение. Условие равновесия эллипсографа имеет вил " БА(Р'„) =БА(М)+ЬА(Р!)+БА(Р) =О. з=! (18.9) Данны системе возможное перемещение, повернув кривошип 1 на угол Бф. Возможная работа пары сил с моментом М равна МБф. Вычислим возможную работу снл Р! н Р: ЬА(Р; ) = Р!„Бхл, БА(К) = Р Бу„. Так как Р!х = -Ро хл = 21созф, Ьхл = -215!и фбф; Р„= — Р, ух =!Нпф, Ьу„=(созфбф, то БА(Р!) = 2Р!1з(пф Бф; ЬА(Р) = -Р(созе Ьф. Доказательство достаточности принципа Лагранжа проведем методом от противного. Предположим, что условие (18.7) выполнено, а система не находится в равновесии.
Значит под действием активных сил и реакций связей система за малый промежуток времени совершит некоторое действительное перемещение. При стационарных связях зто действительное перемещение совпадает с одним из возможных, поэтому н ~(К, +Л,) а.-„о. л=! л л Так как связи идеальные, то,) Я, бг„=О и тогда,, 'Г„бгл хО, л-! е=! что противоречит принятому выше предположению. Таким образом, достаточность принципа возможных перемещений доказана. Принцип возможных перемещений дает возможность определить положение равновесия несвободной системы, не рассматривая реакции идеальных связей, так как они не входят в формулировку этого принципа.
515 Рнс. 18.И Подставляя выражения для возможных работ сил в (18.9), получаем МВЕ+2Р;!з(пЕ йр-Лсозе бе=о. Отсюда Е = 2Р;18Е+ — . М 1созЕ Однако принцип возможных перемещений позволяет находить и реакции идеальных связей. Для этого, в соответствии с принципом освобождаемости, связь отбрасывают, заменяя ее соответствующей реакцией. Эту реакцию включают в число активных сил. При отбрасывании связи увеличивается число степеней свободы системы.
Поэтому точке приложения реакции отброшенной связи можно задать возможное перемещение. К системам с неидеальными связями принцип возможных перемещений неприменим. Однако в некоторых случаях, например при движении точки по шероховатой поверхности, связь рассматривают как идеальную, дополняя ее силой трения скольжения.
Пример 18.8, Г-образная рама состоит из двух стержней АС и СВ, соединенных в точке С при помощи цилиндрического шарнира (рнс. 18.13). Найти момент М„заделки, если АС=1,, СП=1з, ОЕ=!,, момент М пары сил и сила Š— заданы. 516 Рещение. Заменим заделку шарннрно-неподвижной опорой, приложив прн этом к стержню АГ пару сил с моментом М„. Дадим системе возможное перемещение. повернув стержень АГ на угол бф вокруг осн, проходящей через точк) А, Прн этом стержень ГВ повернется вокруг мгновенной осн, проходящей через точку (7 на угол Ьа = 1, /1з Ьр . Рнс.
! 8.13 Сумма возможных работ приложенных к раме сил, включая момент заделки. равна и ч~~ ЬА(Р'„)=ЬА(М„)+ЬА(М)+ЬА(Р), зм где ЬА(Мл)=-М„Ьр; ЬА(М)= Мйр; ЬА(7)=-Рбзь; бзь =1)Еда= — 'з Ьр. 1,1з 1г Приравняв сумму возможных работ к нулю, получим - Мя без+ Мбн- Р— без = О, 1~1э 1з откуда М„=М-Р—. 1,1, 12 517 Условия равновесия механической системы в обобщенных силах Положим, что механическая система, состоящая из У точек, в силу наложенных на нее голономных удерживающих связей имеет и степеней свободы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
