Termeh (523129), страница 57
Текст из файла (страница 57)
+ ',) Ян + ') Ф„, = 0; » 1 »=1 »-1 и И и ~~ М„Я,)+ ~ М„Я»)+,') М,(Ф»)=0; »=1 »=1»-1 И И Х ~ М (Г„)+ ,'),М (Й»)+ ,') М (Ф,)=0; »=1 !р 1 »-1 х и л ,'» М (Е„) + ~ М (Я» ) + ~ М. (Ф» ) = О. Так как главный вектор и главный момент относительно произвольного центра приведения внутренних сил системы равен нулю, то для (17.5) и (17.6) имеем соответственно ~К~"'~+~Ф!, =0; ) М!р(Рри!)+~М!)(Ф4)=0, (17.8) lс ! 4 ! й=! Я=! Проецируя (17.8) на оси декартовой системы координат, получаем шесть уравнений равновесия системы сил, аналогичных уравнениям (17.7). Особенность этих уравнений состоит в том, что в них не входят внутренние силы. Понятие о силе инерции и принцип Даламбера составляют основу метода кинетостатики, который ставит своей целью применение методов статики, в частности, к задачам динамики машин и механизмов. 17.3.
Главный вектор н главный момент снл инерции Применяя принцип Даламбера для изучения движения механических систем, сосгоящих из многих или множества (например, твердое тело) точек, силы инерции целесообразно привести к какому-либо центру, например центру масс. Получим общие формулы для главного вектора и главного момента сил инерции относительно произвольно выбранного центра приведения. Главный вектор сил инерции В соответствии с определением главного вектора и к Я„„=,'; Ф„= — ) т„й, . 4=! /с=! Так как ускорение точки а =, а ее масса т„постоянна, то а! Ы гг М у!' 473 зов !е Таким образом, при любом движении механической системы главный вектор сил инерции равен взятому со знаком «минус» произведению массы системы на ускорение центра масс: Я„„= — Ма, .
Главный момент сил инерции относительно лроизвольно выбранного центра приведении Определим главный момент сил инерции относительно неко- торого неподвижного центра О: » и и Т,"!" = ~~ Мо (Ф „) = ~ гь х Ф„= -') Р» х ть — . ь ! /с=! /с=! й а%„а! Так как г хт — = — (г хт Р ),то 4 Ь ! (~ Л а~„, ) ж Следовательно, главный момент сил инерции относительно неподвижного центра приведения О равен взятой со знаком «ми- нус» производной по времени от главного момента количеств движения механической системы относительно того же центра. Если движение точек механической системы рассматривать как сложное,т. е: г„=г, + р„, то К, =К,' +ге хд~!, (г) в где К,!"' = ~ р„х т„Р!"! — главный момент количеств движения 4=! системы в ее относительном движении по отношению к системе координат, движущейся поступательно вместе с центром масс.
В этом случае главный момент сил инерции относительно непод- вижного центра приведения О нн ~!'Ка ~ 'Кс Е"" = — — '= — — ' — Мг, ха, сй й Силы инерции точек механической системы можно привести к центру масс, который может быть подвижной точкой. В этом случае главный момент сил инерции относительно центра масс С 4 !4 (17.11) (производная в (17.11) полная, поскольку угловая скорость подвижной системы координат равна нулю). Формулы (17.9) и (17.10) дают возможность определить главный вектор и главный момент сил инерции твердого тела при разных видах его движения. При поступательном движении тела силы инерции его точек эквивалентны равнодействующей, геометрически равной главному вектору Я„„=-Маг и приложенной в центре масс тела. Главный момент сил инерции относительно центра масс тела равен нулю, так как равна нулю скорость каждой точки тела относительно его центра масс ( Р~~п = О ).
При приведении сил инерции точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, к произвольному центру О, расположенному на этой оси, в центре О в общем случае должны быть приложены главный вектор Я„„= — М а, и главный момент нн Е"" = — —" сил инерции. Если ось Ог вращения тела является о его центральной и главной осью инерции, то Я„„= О, а 1,"," =1,"."/с, где Г" = — У,е,. Если твердое тело имеет плоскость Оку материальной симметрии и совершает нлоскопараллельное движение, то, приведя силы инерции к центру масс тела, получим главный вектор Я„„= — Ма,, и главный момент Е,"" относительно центра масс сил инерции. При принятом допущении о наличии плоскости симметрии ось Сг будет главной центральной осью инерции тела и поэтому А,"" = —.У,,И. 17.4. Динамические реакции опор Одной из задач динамики твердого тела, для решения которой эффективно применение метода кинетостатики, является задача определения реакций опор и уравновешивания тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
475 Вывод уравнений для определения реакций опор Рассмотрим твердое тело, закрепленное при помощи подшипника в точке В и подпятника в точке А (рис. 17.2), вращающееся вокруг неподвижной оси АУ под действием сил К, гз...., Гх, и определим реакции опор. Масса тела М, его угловая скорость и угловое ускорение в некоторый момент времени соответственно равны а и в, трением в опорах пренебрегаем. Рис. 17д Уравнения для определения реакций опор можно составить в проекциях на оси как неподвижной, так и подвижной системы координат, жестко связанной с вращающимся телом.
В первом случае при вращении тела будет изменяться распределение массы, а значит, и моменты инерции тела относительно осей координат. Во втором случае моменты инерции тела относительно осей связанной с ним системы координат и координаты центра масс 476 Касательное йс" и нормальное а,с"' ускорения центра масс тела соответственно равны )с 0 0 аг с 0 0 — сл) ас — ах "с — (о аг =вхг, = ег 2с. Хг У( тс, тс., тс.г (17.12) Раскрывая определители (17.12) по элементам первой строки и принимая во внимание, что Рс — — а х гс, получаем а,с)~ = — е,1; сг+е.Хс у+О К; сссс"' = — а'Хгс — а'.Ус У+О Е Таким образом, для проекций главного вектора сил инерции тела на оси подвижной системы координат АХИ имеем следующие выражения: с'х Мегсс ™гХг Я„"" = — МагХ, +Маг)'г; (17.13) Я"" =О.
Так как для определения реакций опор используется связанная с вращающимся телом система координат, то главный момент сил инерции относительно точки А можно представить в соответствии с формулой Бура в виде — асКх (с7К„ — — — — ~+ахК сст сп (17.14) 477 будут некоторыми постоянными величинами. Поэтому будем полагать, что система координат АХУН жестко соединена с твердым телом. За центр приведения сил инерции точек твердого тела примем точку А. Определим проекции на оси координат главного вектора и главного момента относительно точки А сил инерции тела.
Главный вектор сил инерции Р„„= — М ос — — — М сс,С."~ — М йс~ "~ . Известно, что главный момент количеств движения твердого тела относительно точки А определяется по формуле (15.45). Так как при вращении тела вокруг неподвижной оси Ог ез = е2„= О, то К, = —,Ухх<сх! —,УУ2<вхУ+.Ухе»хя, (17.15) Ф (< где .У 7 =~~ т»Х»Х»,.Уух =,)„л2»х'»х.» — центробежные момен»=! » ! »< ты инерции тела; .У =,~ л2»(Х» + х» ) — момент инерции тела »-! относительно оси Ох,.
Принимая во внимание (17.15) и учитывая, что е х КА = Ууг(сх! — Улу(сху, 2 ° 2 из (17.14) получим следующие выражения для проекций главного момента сил инерции тела относительно точки А на оси системы координатАХУх: ин 2, ~х Уххвх УУха22 нн 2. УУ 'УУ787 +'Уххш21 У,х" = —.У 8 В соответствии с методом кинетостатики приравняем к нулю проекции на оси координат главного вектора и главного момента относительно точки А активных сил (Р„), реакций связей (Я,„Я„) и сил инерции точек тела. Учитывая полученные выше выражения (17.13) и (17.16), запишем »< Х„+ Хя + ~ Г»х + М821г + Ме2~~Х(.
— — 0; (17.17) »=! у'„+)л+,') г»У — М87Х< +Мезхх(. =0; (17.18) »-! 2( х „+,~ Г»2 =0; » ! »< УнАВ+,~~' Мх(Р»)+ У»282 Уух(е~~ =0; (17.20) »=! 478 ХхАВ+,)' МгЖ)+ ~ггег+ "хггег =О' (1721) г=! я г,Мг(Р'„) —.ггаг =О. (17.22) Ь-1 Уравнение (17.22) не содержит реакций опор. При известном моменте инерции .гг и заданных внешних силах оно позволяет определить угловое ускорение в (г) и угловую скорость е7 = )вг(г)г!г+С, твердого тела.
Уравнения (17.17) — (17.21) дают возможность вычислить проекции на оси координат реакций подшипника (Хя, г'в ) и под- пятника (Х„, Уя, У, ). В них входят слагаемые, зависящие как от заданных сил Г~, так и от сил инерции, обусловленных вращением тела с угловой скоростью а и угловым ускорением в . Так как эти уравнения линейны, то каждую из реакций опор можно раз- делить на две составляющие, называемые условно статической и динамической. Статические реакции опор вызываются только внешними силами; силы инерции при определении статических реакций по- лагают равными нулю. В этом случае ю ХГ=- 1 ХМ(Ю; г=! Ф УЯ = — ХМхА)' АВ„, х и Մ— — ~Мг(Г„) — ') Р; АВ„, Ф-1 х и уА = — — ~~,МхА)-ЕВ„; (В,.! г=! УА" =-,'~ Рхг.
ьи Динамические реакции опор зависят только от сил инерции. Уравнения для определения проекций динамических реакций подшипника и подпятника имеют вид 479 1'л +Хв + Маг)"< +М<егХ< =О'* Ул'+Ув — МегХ<, +М<вгг)г =О; гв АВ+,Уггег,Угг<лг = О; ХвАВ+.У„гв +.У <0 — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
