Termeh (523129), страница 53
Текст из файла (страница 53)
16.7). Ось симметрии подвижного конуса является его осью динамической симметрии ОЕ В каждый момент времени вектор в направлен по линии контакта конусов. При регулярной прецессии вектор главного момента количеств движения тела относительно вершины О неподвижен, т.е. его направление не зависит от текущего положения тела Следовательно, в этом случае по соображениям симметрии он должен быть направлен по оси Оз неподвижного конуса.
Подвижная плоскость П проходит через оси ОЕ и Ог конусов. Постоянный угол между этими осями является углом нутации В, Равномерное вращение оси 02 вокруг оси Оз соответствует изменению угла прецессии у . а вращение тела вокруг осн ОЕ относительно плоскости П вЂ” изменению угла собственного вращения Е. Если неподвижный конус расположен по отношению к полвижному внешним образом (см. рис.
!6.7, а), то его движение соответствует прямой регулярной прецессии, а если внутренним образом (случай полого подвижного конуса) — то обратной регулярной прецессии (см. рис. 16.7, 6). Пусть при этом ш„=м, =1рвд/с, А = В=!кг м, С= 2кг м' (рис. 16.8). Тогда сз=эГ2рад/с, т=агсгй(ш,/шг)=45, е=(С-А)/А=1, К„,=Аез„= =1Н м с, К =Се, =2Н м с, К =зГ5Н м с, 18О =К /К =05, Ос=26,5', Фс=а„/з)пва=~/5 рвд/с, фа=-есз, =-1рвд/с, о=в,-у= =-18,5'.
Можно доказать, что всегда !с~ <19,28'. 446 Зтот пример является лишь наглядной иллюстрацией регулярной прецессии. Не следует думать, что для реальных конусов с произвольными углами при вершинах вектор ао подвижного тела будет направлен по оси неподвижного конуса поскольку угол а не может быть произвольным. Рис. 16.7 гз Рис. 1б.б 447 Соотношения (16.32) существенно упрощаются при еозлозг — — О.
Покажем, что в этом случае регулярная прецессия вырождается в стационарное вращение тела вокруг неподвижной оси Ог, совпадающей по направлению с вектором К„, причем с этой осью будет совпадать и одна из осей системы Я. Убедимся, что при а в = сопв1 вектор оз имеет постоянное направление. В начальный момент, когда вектор оз направлен по какой-либо главной оси инерции тела (оз„аз< —— О), векторы Ю и К„параллельны, поэтому а = О и в дальнейшем а =О, т. е. вектор цз неподвижен. Следовательно, движение тела представляет собой равномерное вращение вокруг неподвижной главной оси инерции .
Исследуем влияние начальных условий на поведение углов Эйлера при стационарном вращении. Рассмотрим два возможных случая, когда ось динамической' симметрии 07 совпадает с осью Ол (рис. 16.9, а) и перпендикулярна ей (рис. 16.9, б). Вариант тела с шаровым эллипсоидом инерции ( е = О ) отнесем к первому случаю. б ' Рис. 1б.9 Примечательно, что такое движение может иметь тело с любой формой зллицсоила инерции в точке О. При этом вращение тела вокруг главной оси инерции со средним значением осевого момента инерции неустойчиво. 448 При Оо = — О (см.
рис. 16.9, а) оз„= О и оз, =оз. Поэтому, со- гласно (16.32) и (16.33), Ч/о = (~+ е)оз' Фо = — есо. Отметим, что при з)пО мО кинематические уравнения Эйлера имеют вырожденный вид независимо от того, для каких осей (системы Яо или Я) они записаны, и без учета соотношения (16.33) не имеют однозначного решения. При 8 -=л/2 (см. рис. 16.9,б) оз„=оз и озг =О. Поэтому, согласно (16.32), Фо =аз Фо =О. Рассмотренные случаи стационарного вращения нашли применение в гироскопических приборах для решения задач навигации благодаря естественной способности динамически симметричного твердого тела с одной неподвижной точкой О при условии Ео = О сохранять в инерциальном пространстве направление главной центральной оси инерции без приложения каких- либо управляющих сил, если сообщить телу вращение только вокруг нее. Наглядным примером может служить многовековая стабильность направлений осей суточного вращения у планет Солнечной системы по отношению к эклиптике.
Этим объясняется периодическая смена времен года на континентах Земли. Заметим, однако, что при Хо =- О таким же свойством обладают любые оси любого твердого тела, если зто тело до начального момента времени не имело вращения относительно инерциального пространства. Преимущество первого технического решения перед вторым состоит в том, что при нестрогом соблюдении условия 1.„=0 направление оси вращения будет тем более стабильным, чем больше первоначально заданная угловая скорость.
Указанное свойство центральной оси динамической симметрии вращающегося одиночноготела при Хо ~ О пояснено ниже. Случай Лагранжи Тяжелый волчок К случаю Лагранжа относят движение твердого тела с одной неподвижной точкой О в однородном поле силы тяжести при 449 1 2 К М„(Р) =ОСхР = 0 0 1х 1Ру1 + 1Рх У, Проекции силы Р на оси системы Яравны Р = — РяпОв1пур; Р„= — РяпОсову; Р = — РсовО. (16.34) Поэтому моменты силы Р относительно осей ОХ Оузависят О и <р: Мх —— Р1в(пОсовур; Му — — — Р1в1пОяпур, а динамические уравнения Эйлера имеют вид Айу+(С вЂ” А)вуезв = Р1в(пОсовур; Айу+(А — С)авез» = — Р1япОяпур; Сй, =0 (16.35) 450 условии, что центр тяжести тела (точка С) лежит на оси его динамической симметрии ОЛ Наглядным примером может служить движение быстровращающегося симметричного тяжелого волчка (А = В), опирающегося острым носиком на неподвижную точку 0 (рис.
16.10). Название «твкелый волчок» подчеркивает необходимость учета момента его силы тяжести Р = тя относительно точки 0(ОС =1). Используем (16.11) для вывода диффе- ренциальных уравнений движения волчка. ряс. иле Считаем, что для волчка главный момент внешних сил относительно точки О равен моменту постоянной силы тяжести Р: Х, =М,(Р)=ОСхР. Направим ось Ог вертикально вверх, а ось ОУ так, чтобы в системе Я У, =+1. Моменты силы Р относительно осей ОУ и Ог постоянно равны нулю: М (Р) =М,(Р)=0.
Получим выражения для моментов силы Р относительно осей ОХ ОТ: т. е. в данном случае уравнения (4.8) и (16.35) необходимо решать совместно. Прямые методы интегрирования этой системы, состоящей из шести дифференциальных уравнений, при произвольных начальных условиях приводят к эллиптическим интегралам. Интегрирование данной системы является принципиально выполненным, если для нее найдены в явном виде четыре независимых первых интеграла. Тогда дальнейшие расчеты сводятся к решению алгебраической системы относительно четырех независимых неизвестных, в роли которых могут выступать проекции угловой скорости тела н какая-либо комбинация тригонометрических функций от углов Эйлера. К числу трех независимых первых интегралов системы (16.35) относят: 1) интеграл сохранения полной механической энергии Е = Т+ Л = сопз1 = Е,, где П = Рг< — — Р1 соз Π— потенциальная энергия тела; 2) интеграл сохранения главного момента количеств движения тела относительно вертикальной оси Ог К, =Ко/с =КА,А, +Кф„+К,14, =сопз1=К.', 3) интеграл сохранения проекции вектора а на ось динамической симметрии а мсопз1=а,.
(16.36) Второй из указанных интегралов следует из теоремы об изменении вектора Ко, записанной в проекции на неподвижную ось Ог, поскольку М,(Р) аз О, а третий — из последнего уравнения системы (16.35). Для кинематическнх уравнений Эйлера первым интегралом служит соотношение )г~ = 1х + А„+ А =1, удовлетворяющее <й дифференциальному уравнению — = — а х А., полученному для 4й' неподвижного орта А на основании формулы Бура для двух систем Я и Я, и отражающее постоянство модуля орта )1 .
Наличие четырех интегралов указывает на существование при произвольных начальных условиях общего аналитического 451 р ешения для углов Эйлера. Однако это решение может быть записано лишь через эллиптические функции. ! Представление о характере движения центральной оси динамической симметрии волчка при достаточно большой угловой скорости р собственного вращения можно полу- чить с помощью рис. !6.11, где пока- ~> зан след однои из ее точек, остав- 1 ляемый на неподвижной сфере. Поскольку направление этой оси определяется углами прецессии 1Р и О нутации 6, данный след отражает только их изменение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
