Termeh (523129), страница 50
Текст из файла (страница 50)
После того как угловая скорость тела уменьшилась вдвое, дополнительно включается механическая тормозная система, и к валу 2 тела 1, имеющего радиус Я, пружиной прюкимается тормозная колодка 3 (см. рис. 16.1, а). Сила сжатии пружины постоянна и равна 13; коэффициент тренш скольжения колодки о вал 1: Определить: 1) число оборотов, совершенных телом с начала торможения до момента включения механической тормозной системы; 2) закон изменения угловой скорости тела от времени с момента включеюш тормозной системы; 3) время от момента вюпоченил тормозной системы до полной остановки тела. Принять, что момент инерции тела с валом относительно оси вращения равен У, трением в опорах вала пренебречь. 426 Рис.
16.1 Реигение. 1. В соответствии с расчетной схемой, приведенной на рис. 16.1, б, лля первого этапа движения тела дифференциальное уравнение (16.3) его вращения вокруг вертикальной оси Ог имеет вид .7,(р = М где,У =./: Ми =-ав.. Поннзим порядок производной в левой части этого уравнения и перейдем от производной по времени к производной по углу: йо, йо, йр Ив, бг ййр .йр' Тогда йо, .7вс — 'а = -ав, . йр Разделяя переменные и интегрируя, последовательно получаем — Ыв. = -йр; — в, = -чр+ С, .
а а Для определения константы интегрирования С, используем начальнйе условия: при г = О в = О, в, = во . Отсюда С, = (.Г/а)во, так что ср = (,У/а)(в — в, ) . 427 Число оборотов, совершенное телом до момента уменьшения его угловой скорости в лва раза, Ч~ .=к5 „12/а)(шс-0,5ше) .лое 2я 2я 4ка 2. Дифференциальное уравнение (16.3) вращения твердого тела вокруг неподвижной оси Оз на втором этапе движения (с момента включения механической тормозной системы), согласно расчетной схеме, приведенной иа рис. 16.1, е, имеет вид ,/.ф= М ьМ Здесь момент сил сухого трения относительно оси Оз будет равен М =-Е и, где Р' =Я вЂ” молуль силы трения скольжения. После всех подстановок имеем сш. .У вЂ” '=-аа, — ЯЯ. сй Разлеляя переменные и интегрируя, последовательно получаем Иге, =-(а/У)й; 1п(ез.ь/йЯ/а)= 1а/3)г+Сз.
ез, + яя/а Константу интегрирования С, найдем из начального условия, по которому угловая скорость в начале второго этапа движения равна угловой скорости в конце первого, т. е. при г = 0 ге, = 0,5езе. В таком случае сз =!П(0,5езо ч /ая/а), и, следовательно, ез, =(0,5гае ьЯЯ/а)ехр(-а1/3)-Яя/а, 3. Время г„с момента включения тормозной системы до полной остановки тела 1, когда его угловая скорость станет равной нулю, найдем из последнего выражения, полагая, что при с =г„ш, = 0: 1п „аюе Плоское движение твердого тела Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела получим на основании теорем о движении центра масс и об изменении главного момента количеств движения в относительном движении по отношению к центру масс.
Введем неподвижную систему координат, например Охуд, в которой, согласно (15.18), для центра масс тела будем иметь 428 "'"с Х "» (16.4) ь! а также подвижную систему координат СЛЛ,', имеюшую начало в центре масс тела и перемещающуюся относительно системы Озуя поступательно, причем плоскости СХУ и Оху указаш(ых сисгем координат будем считать совпадающими с плоскостью, в которой движется центр масс тела (рнс.
16.2). Теорема об изменении главного момента количеств движения в относительном движении по отношению к центру масс для твердого тела в проекции на ось СУ подвижной системы координат выражается уравнением (15.64) (~) )( —" =',)"„М„(7(')), ((( в котором главный момент количеств движения тела в его относительном вращении вокруг оси СУ подвижной системы координат ~сг = ~сг(с . (~) Здесь,Уст — момент инерции тела относительно оси СУ, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения тела. О Рис. 16.2 429 (16.6) где г и Π— полярные координаты центра масс тела в неподвижной системе отсчета (на рис.
16.2 полярная ось совмещена с осью Ох, а полярная координата юс = ОС ~ гс ~ ). Наконец, в проекциях на касательную и нормальную оси естественной системы координат уравнение (16.4) принимает следующий вид: и!в'с — — Х "ь!, ' т — ' — — Хрь!, — Р ь=! (16.8) Здесь зс = зс(г) — закон движения центра масс по траектории (на рис. 16.2 начало отсчета з< принято в точке Со); р — радиус кривизны траектории центра масс тела. Системы уравнений (16.5) и (16.6), (16.5) и (16.7), (16.5) и (16.8) называются дифференциальными уравнениями плоского двизкениа твердого тела в соответствующей системе координат.
Начальные условия в общем случае можно задать, например, так: при ! = го хс =хо Ус =Уо 'Р='Ро хс =«о Ус =Уо !Р='Ро ° или гс =г, 8=8о, ср=ср, г, =го, 8=8о, ф=фо, 430 Следовательно, дифференциальное уравнение, описывающее вращение твердого тела относительно оси Сг„имеет вид (16.5) о ! Дифференциальные уравнения (16.4) и (16.5) полностью описывают плоское движение твердого тела.
Векторное уравнение (16.4) можно записать в проекциях на оси любой инерциальной системы координат. Так, в проекциях на оси Ох и Оу декартовой системы координат получаем тх; =,') рь!"!; тус =„'ГР;~"! . !.! ьи В проекциях на оси полярной системы координат имеем т(г, — гсО~)=„) Г~;!; т(! О+2гсО)=~Г~~,'!, (16.7) о-! /~ ! или лг мае Ф=гро лс =до* Ф=фо. В зависимости от числа степеней свободьз тела для описания его плоского движения можно использовать от одной до трех обобщенных координат, при необходимости вырвкая через них координаты, используемые в приведенных выше уравнениях и начальных условиях. Пример 16.2.
Однородный цилиндр массой т с горизонтальной осью и радиусом г начинает катиться из состояния покоя по шероховатой поверхности, имеющей на первом участке цилиндрическую форму с радиусом Я, а на втором участке плавно переходящей в наклонную плоскость с углом наклона к горизонту а (рис. 16.3). В начальный момент времени центр масс цилиндра находился в точке Сс и линия СеО, составляла угол )) с вертикалью. Определить: 1) минимально возможный коэффициент трения скольжения цилиндра о поверхность, чтобы его качение происходило без проскальзывания; 2) закон движения центра масс цилиндра по наклонной плоскости, принимая на всем участке движения цилиндра коэффициент трения скольжения 1 >1 „. Трением качения пренебречь. Рнс.
16З 431 Решении 1. На основании расчетной схемы, соответствующей движению тела на первом участке по цилиндрической поверхности (см. рис. 16.3), система дифференциальных уравнений плоскою движения (16.5), (16.8) будет иметь вид «м'„. =тяв(па-Ро; твг/Р=«Ф ова-Л! .з ! Угзф = Ргг, где в, — дуговая координата с началом в точке Сс, определтощая положение центра масс; а — угол, отсчитываемый от вертикали, а=!3+во/(Я+г); р = ()1+ г) — радиус кривизны траектории центра масс тела; у . = О 5тгз; ф— угол поворота цилинлра; в; = т, — проекция скорости центра масс на ось Ст .
При отсутствии проскальзывания должно выполняться неравенспю )Р„(я/)у. В этом случае ф = зв /», ф= в, /г . С учетом приведенных кинематических соотношений из системы дифференциальных уравнений находим 1 =-тйв(па; У =тйсова — тт /(Яэг); во = — йв!па.
3 3 Перейдем в левой части последнего выражения от производной по времени к производной по координате: ~'вс ~~гг ог овг '!зг После разделения переменных и интегрирования имеем г, = — я(Ягг)сова+С,. з 4 3 Начальные условиязапишем в виде: при 1=0 в» =О,вг =т, =О. Тогда 4 С = — 8()!эг)сов!); 3 г 4 = — 8()! э г)(сов )! - сова); 3 1 Л~ = — тй(7 сова -4 сов Щ . 3 Подставив найденные вырюкения для силы трения и нормальной реакции в привеленное выше неравенство, находим 1 .
1 — тйв!па </' — тй(7сова-4сов))). 3 3 Считая, что последнее соотношение выполняется лля всех значений а < ас, и при этом М >О, получаем выршкение для минимального значения коэффициента трения скольжения; з(пас 7созас — 4соз() 2. Систему дифференциальных уравнений плоского движения (16.5), (16.6) на втором участке движения цилиндра по наклонной плоскости (см.
рис. 16.3) можно записать так: ла~ = шдз!Лас Р„; лсус = -шдсозас+ Ф; 2" — ле' ф к р г, 2 где у, = О, так как ус = г = сопзс. В соответствии с условиями задачи проскальзывание отсутствует, поэтому ф = х, /г и ф = х, /г. В итоге нз приведенной системы дифференциальных уравнений находим 1... 2 Р = — млз!пас, х, =а,„= — лз)пас =сопзс.
3 3 Интегрируя последнее соотношение, получаем х, = тс „= а, „с+ Сз . Повторное интегрирование дает г хг = — а, с +С,с+С,. 2 Начальное значение скорости центра масс цилиндра на втором участке движения равно его значению в конце первого участка, так что начальные условия имеют вид: при с = О х, =О, хс =г,(ас). Из начальных условий следует, что константы интегрирования С, =О, Сз поэтому окончательно имеем /2 . )с' х, =~ — яз(па,1 /— + (3 /2 Пример 76.3.
В механизме, изображенном иа рис. 16.4, а, рычаг! массой т, связанный с маховиком 2 цилиндрическим шарниром А, движется в горизонтальной плоскости Ослу, свободно перемещаясь в поворотной муфте 3. Определить: 1) составляющие реакций шарнира А и муфты 3, лежащие в горшонтальной плоскости; 2) момент сил ст привода, задающих движение маховику 2, относительно оси вращения О,х, при которых движение рычага 1 в диапазоне изменения угла О < чс б л/2 происходит с постоянной угловой скоростью сь Принясь, что оси поворота муфты и маховика вертикальные, ОО, =О,А=АС=ь (точка С— центр масс рычага).
Массой, размерами муфты 3 и силами трения пренебречь. ав зак. 1а 433 Решение. 1. В рассматриваемом механизме маховик 1 совершает вращательное движение вокруг оси О,г, а рычаг 1 — плоское, В расчетной схеме, приведенной на рис, 16.4, б, выбрана полярная система координат с центром в точке О и горизонтальной полярной осью, а в системе сил, приложенных к телу 1, показаны лишь силы, лежащие в плоскости движения рычага. При этом реакция цилиндрического шарнира А представлена в виде двух составляющих К, и Я~, направленных по соответствующим осям полярной системы координат, а реакция муфты 3 — трансверсальной составляющей М„.
Дифференциальные уравнения плоского движения рычага ! (16.5) и (16.7), так как здесь полярный угол О является и углом поворота тела 1, запишутся так: м(Р гсО )=)г ' т(г~О+2ееО)= )1 + Ф 3 0 = -)( А - Д! гс, л Р с где 3,т — момент инерции рычага ! относительно оси СЕ На рисунке видно, что полярная координата центра масс С рычага ! г< =ОС=2!.созО+(„а полярный угол О=р/2. По условию задачи О=в= = сопзг и, следовательно, 0 = О, а О = он. Прн этом можно записать й =-27ыз(пО, г, = — 2(хо~созО. С учетом полученных соотношений из системы уравнений найдем зависимости лля проекций реакций шарнира А и муфты 3 на оси полярной системы координат; Я, = ш(гг -ггО~) =-ш(хо~(4созО+1); )( = " =-2ш(юз(2созО+В100 2тггО 1-Л/~, л! =-)1 — =2т)хе 100.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
