Termeh (523129), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Учитывая, что А ил!+с!2 -т! 21 1 12 и с Агг тй1+с!~ -т12Озг Аг (г оз тя(+ с! — Я! =1; с! тй(+с!г — тй(-2с(г — -1 с! получаем ю2! Ч22 ш1' т)21 =1 б Рнс. 19З2 Во втором главном колебании маятники да ткутся в противофазе (рис. 19.32, 6), нри этом на пружине имеется неподвнжнаа точка, называемая узлом формы колебаний. Подстввив общее решение 635 % =А11в!п(ю11+а1); гр, =А,гв!п(югг+аг); г!11 = Ап в!п(югг+ а1); г!гг =-А12 в!п(оггг+аг).
В первом главном колебании маятники движутся в фазе (рис. 19.32, а), пружина остается недеформированной, и поэтому первая собственная частота оз, совпадает с частотой математического маятника. ф = фс +фз = А„яп(ю с+ а,)+ Аа яп(ю,с+а,); зр = зр, + зрз = Ац яп(со с+ а, ) - А с в! п(со,с+ а, ) в начальные условия при С=О ф=)3; ф=О; ф=О; ср=О, получим Ацв)па,+А„вша, =р; Ац яп а, -Аа япа, = 0; Ацш, сова, + А„ю, сова, = 0; Ацю,сова,-Ацюзсова, =О. Из последних двух уравнений следует Ацш,сова, =0; А„озссоваз =О.
Так как Ац и А, не могут равняться нулю, то сов а, = 0 и сов а = 0. От- н Зн 5п и Зн 5п 2 2 2 2 2 2 Поскольку Ац и Ап пока не определены, можно выбрать любые а, и ас . Пусть а, = аз = и/2. Тогда первые два уравнения из начальных условий будут сюда иметь вид Ац+Ац =)3; Ац-Ац=О, откуда Ац = Ац = )3/2; яп(в с + — ) + в)п(оз с+ — ) 2 2 3 х . н1 — вш(оьс+ — ) -яп(осзс+ — )~ 2 г) с[ = — (сов сзсс + сов псзс); Р 2 = — (сова,с — сов ссзс), Р 2 озс юз сос ю! ф=рсовюс ' с сов 2 2 зр=)3яп ' з с вш з ' с.
2 2 Наибольший интерес при анализе полученного результата представляет случай достаточно слабой пружины с/ю «я/С, когда ю ю,. Решение для ср и зр тогда представляет собой произведение двух косинусоид (синусоид), период одной из которых значительно больше периода другой: 4н 4л — )) юз юс озс + юз бЗб или с учетом известных тригонометрических соотношений для суммы и разно- сти косинусов Графически решение приведено на рис. 19.33. Его можно получить тем же способом, который был использован при анализе затухающих колебаний. Видно, что колебания в данном случае представляют собой биения.
Рис. 19ЗЗ Максимальные отклонения одного маятника соответствуют остановке другого и наоборот. Поскольку система консервативна, то начальный запас полной механической энергии, возникший при отклонении левого маятника, сохраняется при дальнейшем движении системы. Маятники в процессе движения как бы передают энергию друг другу. 19.9. Вынужденные колебания линейной системы с двумя степенями свободы при гармоническом возбуждении. Динамический гаситель колебаний ' Ограничимся случаем, когда силы вязкого сопротивления отсутствуют или пренебрежимо малы, а возмущающая сила действует только по одной обобщенной координате. Тогда в соответствии с (19.92) дифференциальные уравнения движения имеют вид ОПД, + аюдаг + СМЯ~ + СПЯТ = Й БШ(РГ+ 1зэ)' (19.113) а1зд, +азтнз+спЧ1+сттг), =О, где К вЂ” амплитуда обобщенной силы; р и 13 — частота и начальная фаза вынуждающей силы. Ограничимся исследованием частного решения системы (19.113), характеризующего вынужденные колебания, и зададим решение в виде 637 % =О1 зш(рг+ Р); 92 = 122 зш(рг+0) (19.114) Подставив (19.114) в (19.113), получим неоднородную алгебраическую систему относительно 01 и бг.
Воспользуемся правилом Крамера, согласно которому ~1. ~2 22 А Здесь Ь1=(сгг — Р агг)Я; Ьг =-(си — Р а12)Й' (19.115) г (с11 — р а11) (с12 — Р ап) г 2 (сп Р агг) (сгг Р агг) =(с11 Р а11)(сгг Р агг) (сгг Р 11гг) 2 2 2 2 Отметим, что структура определителя Ь полностью совпадает со структурой функции Ь(ш ), рассмотренной в предыдущем параграфе и имеющей корни в1 и ш' . Поэтому Ь можно представить в виде гг=(а11агг агг)(Р -ш1)(Р -огг) 2 2 2 2 2 Тогда (с — р агг)а1 2 (апагг а12)(Р ог~ )(Р ш1) 2 — (с„— р а„)Я, (апагг '21г)(Р ю1 )(Р огг) Полученные решения для 01 и бг имеют смысл для всех р, кроме значений, совпадающих с ог, и шг.
При р=ог1 и р =огг в системе при отсутствии сил вязкого сопротивления наблюдаются резонансы. Как было показано выше для системы с одной степе- нью свободы, решение в этом случае надо искать в особой форме. Отметим, что отношение 02/О1 при резонансах имеет ко- нечную величину: г Ог сгг — Р ап с~-Р аг 638 Учитывая (19.105), получаем, что при р = оз, 0г сц -ег,агг 2 г1' =Ч 01 сгг м1 агг Следовательно, при резонансе на частоте ог, форма вынужденных колебаний (отношение О,/О, ) совпадает с собственной формой колебаний по первому тону. Аналогичный результат получается и при резонансе на частоте огг.
Пусть а„=О (система с упругой связью) и сгг <О. Отметим, что знак коэффициента сгг определяется субъективным фактором — выбором положительных направлений отсчета обобщенных координат. Так, для рассмотренного в примере 19,8 случая свободных колебаний связанных пружиной маятников направления отсчета обобщенных координат <р и гу совпадают н коэффициент си =-с1'. При противоположных направлениях отсчета обобщенных координат <р и у деформация пружины Х=йр+1гу и коэффициент сгг = с1 .
Выражения (19.11б) для О, и О, при агг =О имеют вид (л' -р')й 2 2 г 2 ап(Р % )(Р огг) (19.117) 0— -с1гф 2 апагг(р -ог,)(Р -огг) г г Зависимости О, и 0г от р' представлены на рис. 19.34. Интерес представляет случай при р =л,', когда О, =О.
При этом можно определить 0г, используя для нахождения Ь выражение (19.115). При р'=л,'= гг и ага=О Ь=-с1г и тогда ам = 1Е,/с, Этот эффект — нулевое значение О, при конечном 0г— носит название антирезонанса, или эффекта дииимическеее еегиеиия колебаний, и широко используется в технике. 639 Рао. 1934 Обратимся к уже рассмотренному примеру 19.10 (см. рис. 19.29).
Здесь тело массой т„на которое непосредственно действует вынуждающая сила Го з1пр1, является объектом, колебания которого необходимо погасить, а упруго скрепленное с ним тело массой и, — динамическим гасителем колебаний. Дифференциальные уравнения движения системы были получены выше (см. (19.94)) и имеют вид Рл~х1 + (с1 + ст)х1 сохо = Ро $1прг; л1,х, — сох, + с,х, =О, гДе т, = ап; с, + со = сп ', сг = сж Го = Д1 1ао = агг Если подобрать параметры гасителя таким образом, чтобы ло = с /то = р, то перемещения объекта будут равны нулю, а 2 го перемещение гасителя х = 0 зш рг = — — яп рг .
Тогда в любой момент времени упругая сила в пружине гасителя будет компенсировать возмущающую силу, действующую на объект (рис. 19.35). Отметим следующее. 640 1. Настройка гасителя только по частоте недостаточна. Действительно, нельзя с помощью О з|п рг объекта, масса тг которого мала, погасить колесг бання тела большой массы лгм поскольку малая "0 г гл1 масса тг означает малую жесткость с, =тгр и в результате необходимая для гашения амплитуда Рвс. 1ВЗЗ колебаний гасителя г0/с, может оказаться очень большой и технически нереализуемой. 2.
Полное гашение в реальной системе, где всегда имеются диссипативные силы, невозможно. Рассмотрим возможность использования динамического гасителя для подавления колебаний объекта при резонансе. Введем следующие обозначения: 020 = г/с, /иг, — собственная частота колебаний объекта; иг = г/сг/лгг — паРциальнал частота гасителЯ; 13 = тг /т, — отношение масс гасителя и объекта; 6„= Г0/с,— статическое смещение объекта под действием постоянной силы Гс, Ьг нг/400, у=р/а0 — безразмерные частоты гасителя и возмущающей силы; и, =)6,/О ! и и, =102/О, ~ — безразмерные амплитуды колебаний объекта и гасителя.
Тогда нз (19.117) с учетом выражений (19.115) получаем мп рг бг г Рбг 2)(бг г) иг— (1+Рбг,„гДбг,„г) Р84 641 Амплитудно-частотная характеристика и, при 13 = О,1; Ь =1 приведена на рис. 19.36. Поскольку объект с гасителем представляют собой систему с двумя степенями свободы, наряду с гашением колебаний на частоте а на частотах 02, =0,854020 и ш, = 1,17400 появляются два новых резонанса, соответствующих собственным частотам двухстепенной системы. Поэтому подобные гасители можно использовать только в тех случаях, когда частота возмущения жестко фиксирована. Рнс. 29.36 Устранить резонансные колебания с большими амплитудами на частотах в, и а оказывается возможным, если ввести в кон- струкцию гасителя демпфирование, Ди- 2 намический гаситель в этом случае с2 Ь Г9$1пр1 предстйвляет собой дополнительное те- ло массой т„соединенное с объектом ! пружиной жесткостью с2 и демпфером х с~ с коэффициентом вязкого сопротивле° ния Ь (рис.
19.37). При наличии демпфера полное гашение колебаний становится невозможным, поскольку гаситель оказывает через него дополнительное воздействие на объект. Однако демпфер позволяет при рациональном подборе параметров гасителя получить ограниченную амплитуду колебаний на всем диапазоне частот.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
