Termeh (523129), страница 86
Текст из файла (страница 86)
На рис. 20.23 построен график зависимости (20.65). Видно, э что т1,„=1 — К- при х = 0 (т. е. реально при х, близком к нулю). Следовательно, чтобы повысить эффективность ковки, необходимо уменьшить массу молота. Рас. 20.23 689 евз .н Ковка.металла. При ковке металла полезной является та доля кинетической энергии молота, которая тратится на работу пластического деформирования металла поковки. Будем считать, что работа пластического деформирования равна потере кинетической энергии Т„молота, а полная кинетическая энергия молота Т = т,г, /2.
Если скорость наковальни тз = О, то Забивка свай. В этом случае полезной будем считать энер- гию сваи после удара Т„=т,и /2. Исходная энергия молота г! т,гдЧ /. /, КПД процесса забивки сваи Ч~ =7г/7о . При условии, что скорость сваи до удара была равна нулю (г, = 0), из (20.59) определим скорость сваи после удара т,(1+ К)т, и,= лЧ +тз Тогда для КПД имеем вб лн з Ч) =, (1+К) Обозначив лЧ/и, = х, из(20.66) находим (20.66) Ч, =, (1+К)-.
(1+ х) Если принять К=сопя!, то Ч, =Ч,(х). Согласно (20.67), Ч, =0 прн х = 0 и Ч, -+ 0 при х-+ со, поэтому имеется максимум. Определим его: Й) ~ з (1 + х) — 2х(1 + х) Их (1+х) Максимум достигается при х=!. Зависимость Ч, =Ч,(х) пред- ставлена на рис. 20.24, а. Ч (!+К) а Черпак 1 0,2 0,5 б Рис. 20.24 690 Из(20.67) при к=1 имеем (20.68) где 0 < К < 1 . Зависимость (20.63) изображена на рис. 20.24, б. 20.11. Удар материальной точки о иеподвнжиую шероховатую поверхность Рассмотрим косой упругий удар материальной точки массой т о неподвижную поверхность с учетом сухого трения. В этом случае импульс ударной реакции поверхности У=я„+я,, где У„, о, — нормальная и касательная составляющие импульса.
Коэффициент восстановления ~юг (20.69) Я„, где Я„ь Я„г — нормальная составляющая импульса ударной реакции в фазах деформирования и восстановления соответственно, причем л бп1+ лг' (20.70) Составляющая импульса, учитывающая сухое трение (20.71) Я, = — 7 Я„з)йпгг,, где 7 — коэффициент трения скольжения, з)яп т, — функция, учитывающая знак касательной составляющей скорости т, точки. Скорости точки до и после удара соответственно (рис. 20.25) й=ч„+ч,; и=й„+й,.
Рассмотрим различные возможные я, движения точки при ударе и определим условия, при которых эти движения реализуются. 1. Материальная точка скользит в течение всего времени удара т. Фаза Рне. 20.25 691 деформирования начинается при г = 0 и заканчивается при г = т,. Составляющие скорости точки в начале удара т„, г„в конце фазы деформирования т„, т,. Фаза восстановления начинается при г = т, и заканчивается при г = т . Составляющие скорости точки в начале фазы восстановления з „, т;, в конце удара и„, и,.
Согласно теореме об изменении количества движения точки при ударе, где Ян < О, 7' > О, Я„, > 0 (см. рис. 20.25). Кроме того, т„= — тсова, т, =тяпа >О, я8пт, =1. Из (20.73) имеем Я„, = — тт„=ттсова. Из (20.74) и (20.75) получаем Яп = — 7" ттсова<0. Из (20.73) и (20.76) находим Яп т, = г, + — ' = т(яп а — 7 сова) . т Для фазы восстановления соответственно имеем т(и„— 1„) = Я„; т(и, — т, ) = Я, ~а У ~л2 (20.75) (20.76) (20.77) (20.78) (20.79) где Я„, > О, Я„< 0.
Согласно (20.69), Я„2 =КУ„,. Из (20.75) и (20.80) определяем Я„, = Кттсова, (20.80) 692 т(й — й) = У = Ь'„+ Я, . (20.72) В проекциях на оси и и т уравнение (20.72) для фазы деформирования имеет вид т(г„— т„) = Я„,; т(г, — и,) = Яп . (20.73) В конце фазы деформирования т„= О.
Из (20.71) получаем Яп = — ~Ям, (20.74) а из (20.70) получаем полную нормальную составляющую импульса ударной реакции Я„= тгсова(1+ К). (20.81) Подставив Я„з в (20.79), находим Я„=-~ Ктт сов а (О. (20.82) Касательная составляющая импульса ударной реакции Я, = Я„+ Я„. С учетом (20.76) и (20.82) получаем Я, = — ттсови[1+К) 1'. (20.83) Согласно (20.75) и (20.78), нормальная составляющая скорости точки после удара и„= — "= " = — К»„, Я„, КУ„, (20.84) т т т.
е. для материальной точки при наличии трения для вычисления коэффициента восстановления можно использовать кинематическую модель Ньютона. Из (20.84) получаем и„= Кгсови. (20.85) Согласно (20.78), касательная составляющая скорости после удара и, = г,' + — ' = и[япа — 7 сова(1+ К)). (20 86) ~т2 т Теперь определим условия, при которых возможно скольжение точки в течение всего времени удара, т. е. когда и, >О, и, > О.
Из (20 77) и (20 86) имеем г(в(па — 7 сова) >0 и а[ила — 1'сова(1 + К)) > О, откуда получаем 18а > ~ и 18а >~(1+ К). Таким образом, общее условие сколыкения при ударе имеет вид 18а > 7" (1 + К), Модули скорости точки после удара и полного импульса ударной силы соответственно равны и = 1~и ~ ~- и~ = г [яп а — 7(1 + К) сов а) ~ + (К сова) Я = Д + Я,~ = тт(1 + К) сов а~~1 + 7' .
Если в этих формулах положить 1'=О, то 693 ; Я=т»((+К)сова, т. е. получаем решение для случая удара материальной точки о неподвижную поверхность без учета трения (см. 5 20.4). 2. Скольжение материальной точки заканчивается в фазе деформироваиия. В этом случае фаза деформирования разделяется на два этапа: О.— т' — скольжение точки, т' — т, — движение точки без скольжения (движение по нормали). В момент времени г = т' касательная составляющая скорости точки станет равной нулю (т. е.
! ', = 0 ) и скольжение точки прекратится. Первый этап фазы деформирования начинается при (=О (»„, »,) и заканчивается при (=т' (»„',»,' =0). Необходимые уравнения имеют вид т(»„' — »„) = Я(,~; т(»,' — », ) = Я(,), где Я((!), Я((!) — нормальная и касательная составляющие импульса ударной реакции за время от 0 до т', Я(!" = — Г Я(!) . Откуда Я(!) = — т», = — т»в(па < О; с(!) б»! т» в(п а (!) у ~л! ( в(п а (!) +". = — сова, (20.87) т " ~ у Второй этап фазы деформирования начинается при ! = т' (»„', »,' ) и заканчивается при г = т, (»„= О, », = 0 ).
Уравнения удара будут следующими: т(»„— »„')=я~,п; т(), — »,')=я~, ), где Я„), ߄— нормальная и касательная составляющие им- (и) (и) пульса ударной реакции на втором этапе фазы деформирования. Из уравнений следует: »!»»»! 694 Составляющие импульса ударной реакции в фазе деформирования я„= я П! + я!Я! = — лг» з!и а; я„, = яп! + я!л! = нп сова . для фазы восстановления, которая начинается при г =т! и заканчивается при г = т, составляющие скорости будут соответственно»„=0,», =0 и и, =О, и„. Уравнения удара имеют вид т(и„— з„)=Я„~; т(и, -»,)=Я, и Ят =КЯ„,.
Отсюда получаем Я„=О; Я„,= „=КЯ„! Тогда КЯ„! и„= " =Кз соза= — К»„; т Я„=Я„, +Я„, =(1+К)т»соза; ЯЮ! + Я!2 Чтобы скольжение точки при ударе закончилось в фазе деформирования, необходимо выполнение кинематического условия »„' <О. (20.38) Из (20.87) и (20.83) получаем 18а< 7. (20.89) При отсутствии скольжения в конце фазы деформирования и в конце удара должны быть соблюдены динамические условия отсутствия скольжения: ~Я„~ < 7 Я„,, ~Я, ~ < ~Я„. Легко проверить, что эти условия подтверждают требование (20.39). 3. Скольжение материальной точки заканчивается в фазе восстановления.
Получим сначала решение для фазы деформирования (г=О...т!). Скольжение в этой фазе присутствует, т.е. », > 0 и», > О, а нормальные составляющие скорости точки будут»„и»„= О. Необходимые уравнения имеют вид т(»„— »„)=Я„,; т(», — »,)=Я„; Я,! — — -7'Я„!. Отсюда Ягл = — т»ь = т»сова; Я,', = — ~Ьи~соза; 695 «, = — "'+«, =«(япа — / сова). т Фазу восстановления разобьем на два этапа. На первом этапе (2 = т! ... т" ) составляющие скорости будут соответственно «„=О, «, >О и «„", «," =О, ауравнения удара имеют вид Отсюда получаем О) (!) (!) Ол2 1 Яна Я = -т«(яп а — ~ сов а); Я = — — = т — сова л2 л2 Я„2 ° (в(па (!) = — +« =« — сова, где Я(2), Я(',~ — касательная и нормальная составляющие импульса ударной реакции; «,", ~ О.
На втором этапе фазы восстановления (г= 2'...т) составляющие скорости точки будут «„', «," =О и ил, и, =О, а уравне- ния примут вид т(ил -«„")=Я(,); т(и, — «,")=Я( ); Отсюда Я,(,в) =О; Я( ) = КБ — Я( ) = т К сова — + сова в 1 япа 2 М л2 Х яп а1 =т (1+К)сова — — ~; (П) ил лл — +«л =К! сова= — К«л. 5„2 т Для касательной и нормальной составляющих импульса ударной реакции имеем Я„=(1+ К)Я„! =(! + К)т«сова. 696 Для реализации данного случая удара необходимо выполне- (Б!и а ние условия г„" >О, или — -сова ~0, откуда "~ Х 18а> (. (20.90) При этом также должно выполняться динамическое условие 15,~ < 7'Я„, или тт з! и а < Д1+ К)тя соз и, откуда следует (20.91) 1яа< 7"(1+ К).
Объединив неравенства (20.90) и (20.91), получим ( < !ух < ((1 + К), где 0<а<90'. На рис. 20.26 построены зависимости а = агс18(~(1+ К)] при К=05 и К=О. а 60 40 20 8 1 0.2 0,4 Рис. 20.2б При К =0 кривая а(() является общей нижней границей для всех случаев удара. Кривые разделяют области ! — Ш, в которых точка движется при ударе различным образом. При (=0,5 зона 1 определяется углом а=26,6'.
При а <26,6' скольжение точки заканчивается в фазе деформирования. При ~'=0,5 и К =0,5 зона 697 44З .и 11 определяется углом а=36,9'. При 26,6'<а<36,9' при ударе материальной точки о шероховатую поверхность скольжение точки заканчивается в фазе восстановления. Зона 1П определяется изменением а в пределах 36,9' < а < 90'. В этом диапазоне изменения угла падения материальной точки на шероховатую поверхность скольжение точки при ударе не прекращается до конца удара. При построении кривых коэффициент трения скольжения изменялся в пределах 0<1 <1. Однако этот диапазон не часто практически реализуется. При больших значениях 1" эта модель может отличаться от результатов эксперимента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
