Termeh (523129), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Так как Мо =М„+ М,, где ̄— масса корпуса ракеты со всем оборудованием н полезным грузом; М, — масса топлива в начальный момент времени, нз формулы (21.22) легко найти предельную скорость, которую получит ракета, когда будет израсходовано все топливо: где а, =М,а; а, =сопв1>0; а=сопв1>0. Из формул (21.25), (21.26) найдем время Т сгорания топлива. Для экспоненциального закона имеем Т, = — 1п(!+У), 1 для линейного— Т,= 2 а(1+ У) Интегрируя (21.24) при экспоненциальном законе изменения массы (21.25), получаем закон движения ракеты я = р г+ — и,!Зг (0<1 <Т,). з 2 Если же сгорание топлива происходит по линейному закону, то, согласно (21.24) и (21.26), х = грг+ — '(аг+(1 — аг) !п(1 — аг)) (0<гьТ„).
а Отметим, что при линейном законе изменения массы (21.26) ее расход ИМ вЂ” — =М а=сопв1 й р и реактивная сила ЫМ Р= — и — =М аи =сопв1. г ( р При экспоненциальном законе изменения массы (21.25) расход массы и реактивная сила переменны (изменяются по экспоненте), но ускорение, вызванное действием на ракету одной лишь реактивной силы, постоянно, т. е. Р и, ИМ и,!ЗМре М а — — — — — ' — — ' — !Зи„= сопв1 . М М иг Мреы Глава 22 ОСНОВЫ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ Небеснап механика изучает движение искусственных и естественных небесных тел под действием сил, определяемых законом всемирного тяготения Ньютона, сил светового давления, сопротивления среды и др. Классическими задачами небесной механики являются задача о движении материальной точки под действием центральной силы, задача двух тел, в которой рассматривается движение двух материальных точек в пространстве под действием сил взаимного притяжения, а также задачи трех и и тел.
22.1. Формулы Бине Сила, линия действия которой проходит через' неподвижную точку, называется центральной. Такая сила может быть как притягивающей, так и отталкивающей. Рассмотрим движение материальной точки М, имеющей массу т, под действием силы с, линия действия которой все время проходит через неподвижную точку О, принимаемую за начало координат. В з 15.5 было доказано, что в задаче о движении точки под действием центральной силы существует интеграл площадей К =г хтР=С (С =сопз1), а траекторией точки М будет кривая, расположенная в неподвижной плоскости, перпендикулярной вектору С и проходящей через центр О центральной силы (случай С = 0 исключим из рассмотрения).
В небесной механике зту плоскость называют плоскостью. Лапласа. 717 Для описания движения точки М введем полярные координаты. Поместим полюс в неподвижный центр О и проведем полярную полуось через начальное положение точки (рис.
22.1). Уравнения движения точки в проекциях на оси полярной системы координат примут вид тг — г — г'' т(г — гф )=Г„; (22.1) т(2гф+ гф) = О. Начальные условия таковы: тр япа при 1=0 г=Я, ф=О, гк к»сова, ф= Я где а — угол между вектором р и полярной полуосью. Рис.
22.! Из второго уравнения (22.1) следует г ф=С=сопвг, (22.2) т — =Г„+тС /г 2 3 Ж~ (22.3) 7!8 т, е. под действием центральной силы точка движется по плоской кривой с постоянной секторной скоростью а = г ~ ф/2 = С/2 так, что радиус-вектор точки за равные промежутки времени «заметает» равные площади. Эта закономерность имеет место при движении планет и выражает собой закон площадей Кеплера.
Первое уравнение (22.1) с учетом (22.2) можно представить в виде Если г'„не зависит от 1р, т. е. Г, =Г(г), уравнения движения точки решают последовательно: сначала из (22.3) определяют закон изменения во времени полярного радиуса г = г(Г), а затем из (22.2) — зависимость 1р = <р(г) . Если же Г, = Г(г, <р), уравнения будут связанными и их решают совместно. Выведем такое дифференциальное уравнение, нз решения которого можно сразу определить траекторию. Заменим дифференцирование по г дифференцированием по 1р, учитывая существование интеграла площадей (22.2): С г =гф= —; в с~г Йр сЬ С йт И(1/г) Йг Й Йр 1' Йр Йр (22.4) а1 г ЙрЙ С Й Щг) С Н (1/г) Й' Й Йр гз Йр!, Йр ! г' Йрз Тогда получим первую формулу Бине сК(1/г) 1 у2 — + уз С2 (22.6) позволяющую находить скорость в различных точках орбиты, если известны траектория г=г(д) и постоянная С секторной (22.7) Формулы Бине позволяют находить решения как прямой, так и обратной задач динамики, т.
е. определять центральную силу, если известна траектория движения точки, или определять траекторию, зная центральную силу. Если Г„ явно не зависит от времени, для решения достаточно одного уравнения (22.7), представляющего собой дифференциальное уравнение траектории 719 скорости. Подставив выражение (22.5) в (22.3), получим вторую формулу Бине точки. В задачах небесной механики центральная сила зависит только от расстояния (Р, = Г,(г) ) и, следовательно, является потенциальной. В таком случае существует интеграл энергии тт'/2+ П(г') = Ь,, (22.8) где П(г) = — )гГ аг = — ~Р'„(г)Ыг — потенциальная энергия силового поля центральной силы; Ь, — константа интегрирования. Подставив первую формулу Бине (22.6) в интеграл энергии, получаем уравнение 2 ь! П(г) 1 решение которого сводится к квадратуре и зависит от конкретно- го вида функции Р, = Г„(г) . 22.2.
Заков всемирного тяготении. Законы Кеплера Закономерности в движении планет были установлены Иоганном Кеплером (1571 — 1630) путем обработки многочисленных астрономических наблюдений, полученных астрономом Тихо Браге (1546 — 1601). Они были сформулированы Кеплером в виде трех законов: 1. Орбита каждой планеты есть эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце. 2. Площади, заметаемые радиус-векторами планет относительно Солнца, пропорциональны временам движения планет. 3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит, т.
е. Т~/аз = = сопя!. На основе этих законов, используя сложный геометрический метод, И. Ньютон в 1666 г. установил закон всемирного тяготения. В наше время это можно сделать проще. Действительно, из второго закона Кеплера следует, что существует интеграл площадей, т. е. сила, действующая на планеты, является центральной, причем ее центром является Солнце.
Первый закон Кеплера определяет орбиту планеты и позволяет найти центральную силу при помощи формул Бине. Уравнение эллипса в полярной системе координат имеет вид 1 1+ е сов <р (22.9) г р д, . = «Г- ~Ь1 >' — ц р ° : р = Ь'/ — ф - Г параметр; а, Ь вЂ” большая и малая полуоси эллипса, причем полярная ось направлена от фокуса к ближайшей вершине эллипса. Подставив (22.9) во вторую формулу Бине (22.7), получим тС' ~ есозф 1+ ессеи~ тС' р Таким образом, действующая на планету центральная сила является притягивающей и обратно пропорциональной квадрату расстояния планеты от Солнца. Обозначим в формуле (22.10) С'/р=С'а/Ь =р, где р— постоянная Гаусса. Так как за период обращения Т радиус-вектор планеты «заметает» с постоянной секторной скоростью С/2 всю площадь эллипса, то СТ7 2 = каЬ .
Тогда С'а 4к'а' ц = — = = сопвг; Ьз Т' (22.11) т И гз Так как согласно третьему закону Кеплера отношение а 7 Т' постоянно, постоянная Гаусса р есть величин1~ одинаковая для всех планет, движущихся под действием силы притяжения Солнца, и должна зависеть от массы Солнца. Для тел, движущихся под действием притяжения Земли или других планет, существуют свои постоянные Гаусса, обозначим их р, . Сила, с которой Солнце будет притягивать планету, рт, гс~ = г' ев з «.
и 721 где т, — масса 2-й планеты. Сила, с которой планета притягивает Солнце, 12Мс р ! ~С 2 Г где Мс — масса Солнца. По третьему закону Ньютона г" = Гс,, или 12т,/г' = 12,М /г', откУда 14/Мс = 14,/т, =сопя!. Следовательно, отношение постоянной Гаусса 14, любой планеты к ее массе т, есть величина постоянная, равная отношению постоянной Гаусса Солнца к массе Солнца. Постоянную Гаусса для Земли легко определить из следующих условий: на поверхности Земли сила тяготения Г, равна весу 2 из/2 тела,т.е.
при г=Я2 Р„=тй,откуда 122 =КЯз =4 10 м /с . Если обозначить /' = 14/Мс, то сила, действующая на планету, может быть представлена в виде р /.тМс „- (22.12) где гз — — г/г. Формула (22.12) выражает собой закон всемирного тяготения, справедливый для любых двух материальных тел (точек). КОЭффИцИЕНт /'м6,67 !О "М'/(КГ С ) НаЗЫВаЕтоя граоизнаиионной настоянной. Рассмотрим обратную задачу — выведем законы Кеплера из закона всемирного тяготения.
Так как сила, определяемая формулой (22.12), центральная, то существует интеграл площадей и соответственно выполняется второй закон Кеплера. Для вывода первого закона Кеплера воспользуемся второй формулой Бине. Подставив проекцию г'„силы тяготения, определяемую вторым соотношением (22.11), в формулу (22.7), получим дифференциальное уравнение траектории планеты: 42 ~ (1/г) 1 12 (22.13) а24р2 общее решение которого имеет вид 722 1/г =Асову+ Вв(пу+ р/С или 1/г= —,11+е.сов(<р — ф )], (22.14) где А, В, е, <р — произвольные постоянные интегрирования.
Выражение (22.14) представляет собой уравнение кониче- ского сечения с эксцентриситетом е и фокальным параметром р = С /р, фокус которого совпадает с притягивающим центром. Таким образом, получен обобщенный первый закон Кеплера, так как в зависимости от эксцентриситета орбиты небесных тел мо- гут быть не только эллиптического (е <1), но и параболического (е = 1) и гиперболического (е >1) видов. Если в формуле р =Ь'/а = С~/()М) константу С выразить, согласно (22.11), через период Т обращения планеты, то получим Ь' 1(2яаЬ1 4кза Ь а р~, Т ) Ту, откуда следует третий закон Кеплера а р — = — = сопв1. У' 4л' 22.3. Энергетическая классификация орбит Рассмотрим движение материальной точки, масса которой т, под действием силы тяготения (22.12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
