Termeh (523129), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Если начальное расстояние Я точки от центра О задано (здесь Я вЂ” расстояние до пери- 723 Конкретный вид орбиты, определяемый выражением (22.14), зависит от значений постоянных интегрирования е н рв, т. е. от начальных условий. Надлежащим выбором положения полярной полуоси всегда можно обеспечить р, =О. Для этого следует провести полярную полуось через точку Р орбиты, ближайшую к притягивающему центру О, которая называется перицентром.
Положение этой точки заранее не известно и подлежит определению по начальным условиям. центра), то вид ее орбиты будет определяться начальной ско- ростью т . Для доказательства этого факта найдем зависимость между эксцентриситетом орбиты и значениями Я и тц. Потен- циальная энергия поля силы тяготения, согласно (22.12), Й П(г) = — ')Г„(г)Ь = рт)' — = — рт/с+С,, гэ где константа интегрирования С, = О, так как при г -ь ос П(г) -+ 0 . Разделив в выражении (22.8) все члены на массу и и учиты- вая (22.9), представим интеграл энергии в виде = 2 р/г + Ь = — (1 + е соз д) + Ь, г гр р где Ь вЂ” константа энергии, Ь = 2Ь, /л1 =1 ~4 — 2 14/Я .
Подстановка же (22.9) в первую формулу Бине дает г = —,(1+2есозср+е ). С' 2 Р Приравнивая правые части полученных выражений и учитывая, что р=С~/14, получаем е~.=1+ (С/р)'Ь. (22.15) Из равенства (22.15) следует, что при Ь=тц — 214/Я=О е =1, т. е. орбита имеет вид параболы. Скорость гц = з/2р/Я на- зывается параболической, или второй космической тц, и пред- ставляет собой наименьшую скорость, которую нужно сообщить точке, находящейся в перицентре (на расстоянии Я от точки О), чтобы она удалилась на сколь угодно большое расстояние от цен- тра тяготения О. Для условий Земли (Яз ьз б370 км ) тц = ~~Нз/)1з = ДЙ~ — = 11~2 кь'/с При г < тц константа энергии Ь < О, в этом случае е < 1 и орбита будет эллиптической; скорости, удовлетворяющие этому неравенству, называются эллиптическими.
При эц > гц кон- станта Ь > 0 и орбиты будут гиперболическими (е >1). 724 Для случая круговой орбиты (в=О) константа площадей С = Ео . Подставив эти значения в (22.15), получим 1+(Его/Н)'(го -2Н/Е) =1-2 — уо +(Еоо/Н)' = Н =(1-Л,'/Н)' =О, откуда следует, что скорость движения точки по круговой орбите, или первая космическая скорость Для условий Земли о, =з/Нз/Ез =,/ЕЕз = уя/~Г2ьэ 7,9 км/с. 22.4.
Движение точки по орбите Для окончательного решения задачи, т. е. для определения закона движения точки по орбите, воспользуемся интегралом площадей, представив его в виде йр С „о ' Заменив согласно (22.9) в этом уравнении г, получим Ф С (1+есозф) откуда го Р' о~ Фф С, (1+есояф) где го — момент времени, когда точка проходит через пери- центр. В случае эллиптической орбиты для вычисления интеграла выполняют следующие подстановки: 1й(ф/2)=х, 1я(Е/2)=7ох, где А =(1 — е)/(1+ е), что приводит к уравнению, известному в 2 небесной механике как уравнение Кеплера Š— етйп(Е) = 2я(г — го)/Т.
725 Переменная у в небесной механике называется истинной аномалией, переменная Š— эксцентрической аномалией, соотношение между ними определяется формулой гй(Е/2) = й гй (ср/2). Уравнения движения по параболической и гиперболической орбитам выводятся аналогично. Таким образом, общее решение задачи о движении материальной точки под действием силы притяжения к неподвижному центру по закону всемирного тяготения зависит от шести произвольных констант, определяемых начальными условиями. Форма, размеры н положение орбиты в ее плоскости определены, если известны эксцентриснтет е, фокальный параметр р (или полуоси а и Ь для случая эллиптической орбиты) и угол ~ро, образуемый осью конического сечения с полярной полуосью.
Кроме того, необходимо знать положение плоскости орбиты в пространстве, которое задается направлением векторной константы площадей. В небесной механике для задания орбиты и движения по ней точки широко используются так называемые кеплеровские элементы. Помимо параметров е и р к ним относятся (рис. 22.2): т— время прохождения через перицентр; ь2 — долгота восходящего узла — угол, который составляет с осью Ох линия пересечения плоскости орбиты с плоскостью Оху, ( — наклонение орбиты— двугранный угол между плоскостью орбиты и плоскостью Оху. Рнс 22.2 72б Наконец, параметр и определяет положение орбиты в ее плоскости и называется угловым расстоянием лерицентра Р от узла; он равен углу между направлением на перицентр и линией пересечения плоскости орбиты с плоскостью Оху. 22.5.
Задача двух тел В рассмотренной выше задаче центр тяготения считался неподвижным по отношению к некоторой инерциальной системе отсчета. Рассмотрим теперь две материальные точки с массами и, и гл, соответственно, движущиеся под действием сил взаим- ного притяжения. Для получения уравнений движения введем инерциальную систему отсчета О,хух.
Положения материальных точек О и М определены радиус-векторами г, и Р соответственно (рис. 22.3). Положение точки М относительно О зададим радиус-вектором г . Рис. 22.3 Запишем уравнения движения точек в инерциальной системе отсчета О,хух: Ы г1 .т1тз И~ — = / Рр ~72 3 727 2 ! 2 И2 Р. у!2 3 Так как г =г, — г2, то отсюда следует, что щ! — Щг— —, = — 1' —,г — 7' —,г = — 7'(т,+и,) —,. 212' г' г' г' Если ввести обозначение 12 = У(щ! + щг ) ~ (22.16) то получим 21'г Н (22.17) ~,г гз' Дифференциальное уравнение (22.! 7) описывает движение точки М в подвижной системе отсчета ОХИ (где оси системы ОХТУ параллельны соответствующим осям системы О,хуг ).
Это уравнение также можно интерпретировать как дифференциальное уравнение движения точки М относительно неподвижного притягивающего центра О под действием центральной силы Г = — ри г/г' . Таким образом, все полученные ранее результаты применимы к рассматриваемой задаче. Если вектор-функция г = Р(г) найдена, то определение движения относительно системы координат О!хух не представляет труда. Точка С вЂ” центр масс точек О и М вЂ” движется равномерно и прямолинейно; ее скорость полностью определяется начальными скоростями точек О и М. Если г, — радиус-вектор центра масс, то и и, г,=г,.— 22 !с+ г. И! +И2 Щ! +Щ2 Исходя из результатов, полученных в 8 22.2, найдем поправку к третьему закону Кеплера.
Рассмотрим движение вокруг Солнца двух планет с массами т, и щ, без учета взаимного влияния. Согласно формулам (22.! 1) и (22.16), для первой и второй планет соответственно имеем 4п'а!' Т,~ ' = 12! = 7 (М + и! ); 728 4к а,' „' =цз = Т(М+ тз). Т,з Разделив первое равенство на второе, получим а, /Т, М+т, 1+т,/М а,'(Тз М+ т, 1'+ т,!М т. е. третий закон Кеплера носит приближенный характер и выполняется постольку, поскольку массы планет т, и т, малы по сравнению с массой Солнца Мс . 22.6.
О задаче и тел и о других задачах небесной механики Задача и тел (п >3 ) является одной из наиболее известных проблем классической динамики. В ней рассматривается движение и материальных точек в пространстве под действием сил взаимного гравитационного притяжения и требуется определить положения всех точек в произвольный момент времени, если в момент г = ~ заданы их координаты и скорости. В указанной постановке эта задача не решена и до сих пор. Исследования этой задачи, а особенно задачи трех тел (п=З), оказали огромное влияние на развитие всей динамики. Многие из наиболее важных результатов современной динамики в той или иной степени связаны с этой задачей.
При решении различных проблем космонавтики и астрономии большую роль играет так называемая ограниченная задача трех тел. Она заключается в изучении движения точки, имеющей малую массу в поле тяготения двух тел (материальных точек), массы которых конечны. Предполагается, что точка малой массы не оказывает влияния на движение тел конечной массы, которые движутся по орбитам, определяемым в задаче двух тел, т.е. движение тел конечной массы считается известным.
Эта задача гораздо проще общей (неограниченной) задачи трех тел. Но и она до конца не проинтегрирована, хотя для многих частных случаев этой задачи, возникающих в астрономии, удается построить приближенное решение с очень высокой степенью точ- 729 ности. Примерами ограниченной задачи трех тел являются задачи движения систем Земля — Луна — спутник, Солнце — планета— комета и т.
д. Важнейшими проблемами небесной механики являются сле- дующие: 1) определение движения центров масс небесных тел; 2) нахождение движения небесных тел вокруг их центров масс. Если вопросы, относящиеся к первой проблеме, разработаны в научной и учебной литературе достаточно хорошо и имеют многолетнюю историю, то работы, связанные со второй проблемой, опубликованы в основном за последние два-три десятилетия в научных журналах и являются менее доступными. Следует отметить, что задачи, в которых изучается движение небесных тел вокруг их центров масс, сформулированы либо в ограниченной постановке (движение их центров масс считается известным), либо в обшей или неограниченной постановке (дифференциальные уравнения поступательных движений центров масс и вращений вокруг центров масс взаимосвязаны и решаются совместно).
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение .9 ..9 11 Некоторые сведении из теории векторов. В.1. Скалярные и векторные величины. Единичные векторы .......... В.2. Проекции вектора на ось и плоскость ......................................... В.З. Координаты вектора. Аналитическое задание вектора. Радиус- вектор точки .. ВА. Сложение и вычитание векторов . В,5.
Умножение векторов В.б. Векторы и матрицы . В.7. Связь между проекциями вектора на оси двух прямоугольных систем координат . В.8. Вектор-функция. Годограф вектора. Дифференцирование вектора по скалярному аргументу ........................................---. 12 14 16 24 29 32 Раздел !. КИНЕМАТИКА ...39 ..39 ..41 ....... 44 ....,.. 44 ....... 6 1 Г л а в а 1, Кинематика точки 1.1. Скорость точки 1.2. Ускорение точки 1.3. Векторный способ задания движения точки ........ 1.4.
Координатный способ задания движения точки .. ! .5. Естественный способ задания движения точки ... ......70 ....... 70 ....... 73 ....... 75 Г л а в а 2. Простейшие движении твердого тела ................... 2.1. Степени свободы и теорема о проекциях скоростей .. 2.2. Поступательное движени твердого тела ....................
2.3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной осн ..... 85 87 89 90 94 731 Глава 3. Плоскоедвижение твердоготела ............................................ 3 Л . Разложение плоского движения твердого тела на поступательное и вращательное движения 3.2. Уравнения движения, угловая скорость и угловое ускорение твердого тела при плоском движении ...........................................
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
