Termeh (523129), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Анализ полученных решений в случае прекращения скольжения в фазах деформирования и восстановления показывает, что окончательные значения скоростей и импульсов у них одинаковые, различия наблюдаются в промежуточных значениях. Для этих случаев имеем при гя а < Д1+ К) и = Кг сов а; Я =тг На рнс. 20.27 построены зависимости безразмерных скорости точки после удара й = и/и н полного импульса ударной реакции У = Я/(тг) в зависимости от угла падения а(К =0,5; 1 =0,5). 1,5 1,2 0,9 0,6 0,3 15 30 60 75 90 а Рис. 20.27 698 Так как г81)=и,/и„, то 18и ( 1) 18)3= — — (~1+ — 1 при 18а > ((1+ К); К ~ К! 1815=0 при фа< ((1+К). Зависимость фа) приведена на рис. 20.28(К=0,5; (=0,5).
90 80 60 40 20 15 30 45 60 75 90 сс Рис. 20.28 20.12. Удар двух шаров. Модель Герца Покажем, как при решении задачи об ударе двух шаров можно использовать зависимость силы упругого сжатия шаров от величины местного упругого смятия, полученную Герцем при решении задачи о статическом сжатии шаров. Предположим, что такая же зависимость существует и для ударной силы. При ударе шары, массы которых т, и тз, движутся поступательно. Уравнения движения шаров будут иметь 'вид (рис. 20.29) (20.92) тх,= — Р; тх =Р. Рис. 20.29 Расстояние между центрами масс шаров 1 = хг — х, . До удара это расстояниебыло 1, =Я, +Я,. В процессе удара 1 = 1Π— и = Я, + Яг — а, откуда а=1о 1=1о+х, — хг.
Здесь а — местное смятие шаров, или относительное смещение центров масс шаров при их деформировании в процессе удара. Из уравнений (20.92) получаем х,— х = — Р— + — = — Р (1 11 щ+, (20.93) 1т, т! тт, При упругом деформировании шаров Герцем была решена задача об их сжатии и получена зависимость силы в контакте тел от местного смятия: Р = Кои' 3! г (20.94) г г 1 — Н, 1 — Нг 4 ~Я~Яг Е, Ег ! 3~Я+Я, фициенты Пуассона и модули упругости шаров соответственно. Зависимость (20.94) получена в предположении, что в зоне контакта шары деформируются как упругие полупространства. Радиус площадки контакта г„много меньше Я, и Я, поэтому это допущение приемлемо, а решение дает хорошее согласование с экспериментом.
т,тг где т= т~ +тг Начальные условия задачи имеют вид при г=О а =О, а=го, (20.96) гдеа=х,— х =о,— т . Запишем уравнение (20.95) в виде аОаа Згг — Коа Й~ и проинтегрируем с учетом начальных условий (20.96). После интегрирования получим т(а — оо ) 2 зд 2 2 2 5 Отсюда можно определить а при а = О, т. е. в момент наибольшего сближения шаров: 2 ( 2 225 тто 2 згг (5 лпо ~ — — = — — Ка, илиа 2 5 (4К о При этом 2 3/5 (5 „21 Р~аах О ~ах 01 (20.97) Определим время нарастания контактной силы: Иа г 4КО 5,2 4 Ко зм "о "о й 5т 5ткг (20.98) =то 1 После интегрирования имеем 70! Экспериментально показано, что зависимость (20.94) можно также использовать при ударе при условии, что время пробега поперечной волны по радиусу площадки контакта много меньше времени нарастания силы.
Из (20.93) получаем зм та = — Коа а ~ ' »зз(а/а ) Г7'7..;Р Пусть а = а/а — безразмерное смятие шаров, тогда выражение (20.99) примет вид . а = -1, а "о о з»1- а ~о где 1„— интеграл, рассчитываемый численно, так как его нельзя выразить через элементарные функции. Время удара т=21а /го . Вычислив 1 1 = ) =1,4716, ° Га"' находим т = 2,9432а /то . Нз выражений (20.94) и (20.97) получаем ззз —, или Р = а~~~, (20.100) 1 юпах х ахах где Р, а — безразмерные ударная сила и смятие соответственно. Введем безразмерное время» = »/т и преобразуем уравнение (20.98) к безразмерному виду х1(а/а ) х»а»:з,з о ) 21 (»,, '1 21»» 21 ~а ) Отсюда с учетом (20.! 00) получаем 31рз(з,/~ риз (20.101) (» Уравнение (20.101) интегрируется численно. На рис.
20.30 представлена рассчитанная зависимость безразмерной ударной силы от безразмерного времени. 702 Аналогично можно решить задачу об ударе поступательно движущихся тел, имеющих другие геометрические формы. В формуле (20.94) коэффициент К в общем случае имеет вид К, = —, где функция д = 9(А/В) заранее рассчи- 4 д З(б, +б,),Я+В' 1 — рч 2 тана; б = ' (1=1,2). Напри- Р яЕ, мер, при ударе сферы радиусом Я, 1 по образующей прямого кругового цилиндра с радиусом Я имеем 1 1(! 11 А= —, В= — — ~- — . В слу- 2Я, 2!Я, Я! чае соударення двух прямых круговых цилиндров с радиусами Я,, 0 0,5 1,0 Я,, при котором оси цилиндров перпендикулярны между собой, Рис.
20.30 1 1 А= —, В= —. 2К, 2Я В модели Ньютона скорости шаров при ударе изменяются скачкообразно. Уравнения движения шаров после интегрирования имеют вид т,(х, — хго) = — я(г); т,(х, — хзо) — Яг), (20.102) где хм, хоо — начальные скорости шаров; Я(1) = )РЯЙà — им- о пульс ударной силы в момент времени д Если положить г = т, то в уравнениях будут записаны скорости шаров после удара и полный импульс ударной силы. Интегрируя (20.95), получаем т(а(т) — а(0)! = — Я, (20.103) где Я = г)Р(г)г(1 . о Введем, согласно (20.55), коэффициент восстановления 703 — — — — — — (20.104) а(0) х,(0)-х,(0) г, -ы, где х, (т) = и,, хг (т) = и, х, (0) =1,, х (0) = ыг — скорости шаров после и до удара соответственно. С учетом (20.104) из (20.103) находим Я=(1+К)щые —— (1+К) ' (», — »2), Щ1+Щ2 ГДЕ Ые »1 »2. Из (20.102) определяем (1+ К)щ», (щ, — Ктг)»1 +(1+ К)щг» И1 =Ы, Э П11 Щ! +Щ2 (!+К)щы (1+К)т,», +(т — Кщ,)», мг — ыг + щг Щ1+Щ2 Решения для Я, и1, иг совпадают с выражениями (20.59), по- лученными с использованием модели Ньютона.
В качестве примера рассмотрим соударение двух одинако- вых стальных шаров (Я1 =Я =1см, щ, =щ, =327г) при ыс =5,13 ем/с. После расчета по приведенным выше формулам получаем 2=110мкс, а =1,91.10 'мм,т.е. 2~0,а -+О. Замечание. Энергия удара расходуется на энергию местного деформироввния и энергию колебаний соударяющихся тел. В простейшем случае соударения двух одинаковых шаров отношение энергий (по Рэлею) равно Т/Т = 0,02»е/с, где Т вЂ” максимальная кинетическая энергия колебаний шаров; Т = яп,г/2; т— масса шара; »е — скорость соударения; с-т/Е/р (для стали см5000м/с). Упругий удар будет атом случае, когда ые/см10 г .1О ', при этом отношение Таким образом, анализ соударения тел с применением модели Герца показывает справедливость модели Ньютона. Глава 21 ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 21.1. Основные понятии н допущения В некоторых задачах механики предпочтительнее рассматривать не движение системы материальных точек, а движение некоторого объекта, ограниченного замкнутой поверхностью, через которую движется поток материальных частиц.
К такому типу относятся задачи, связанные с движением жидкостей, расчетом двигательных установок различных аппаратов (в частности, ракетных двигателей) а также задачи, связанные с движением ракет, при котором двигатель выбрасывает поток газа. Нас, естественно, интересует движение корпуса ракеты, а не центра масс' системы «ракета-сгоревший газ». Ракета является ярким приме- ' ром движущегося тела переменной массы.
Примеров движущихся тел, масса которых заметно изменяется в процессе движения, множество как в различных областях производства (вращающееся веретено, на которое навивается нить; рулон газетной бумаги, разматывающийся на валу печатной машины и т. п.), так и в природе (изменение массы ядра кометы, возрастание массы Земли вследствие падения на ее поверхность метеоритов, таяние плавающей льдины и др.).
Следует отметить, что в теоретической механике перемен- ность массы понимается не в смысле ее возникновения или исчезновения, а в смысле присоединения или отделения либо совместного .присоединения и отделения частиц. Предметом дальнейшего рассмотрения будет система частиц с постоянными массами, состав которой изменяется: некоторое количество час- 70я тиц покидает рассматриваемую систему, новые частицы к ней присоединяются. Хотя изменение массы мы наблюдаем лишь в случае тел конечных размеров, тем не менее, в динамике тел с переменной массой (переменным составом), введение понятия материальной точки переменной массы (ТПМ) упрощает и облегчает изложение материала. ТПМ можно определить как множество частиц (с постоянной массой), которые в момент времени г находятся внутри области, ограниченной некоторой контрольной поверхностью, причем предполагается, что эта область движется поступательно (вместе с некоторой своей геометрической точкой).
Переходом к пределу прн стремлении к нулю объема области, ограниченной контрольной поверхностью, придем к понятию, аналогичному понятию материальной точки постоянной массы. Таким образом, ТПМ вЂ” это геометрическая точка с некоторой конечной массой, изменяющейся в процессе движения. Основное уравнение движения ТПМ было получено И. В. Мещерским в 1897 г. в его магистерской диссертации. В 1898 г. результаты диссертации были им обобщены на случай одновременного присоединения и отделения частиц. Обобщенное уравнение Мещерского является основным в разделе «Динамика тел переменной массы», составляющем теоретическую базу ракетодинамики.
Принципиальным допущением, позволяющим получить дифференциальное уравнение движения ТПМ, является гипотеза близкодействия (контактного взаимодействия), согласно которой частицы изменяют количество движения ТПМ только в момент их непосредственного контакта. Как только отделяющаяся частица получает относительную скорость по отношению к ТПМ, ее воздействие на точку прекращается.
Присоединяющаяся частица до момента контакта с ТПМ не взаимодействует. Ввиду того, что скорости прнсоединяющнхся или отделяющихся частиц в момент контакта, вообще говоря, отличаются от скорости ТПМ, она будет испытывать удары со стороны этих частиц. Для случая непрерывного изменения массы точки воздействие таких ударов на нее аналогично действию некоторых дополнительных сил, называемыхх реактивными.
706 21.2. Обобщенное уравнение Мещерского, реактивные силы Ф, ~рр »!»р»!! 1»» \Р» Р =»=' Ьт! нт п1-и! Н» г» »-! Лт, (2! .1) н, И, где»з ! =Х1» ' с!тз =Хаю »=! »=! Запишем количество движения этой механической системы в моменты времени» н» + Л» . С учетом (21.1) будем иметь Д(г) = МР+ Лт!у!, Д(~ + Лг) = (М + Л~, — Л»п )(Р + М) + ЛтЯ . Тогда ~1д(г) = д(г+»17) — Д(г) = = МЛР+ Лт!(Р— у!) — Лт (Р— Рз)+ + (Ьт! — Лт,)ЛК (21.2) 707 Ограничимся рассмотрением тех случаев, для которых процесс изменения массы происходит непрерывно. При скачкообразном изменении массы соответствующие задачи решаются путем непосредственного применения общих теорем динамики тел постоянной массы, а также методами теории удара Для вывода уравнения движения ТПМ воспользуемся теоремой об изменении количества движения механической системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
