Termeh (523129), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Вычислим центробежный момент инерции У и, . н и .Ухт Ч~! и Х»У» = Ч~~ м»(х» сова+ У» вша)(- х» в»па+ У» сова) = »=! »=! з!п2а ч" = — у м»1-х» ьу„(+сов2а у м»х»у», 2 »=! л где 2 м»(-х» ьу»»=-» м»»х»+х»)+» м»(у»+х»У=-У +У,. »=! »=! »=! Проведя преобразование и приравняв нулю .Ухт, получаем выражение з!п2а у — (У,— У )+У соз2а=О, я 1 2.1 ю которого нахолим при .У, =.У а = — рад, анри ./„е./ а = — ас!а 4 " 2,У вЂ” l, Замечение 3.
Справедливо обратное утверждение: при У„ /, = 0 ось О2 является главной осью инерции. Действительно, при l = l = 0 уравнение эллипсоида инерции имеет вид (14.20), а следовательно, ось ОŠ— главная ось эллипсоида инерции, т. е. главная ось инерции тела дла точки О. Теорема 14.2. Главная центральная ось инерции твердого тела является главной осью инерции для всех своих точек.
322 Рис. 14.21 Выберем на оси СУ произвольную точку О и покажем, что ось С2 является главной и для точки О. Проведем в точке О оси Ох, и Оу,, параллельные осям Сх и Су ОС =Ь. Координаты произвольной точки М„массой т„следую!цие: хц — — хс, Уц = У» яц -— 2„— Ь. Необходимо доказать, что центробежные моменты инерции относительно осей Ох,, О2(г!) и Оу,, О2(я!) равны нулю. Это будет означать, что ось С2 есть главная для точки О. Имеем и и ,У„, =.У„= Ят,х!сг!с --'~ т„х„(2„-Ь)= и и = ~т„х„ń— Ь„) тсх„=,У,х — ЬМхс; с=! Ф=! и и .У .
=.Улх —— ~~'„т„у!!Я!1 =отсу„(2„— Ь)= (14.22) = ~,т„у„Х вЂ” Ь~т„у„=.У вЂ” ЬЛф~ .. 323 Доказательство. Пусть ось С2 есть главная центральная ось инерции тела. Проведем через центр масс тела С две взаимно перпендикулярные и перпендикулярные оси С2 оси Сх и Су (рис. 14.21).
Тогда =О; х, =Ус =1). (14.21) С учетом (14.21) из (14.22) следует,У„» =,У,г = О, что и доказывает теорему. Замечание. Главная ось инерции, не прокодязцая через центр масс тела. является главной осью инерции только для одной точки (рис. 14,22), Пусть теперь ось 02 — главная ось инерции для точки О, т. е. У, = .( » = О, а центр » масс тела не лежит на этой оси (хг хо, у, х 0), тогда, согласно (14.22), Уч» = -ЬМх,, Ун» = -ЬМу, . Эти центробежные моменты не равны нулю. т. е. ось 02 не является главной для точки О,.
Рис. 14.22 Теорема 14.3. Если тело имеет ось материальной симметрии, то эта ось является главной центральной осью инерции этого тела. Доказательство. Пусть ось О» является осью материальной симметрии тела, тогда центр масс С лежит на этой оси (рис. 14.23). Проведем через центр масс С две перпендикулярные между собой и перпендикулярные оси Сг оси Сх и Су.
Докажем теперь, что центробежные моменты,У„и .У,» равны нулю. Всегда можно найти материальные точки тела М„и М„' с равными массами т„, т', симметрично расположенные относительно Рис. 14.23 324 оси Сг. Координаты этих точек соответственно х„, у„, г и — х„, — у„, г„. Для А!„и Ф' с равными массами т„и т, 'соответственно имеем х, — у,, г„и — х„, у„, г„. Тогда л ,У„с = , 'п)„хсг„=') т х,г„+ ) т„'( — х„)г„+ с=! (!) (л) + У т„х„г„+ ~тс( — х„)гл +...=О, (гя) ()ч) где 1, 11, П1 и 1Ч вЂ” соответственные части тела. (Аналогично записываются суммы для точек, лежащих ниже плоскости Сху.) Так же можно доказать, что У, = О.
Итак, ось Сг является главной центральной осью инерции тела. Теорема 14.4. Если тело имеет плоскость материальной симметрии, то любая прямая, перпендикулярная этой плоскости, является главной осью инерции тела в точке пересечения прямой с псоскостью симметрии. Докаэательсп)во.
Пусть тело имеет плоскость материальной симметрии Р (рис. 14.24). Проведем ось Ог перпендикулярно этой плоскости Р; точка Π— точка пересечения оси Ог н плоскости Р. Рис. 14.24 Проведем взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, лежащие в плоскости Р. Докажем, что центробежные моменты инерции .У . и 325 .Уг равны нулю. Так как плоскость Р есть плоскость материальной симметрии тела, то для каждой материальной точки М тела с массой т, и координатами х„, у„, г„найдется точка М„' равной массы с координатами хе, у„, — г„.
Тогда .У„= У'т(х г„= ~~! т,хяг„+Ч~ тахе( — г„)= О. е=! (и (и) Анапогично можно доказать, что У =О. Следовательно, ось Ог является главной осью инерции тела в точке О. Замечание 1. Центр масс тела Г лежит в плоскости материальной симметрии. ось Сс является главной центральной осью инерции тела Замечаииег. Если тело однородно, то плоскость или ось материальной симметрии валяются просто плоскостью или осью геометрической симметрии.
14.9. Определевые направлеыыв главных осей внерцви т. е. тензор инерции для этой точки будет Х Определим направления главных осей инерции и главных моментов инерции для этой точки О (рис. 14.25). Выберем в качестве осей координат в точке О оси ОХ, ОУ, Ог, направленные по главным осям эллипсоида инерции в точке О. Тогда радиус-вектор ! точки М, лежащей на главной оси инерции и поверхности эллипсонда инерции, совпадет по направлению с вектором нормали к эллнпсоиду. Направления осей определим из уравнения бган' = )ьг или дГ дР дà — = )(х; — = )ьу; — = )(г . дх ду дг (14.24) 326 Пусть в точке О тела проведена произвольная система коор- динат Охуг. Уравнение эллипсоида инерции в точке О имеет вид 2Г(х,у,г) =.У,х «-.У„у +.Уег~ — 2 У„ху— (14.23) -2.У,,хг-2.У уг-1= 0, Рис.
14.25 С учетом (14.23) уравнения (14.24) преобразуются к виду (.У„-2.)х-.У у-.У г=О; — .У „х + (,У, — Х)у — .У г = О; (14.25) — У х — У у + (.ӄ— Х)г = О. Система уравнений (14.25) определяет координаты точки М(х, у, г) главной оси инерции (см. рис. 14.25). Ненулевое решение эта система имеет при условии, что .У, — Х вЂ”.У, —,У вЂ”.У У,— Х 'Угу (14.26) .У— с 327 Уравнение (14.26) имеет три действительных корня Х„Х„ Х в случае симметричности тензора инерции и действительности его компонент. Допустим, что все корни различные. Подставив их значения в (14.25), получим три системы уравнений, из которых найдем три точки пересечения главных осей инерции для точки О с эллипсоидом инерции.
Из системы уравнений (14.25) при известных Х,(1=1,2,3) определим отношения хУг и уУг. Из первых двух уравнений (14.25) получим решение в форме х у г Л,(2.,) Л (2,,) Л (2.,) где Л,().,),(у =1,2, 3) — алгебраические дополнения элементов последней строки определителя (14.26). Выражения (14.27) представляют собой уравнения прямых, проходящих через точки О(0,0,0) и М(х,у,я), и являются уравнениями главных осей инерции. Если в системе (14.25) одно уравнение независимое, то любое из уравнений этой системы является уравнением плоскости, в которой лежат главные оси инерции для точки О.
Докажем, что двум различным корням Х, и Х соответствуют два ортогональных направления главных осей инерции. Для )., и ).„координаты точек М, и М„будут соответственно х,, 31.. з. и хь, у~, 7ь. Из уравнений (14.24) имеем х, ~ у, + — я, =2~,(х,х~-ьу,у~+я,я;,). Вычитая из первого уравнения второе, получаем (р., — ).„)(х,х„~- у,у„+ г,з ) = О. (14.28) Если Х, ~ ), то должен быть равен нулю второй множитель в уравнении (14.28). Этот множитель представляет собой скалярное произведение радиус-векторов главных направлений и г,г„= 0 Следовательно, их направления ортогональны. Выберем теперь в качестве осей координат главные оси инерции в точке О.
Для оси ОХ имеем У=У =0 и из первого уравнения (14.25) получаем (,У „— Х, )Х = 0 . Здесь Х ~ О, поэтому Х, =.У .. Аналогично можно показать, что 2,з =.Уг, 2,, =.Уя. Таким образом, корни Х,, Хз, Хз уравнения (14.26) равны соответственно главным моментам инерции 1г, 1г, .I тела для точки О. 328 Пример 14.6. Для однородной квадратной пластины ОАаО, масса которой М, а сторона а, определить тенэор инерции для осей системы координат Охуг (рис.
14.26), Рне. 14.26 Решение Моменты инерции относительно осей декартовой системы координат равны Ма Ма М 2 2~ 2Ма ./ = —;.l, = —;l, = — 2а +а 2= В точке О Ох — главная ось инерции, так как она перпендикулярна плоскости симметрии пластины, поэтому 1 = 1 О. Определим центробежный момент инерции 1,= ~уЫт. Пусть 22м= <М2 2 . = р,20мы, где р, = м/а; 26я = — 202ат . тогда а2 М М М 1 2 ~уябу<й )яЖ ~уеду, ./ ./ (М) е е Тензор инерции имеет вид .7„0 0 0 Π— 1 1, Пример И.7. Для условий предыдущего примера определить главные оси инерции пластины для точки О и главные моменты инерции относительно этих осей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
