Termeh (523129), страница 36
Текст из файла (страница 36)
рис. 14.1). Статический момент массы механической системы относительно какой-либо точки О равен произведению массы системы М = ~ т„на радиусl(=! вектор центра масс г: и ~о =,~' т!г~ =11зг! Рис. 14.1 откуда ~1,т г„ ь=! (14.1) М Проецированием (14.1) на оси прямоугольной декартовой системы координат получаем выражения для вычисления координат центра масс механической системы: и н н ',~ т„х, ~т!,у, ~т~х хг = ' ' ; У! = е ! ' хс = е ! (14 2) М М М н и н Выражения „) т,хя =Яо, ~т„уг. =Яо, ~) тахе =Я, 1с=! я-! ь=! называют статическими моментами массы системы относительно координатных плоскостей бух, Охх, Оху. Из (14.2) имеем 'сон Мхг 1 'со МУс б!ьх Для сплошных однородных тел Уо можно записать в виде интеграла по массе тела: и Уо = 1цп ~г,!1т„= ~Ит.
о— !м> Тогда (м> г (14.3) ~х<1т ~у<1т ~ х<)т (м) хг = Если тело имеет постоянную плотность р, то <1т=рЛ' н масса тела М = рР, где <6; 1' — элементарный объем частицы и объем тела соответственно. Тогда )'ЫГ (г) г, =— х,= ()<) М ~ х<6' ~у<)Ч' ~ Ыт (к) х< — —— Г (Г) (М) У< = х<'— — (х) Р ° =— <' Для материальной линии <1т= рф1, М=рэ!, где р, — линейная плотность; а1 — длина элемента линии; 1 — длина материальной линии, а радиус-вектор ~Ы1 (<) Если в качестве точки, относительно которой нужно вычислить статический момент системы, выбрать центр масс С, то Для материальной поверхности будем иметь <))т=р)<1о, М = р,Я, где р, — поверхностная плотность; <)<э — площадь поверхности элементарной частицы; Я вЂ” площадь рассматриваемой материальной поверхности.
Формула для радиус-вектора в этом случае примет вид и У( =~~~ т»р =Мр. =О, так как радиус-вектор центра масс относительно этой же точки равен нулю, т. е. р(. = О . 14.2. Моменты инерции При рассмотрении вращательных движений твердых тел вводят понятия моментов инерции, которые характеризуют распределение массы тела по отношению к точке (полюсу), оси или плоскости. Моментом инерции материальной точки М относительно точки О называется произведение массы т этой точки на квадрат ее расстояния г до точки О: )о Рассмотрим механическую систему, состоящую из )(( материальных точек с массами т» (1=1,2,..., Ф). Момент инерции механической системы, состоящей из Ю материальных точек М», относительно точки (полюса) О равен сумме моментов инерции этих точек (рис.
14.2): ) о = Х./о = )'„, т» г» »-( »=! Момент инерции относительно точки называют полярным моментом инерции. Моментом инерции механической системы материальных точек относительно оси 01 называется сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний до оси О1 (см. рис. 14.2): ч~ )г »=( Для тела, имеющего непрерывное распределение массы, имеем соответственно интегралы по массе М: ,Уо — — 1)г (1т;,1( = ~Ь Ит.
(м) (М) Величина 301 -6 (14.4) называется радиусом инерции тела относительно оси О1. Тогда момент инерции можно представить как У М 2 Рис. 142 Значения р, для различных тел приведены в справочниках. Для тел произвольной формы р, можно вычислить по формуле (14.4), при этом М н .1! определяют экспериментально. Единица измерения момента инерции — килограмм на квадратный метр(кг м'). Моменты инерции относительно декартовых осей Ох, Оу, Ог и полюса О определяют по формулам (рис.
14.3) я /, =,Гт (Уь +гь); !с ! я .У„= ~т1(х, +г,); ь=! ,У. =,) т (хами+у„); я=! и и 2%(2221 .У„= ~ тег = ~ т! (х„+ у„+ х~ у. (14.6) Рве. 14.3 Сложив левые и правые части уравнений системы (14.5), по- лучим зоз 2,У„=.У, +У +.У,. (14.7) Моменты инерции относительно координатных плоскостей Оху, Оуг, Охх соответственно равны: и и и ,У „= )' тих~~;,У . = Ятих~и; .У = )' т!,у~~ . (14.8) /с=! и=! и=! Из (14.б) и (14.8) следует зависимость Уо =А!му+ У!)у*+ У!з . Для тела, имеющего непрерывное распределение массы, осевые моменты инерции относительно осей координат определяются интегралами по массе М: .У„= ((у'+г')Ыт; .У = )(х +х )пт; У, = )(х +у )с(т.
<м! См) см! 14.3. Зависимость моментов инерпии относительно параллельных осей (теоремаГюйгеиса — Штейнера) Найдем зависимость между моментами инерции механической системы относительно параллельных осей Ог и Сх, (рис. 14.4). Рис. 14.4 Выберем две системы прямоугольных декартовых координат Охух и СХУ2;, оси которых параллельны, а точка С вЂ” центр масс системы. Моменты инерции относительно осей Ог и СУ будут соответственно равны ,У,! — — ~~ т„(х„+у„); .У =,~ т (Х„+1' ). »=! »=! Координаты точки М в рассматриваемых системах связаны уравнениями х» =Х»+хг; у» =1»+у, Подставив в выражение для .Уо, эти соотношения, получим ,У„=,1 т» [(Х» + х, ) + Щ + у< )~ 1= »=! ='~ т (Х2+ У» )+2хг,~ т„Х + »=! »-! к я + 2у<,Ч~ т»У» +(х, +у,.Ят .
» ! 304 к ) т»Х» = МХ, = О. » ! Л ',» пг У» = М»', = О, так как Х< — — 1г = О; х,. + У, = <У, <! — Расстояние между осями Ох н Сг.. Окончательно имеем ,Уо =.У<. +М<)! . Полученное выражение представляет собой математическую запись теоремы Гюйгенса-Штейнера, которую можно сформулировать так: момент инерции системы относительно какой-либо оси равен сумме момента инерции относительно паралчельной оси, проходящей через центр масс системы, и произведения массы систе.иы на квадрат расстояния между параллельными осями.
Здесь ~ т» = М вЂ” масса системы »=! 14.4. Моменты инерции однородных тел Стержень постоянного сечения агу Рис. 14.5 2! Зэк. )6 305 Момент инерции однородного стержня массой Ми длиной 1 (рис. 14.5) относительно оси Ое будет,У = )у агт. Так как (М) М М плотность материала стержня р = —, а <Ут=рга)1= — <)гу, то ! получаем МУг У 1 2 ! Момент инерции относительно оси СУ 12 М! Угв =.У вЂ” М вЂ” = —.
4 12 Круглый диск Моменты инерции относительно точки С и оси Ог равны между собой: Рве 14.6 .У =Уг. Из (14.7) следует, что 2,У, =.У, +.У„+.У, откуда .У. =,У, +,У„. В силу симметрии У МК2 .У, =,У. = — = 2 4 Для тонкого кольца или колеса радиусом Я, масса которого распределена по его ободу, имеем .У =- ~Я Ыт = Я ~а~т = МЯ ~м1 <м> Момент инерции однородного круглого диска массой М и радиусом Я (рис. 14.6) относительно оси Сг равен У. = ~г'йи. <м> Плотность материала диска р, = М/(тЖ'), масса элементарного кольца радиусом г и шириной Нг М 2Мг Нт = 2кггУг — = — Нг.
Оконча- яг яя тельно имеем Прлмоугольнаа пластина Момент инерции однородной прямоугольной пластины массой М относительно оси Ог (рис. 14.7) равен .Уа = )у (((т. (и) М Плотность материала пластины р, = М/(аЬ), ()(т = р, а())у = — ь(у (см. полоска! на рис. 14.7), следовательно, Мь ~,= — ~у') = —. Ь, 3 2 2 Рис. 14.7 Момент инерции .У = ~2'с(т . Здесь (м) рис. 14.7).
Тогда пластины относительно оси Оу равен М (2т = р, Ыг = — 222 (см. полоска 2 на а 21* 307 М а/2 2 а ) 2аа а „, 12 Момент инерции пластины относительно оси Ох равен (г г) М .2'„= ~р +г )((т, где (Ьп= — фк22 (см. прямоугольник 3 на (и) аЬ рис. 14.7). Таким образом, М «~1 Удз о1') ,У„= — ~ ~(у~ + я~)оуо1я =М~ — -ь — !. ц/1 О ~3 12! Учитывая, что .Уо — — .У„, тот же результат можно получить из формулы 2Уо =2У„=.У„+.У +У„или У„=.У +.У,. Примой круговой цилиндр М М 2М цилиндра р = — =, йп = рЛ' = рН 2ппУг = — гог . После хК~Н Я~ подстановки имеем гм'~,„мл' 114.9) Рве 14.8 308 Момент инерции однородного прямого кругового цилиндра массой М и радиусом Я (см. рис.
14.8) относительно продольной оси симметрии Сг будет равен,7, = ~гойи. Плотность материала (М) Момент инерции цилиндра относительно оси Су определим согласно теореме Гюйгенса — Штейнера: У = )г ГУт+.У,, где 14/) я2 ГУт= ряб Ж= — 4/2; .У, = ) Йл —. Откуда Н ~ < 4 М иы М и/2 (Н2 Яг') ,У = — )2 4У2+ — /1 (ГУг=М~ — + — ~. Г 2 г Н -й„2 4Н -и/2 12 4 Момент инерции для полого цилиндра с внешним Я и внутренним Я, радиусами относительно оси Сг представим как разность моментов инерции сплошных цилиндров радиусами Я и Я4 .
С учетом формулы (14.9) будем иметь ~2 р2 Г =,У .У М()2) М(/2,) О кр (у(4 р4 ) яН(~2 р2 )(112 д42 ) М(я2 р2) 2 2 2 где ркН)Я вЂ” Яс /= М вЂ” масса полого цилиндра; р — плотность г 21 его материала. Момент инерции однородного шара, масса которого М и радиус А (рис. 14.9), относительно любой оси одинаков в силу его симметрии, т. е. .У. = УГ = /= = Уо. 2 Полярный момент инерции У4 = уг ГУО), ГМ) где 4(т — элементарная масса полой сферы с радиусами г и г+4(г, Йт = =р4кг~4/г; р = М(~' = ЗМУ(4)ГЯ~). х ЗМ 2 Итак, 4/и) = — г й, откуда Рж.
14.9 309 У = — )'г Ыг= — МК . ЗМ ° 4 3» 11' о Следовательно, У =1 =,У = — МИ . 2 5 Для полого шара с внешним Я и внутренним Яе радиусами имеем ° 1', = А, -А, = — РЖк~Р' — у~я,»~1о /= 2 4 /»»1 2 Я вЂ” Яс =- — р(л -Я,)=-м 5 3 5 Я» — Я' где М= — крф -Я,)-массапологошара. 4 /» »1 3 Для тонкой сферической оболочки предельным переходом получаем 14,5. Моменты ицерцни однородных тел вращения Воспользуемся цилиндрической системой координат (рис.14.10).
Сечение тела вращения плоскостью, проходящей через ось вращения Оя, ограничено кривой Ь, уравнение которой на участках АА'А, и АА'А, соответственно =х()' =л() Момент инерции тела массой М относительно оси вращения Ог У, = )г о»п=р )г ИК. <м» <и» Подставив выражение для элементарного объема тела вращения в виде НР = гсЫфс1я, получим йр г Ыг Ряс. 14.10 Объем тела вращения 2к ч ч *а г = )се= ~йр)пя)гй =кф (г)-,1, (х)]ля. (г) о и Окончательно находим Ь()-л'()] ° Мч 1 $ ()-Х'(х)]( ь Из условия симметрии ]х'йл = ) у'йп = — )(х + у )())т = (м) (м) (м) (14.10) 1 = — У„следовательно, )(у +х )йп= )(х +х )Йп= (м) (м) г г = )х йл+ —.г„ (м) (14.11) где ")х Йт = — )х~~~~~(х)-~~~(г)]Их. (14,12) (и) зп Для определения момента инерции однородного прямого кругового конуса массой М относительно оси Оз (рис.
14.11) запишем уравнения прямых, ограничивающих тело вращения (треугольник ОАВ): г, = О, гт = гт(д)= 1 — —, д> = О, гт = Н. Для формулы (14.10) имеем: интеграл в числителе Я~~1 — ! Ж= —, в знао г г( менателе — а!Я ~1 — — ) г>>я= о т Н = Я вЂ” = — (объем конуса 3 и пК~Н Г = ). Окончательно 3 получаем = 0,3Млт. Рнс.
14.11 Замечание. Момент инерции конуса относительно оси Ог можно вычислить н другим способом. Согласно (рис. 14.12),,/, = )г~л>>п. Элементарная масса Вп гм> пусть будет равна массе полого цилиндра высотой»,т. е. Вп=2пг»рй . Из подобия треугольников ЕЬВ и ОАВ имеем Ь В-г Н вЂ” = —. Тогда йт=2пр — (В-г)т>г, а Н Р Я лу З, = 2прН 11 ! — — ~г Вг = В! (Ва Ва а> = 2прН~ — — — ~ = 0,1прНЯ~ (4 5~ или > О 3МВ> где М = рпл'Н/3 — масса конуса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
