Termeh (523129), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Для любого момента времени при 1«") = О окончательно имеем х<. = Х<.о, х<. = Х<.а! + Х<.о . Если хг = О, т. е. проекция скорости центра масс на ось Ох в начальный момент времени равна нулю, то х, =О, х<, = хе о в любой момент времени. Замечание.
Воспользуемся условием (15.23) н, согласно (! 4.2), запишем для Ф л текУшего н начального моментоввРеменн Мх< ="! тдхд, Мхге =Ч! тдхм. д ! Вычитая нз первого уравненна второе, получим и и ~Ч~~тд(хд -хде) = ~~~тдахд = О. д=! д=! Из уравненна следует, что перемещение <<-й точки Лх = хд -х вдоль осн Ох существует прн Яо~ = О н отсутствии перемещения вдоль этой осн центра масс.
Притер 15.1. Тело ! массой т, имеет паз, в котором движется матернальнаяточка2 массой тз, х'.ОАВ = а, ОА =! (рнс. 15.3, а). Определить силу, с которой тело ! действует на плоскость, н скорость тела ! в момент, когда точка 2 достнгнет конца паза (точкн А), если в начальный момент система покоилась, а точка 2 находилась в верхней точке паза.
Трением пренебречь. Решение Внешними для рассматриваемой системы являются силы тяжести Р, = т!я, Рз = тзя н нормальнал реакция !д< . Воспользуемся теоремой о движении центра масс системы н запишем уравнение и Маг =ч„р<"!. д ! В проекции на ось Оу имеем М У<' х!' д=! 338 где ~ ф~ = Д!„+(еЯ) +(вЯ)„= !У-(в, +егг)5. и второго уравнения (15.!9) и М уг = 5~~~ е„уг получаем ьм и ~~ вгУг = Ф -(е, + лгг)5, гм С учетом где у„= аг — проекции абсолютных ускорений тела и точки на ось Оу. ~Ю а Рис. 15З Пусть абсолютное ускорение тела 1 равно а .
Точка 3 совершает сложное движение — относительное по пазу с относительным ускорением а„и переносное вместе с телом 1 (а, = а ). Абсолютное ускорение точки 2 а = а, + а„= = а„+ а . Уравнение для определения нормальной реакции М будет иметь вид У =в,а +вг(а +а )+(в,+ег)з =его, +(в, +ег)к = =(в, +ег)й-вгхвпа, где а =0; а =-гг„гяпа=-хз!пп, Составим уравнение движения центра масс в проекции на ось Ох, а также уравнение движения точки 3 в проекции на ось О з (рнс. 15.3, б): лгх< в,а„+ег(а +а,)=О, илн (е,+лгг)х-вгггсоза=О; в (а +а,) иггйз!па, з -хсоза = йа!па, где а„=х; а =-зсоза; а, =-а„сова -хсоза 23' 339 Определив е, вез в и в!и а 3 — 4 — сопя!, е,+е з!л а получаем выражение для вычисления нормальной реакции У: з е~™з )т' = (е, + ез)л-езвв(па =(е, +ез)л-езлв(п а е,+езв!л а (+ )а е, +езв(п а 3 Сила, с которой тело ! действует на плоскость, равна по модулю Ф и противоположна ей по направлению.
Для нахождения скорости тела ! в момент, когда точка 2 достигнет конца паза, запишем уравнение е сова .. 3. е, +явз После интегрирования получаем ез сова . .т = в+С, % + ез х=з=О, х=з=О) находим Из начальных условиЯ задачи (при ! =О С, =О. После интегрирования уравнения ЙЙ в= — =А лв имеем з /2= Аз+С, где С, =О, При з = ! получаем следующие выражения для проекции скорости тела ! на ось Ох: езсова г— т„=х= 42А! =езсова е1+ ез т =О. У Пример !5.2. На гладкой плоскости находится плита ! массой е,, на которой закреплен механюм, состоящий ю трех стержней (рис.
)5.4). Стержни 2, 3, имеющие одинаковую массу е и длину ! отклонены от вертикали на угол а . Масса стержня 4 равна е . Определить перемещение плиты (, когда стержни 2 и 3 займут нижнее вертикальное положение, если в начальный момент система тел покоилась. 340 Рис. И.4 Решение, Внешние для данной системы тел силы тяжести плиты Р, = тэд н стержней Р = тя, Р, = мэл и реакция гладкой плоскости Ф перпенднкуляри ны оси Ох и э Р; = О. Поэтому, согласно теореме о движении центра масс ч н) э=э (см.
первое уравнение (15.19)), имеем Мх- = О, где М вЂ” масса всей механической системы. Так как проекция начальной скорости центра масс системы т,,> равна нулю, то справедливо выражение (15.24), в котором в данном случае эьхэ — перемещения центров масс плиты и стержней вдоль оси Ох (/с = 1,...,4). Уравнение (15.24) будет иметь внд мэдхэ + м хэ + м хэ + м4дх4 Здесь Ахэ — перемещение плиты, ох -Ах4 перемещены вдоль оси Ох центров масс стержней, равные соответственно Ахэ =Ьхэ+-з!ла =дхэ; Лх =Ьх +(з(па. 2 Полсталив зти выражения в основное уравнение и разрешив его относительно сх,, получим (т+ м,)Пйп а э мэ+2т+тэ Знак минус означает, что плита 1 перемесппся влево. 341 15.4.
Теорема об изменении количества движении Количество движения точки и мехинической сиснммы Количество движения механической системы — одна из мер' движения системы. Количеством движения материальной точки М называют вектор, равный произведению массы т точки на ее скорость Р (рнс. 15.5): Рне. 15Я Проекции количества движения точки на оси прямоугольной декартовой системы координат будут соответственно о, = ту, = тх; Ч = ту = ту; о, = т31, = ни . Количеством движения механической системы называют вектор Д, равный геометрической сумме количеств движения точек системы: и н й =Х~1 =отлил ьи л-1 Вектор Д называют также главным вектором количеств движения точек материальной системы.
Вообще говоря, Д не имеет точки приложения и является свободным вектором. 342 Проекции вектора количества движения Д на оси прямоугольной декартовой системы координат равны Д, =~тк»„„=,1„т х„; Д =~т4»~ =,1 тьу„; Ь.1 1с 1 4.! 1с 1 и 1» Д = 1~~т1»~ = ~т424 1с 1 Ь-1 Единица измерения количества движения в СИ килограмм-метр в секунду (кг м/с ) . С учетом (15.1б) выражение (15.25) принимает вид Д=М» (рис.
15.6), М»с Рис. 15.б Проекции вектора количества движения системы на оси прямоугольной декартовой системы координат будут соответственно равны 1 кг и/с = 1 Н с. 343 О. =М"с ™с О» ™с ™ус' 0~ Если механическая система состоит из твердых тел, то аХаХ ! 3 где М,, Рс — масса и скорость центра масс ьго тела.
Векторы количеств движения а тел можно приложить в центрах масс зтнх тел. Элементарный и полный импульсы силы Элементарным импульсом силы 7, действующей в течение времени й, называют вектор 4Б(Г)=ГЖ. Проекции элементарного импульса Ж на оси прямоугольной декартовой системы координат равны оБ„=Р,й; Ж» =р»вк; аБ, =Р,оа. Полным имлульсом силы 7, действующей на материальную точку в течение времени ~, называют вектор 2~7) = ~'р й. о Проекции полного импульса силы Г на оси прямоугольной декартовой системы координат выражаются формулами ю,(р)= ~р„й; я,Ф)=~р,й; я,~р)= ~р,ж. Единица измерения импульса сипы — ньютон-сысунда (Н с ).
Теорема об изменении количества движении материальной пючки Запишем дифференциальное уравнение движения материальной точки Мв виде 344 ир т — =Р ац или, так как масса точки постоянна, Н(тр) сну (15.26) сй с(г Уравнение (15.26) выражает теорему об изменении количества движения для точки в дифференциальной форме: первая производная по времени от вектора количества движения точки равна равнодействующей активных сил и реакций связей, действующих на материальную точку.
В проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат имеем ~й)„~(цу сну ~й "',(г х',й Согласно уравнению (15.26), И(тй) =НО =Ргй. (15.27) Таким образом, дифференциал количества движения точки равен элементарному импульсу равнодействующей силы, действующей на точку.
В проекциях на осн координат получаем сЩ„= Р„сй; йу =Р й; йу. =Р,сй. Проинтегрируем дифференциальное уравнение (15.27) в пределах от О до и ~а(тй) = )РаЦ. Тогда тй — тйь = Я(Р), (15.28) где Р, Р— абсолютная скорость точки в текущий и начальный моменты времени соответственно (рис. 15.7); о(Р) — полный импульс равнодействующей силы за время а Уравнение (15.28) выражает теорему об изменении количества движения точки в интегральной форме: изменение количества движения точки за промежуток времени от О до г равно пол- 345 ному импульсу равнодействующей сичы, действующей на точлу, за тот же промежуток времени.
Рнс. 15л В проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат получаем т(»„— »о,) =о',; т(»„— »ву) =Я.; т(». — » .) = Я . Теорема об итменении количества двинееннн механической системы Запишем теорему о движении центра масс механической системы в виде М вЂ” =Я", а<»с — <д <й откуда получим а'(М», ) сф — <,> с(1 <(т 346 Окончательно имеем т. е. первые производные по времени от проекций количества движения механической системы на оси координат равны сумме проекций внешних сил, действующих на точки системы, на эти же оси координат.
Из уравнения (! 5.29) получим еще одну дифференциальную форму теоремы щ ='"у"Р„") й=''у'аз(Р(')). (15.31) А=! ь=! Таким образом, дифференциал количества движения механической системы равен сумме элементорных импульсов внешних сил, действующих на материальные точки системы. В проекциях на оси координат имеем и и и (д„=~ р„"'й, (д„=ч р„',(')(г, (0 =),р,(") й. ь=! к ! )-! Проинтегрируем (15.31) по времени в пределах от 0 до ( и поменяем местами операции интегрирования и суммирования: оц !и и! и ~ыд=~, Р,"а=, Я("а(=', з„'(), о„о (=! к-! о е-! и 0-0ь =.~,~~и"'.
ви (15.32) 0 ~р(о д(о (15.29) й Уравнение (15.29) выражает теорему об изменении количества движения механической системы: первая производная по вре.пени от вектора количества двилсения механической системы равна главному вектору внеи(них сил, действующих на материальные точки э)пой системы. В проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат уравнение (15.29) имеет вид — рь(„'; — и = 2 Г~".'); — = 2 рчн(.'), (15.30) ()(( к=! " ое )и ' а'( )и зг' 347 и и Здесь Д =,«т»!!», Я, = ~т»Р»,> — соответственно количества »=! А=! движения механической системы в произвольный и начальный моменты времени; У»!"' — полный импульс внешней силы, действующей на к-ю материальную точку. Выражение (15.32) представляет собой математическую запись теоремы об изменении количества движения механической системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за время» равно векторной сумме полных импульсов внешних сил, действующих на точки механической системы за то же время.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
