Kolesnikov K.S. Sbornik zadach po teoreticheskoj mehanike (523125), страница 47
Текст из файла (страница 47)
8 твег-. возможны полоягения равновесия ф, = я!6 и ф, = бяlб В положении ф, равновесие устойчиво, В положении ф, неустойчиво. 18.15. Крыло самолета при испытаниях в аэродинамической трубе укрепляется с помощью специального упругого подвеса Нектар скорости потока воздуха имеет постояпную величину и направлен параллельно продольной ьг осп нормального сечения Я крыла. Предполагается, что движением кры- — ч в г ла в направлении потока можно пренебречь. Кроме того, движение кры- в ь ла считается плоским п аэродннамические силы приводятся в центре масс С к вертикальной силе Г = К задаче 1хд5. = йф и паре спл с моментом М = иф й н и — постоянные, зависящие от и; ф — угол поворота про» дальной осп сечении, отсчитываемый от направления потока в направлении действия пары), Масса крыла и, его момент ппер— ции относительно горизонтальной покере пгой осп, проходящей череа точку С, равен 1.
Найти условия устойчивости равновесия крыла, считая отклонения малымп, Коэффициенты жесткости элементов подвеса указанЫ на рпсукке. Ответ; О ~ б(а„а„— а„а„) ~ (а„+ аг,)', где, а„= (с, + с1)/и, а„(ас, — Ьс, — Ь)!т, а„= (ас, — Ьс,Ш, а,з = (и'с, + Ь'с, — и>/1. $ 2. Аспмптотическая устойчивость невозмущениых движений 18.16.
Па механическую систему с одной степенью свободы депствуют потенциальные силы н силы сопротивления, пропорциональные первой степени обобщенной скорости. Предполагая, что потенциальная энергия системы в положении равновесия имеет минимум, доказать аспмптотпческую устойчивость ее равновесия путем оценки общего решешгя системы уравнений возмущенного движенкя. Доказать также, что если к рассматриваемой системе приложить силы, явлиющпеся непрерывными функциями времени, то вынужденное движение системы будет асимптотическп устойчивым. 18.17. Математический маятник может колебаться в вертикальноп плоскости в некоторой среде.
При этом на тяжелую точку действует сила сопротивления й = -)гч, где )г = сопз() О,. ч скорость этой точки. Доказать аспмптотическую устойчивость равновеспя маятника в нижнем вертикальном положении путем последования 1в» гл ~в. ьстоичивость движвния свойств функции Ляпунова, в качестве которой припять полнуго механическую энергию маятника в возмущенном движении.
Малость начальных отклонений пе предполагается. 18.18. Физический маятник массы т с горизонтальной осью подвеса может колебаться в среде, создающей момент сопротивления М- — пеэ, где еэ — угловая скорость маятника, л=сопз1= ) О. Центр масс маятника расположен на расстоянии 7 от оси подвеса, момент инерции маятника относительно этой оси равен 1. В плоскости, перпендикулярной оси подвеса, к маятнику приложена пара сил с постоянным моментом е (Ь ( тф).
Найти положения равновесия маятника и исследовать устойчивость равновесий. Ь Ответ; возможны положениЯ Равновесии ерг = агсе1п— те1 Ь и ~р, = и — агсып —. В положении ~, равновесие асимптотиче- те( ' ски устойчиво, в положении ~9, — неустойчиво. 18Н9. Два тела 1 и 2, массы которых т, и т, соответственно, подвешеныпа двухпружинах, как показано на рисунке. Жесткости пружин е, и е,. К телу 1 присоединен демпфер 2, соэдаеощий силу сопротивленпя В = — )тт (р =сопз1)0, т— скорость тела 1). Проверить асипптотнческую устойчивость раве новесия системы, предполагая, чтс ее возмущенные движения могут происходить только в вертикальном направлении. 18.20.
Демпфер в системе задачи 18.19 созда! ет нслипейную силу сопротивления В= — 1(е)т/о (т — скорость тела 1, )(0) = 0). Найти условие устойчивости равновесия си- К задаче 18.19. степы путем исследования свойств функции Ляпунова, н качестве которой принять полную механическую энергию системы в возмущенном движении. Ответ: 1(и)lо)0 прп в~О. 18.21. На рисунке изображена схема, служащая в некоторых случаях для исследования малых свободных вертикальных колебаний передней и задней частей автомобиля, Масса М эквивалентна массе исследуемой подрессорепной части, тл — масса осн и двух колес, величины с, и )ь характеризуют упругие и демпфирующие свойства передней или задней подвески, пружина жест.кости е, имитирует упругре свойства шип. Предполагается, что демрфирующая сила пропорциональна относительной скорости перемещения тел с массами М и ел (коэффициент пропорциопальлости равен )г).
Исследовать устойчивость равновесия системы. Ответ: равновесие системы асимптотически устойчиво. 5 3. Асизгггтотичкская устОйчиВОсть дВижвнин 277 $8.22. Два однородных стержня массы из и длины 21 каждый подвешены как показано на рисунке. Бесткости спиральных пружин равны с, и сз. Прн нижнем вертикальном положении стержней пружины пе напряжены. К точке Р стержня АВ присоединен демпфер, создающий силу сопротивления ач = — рте, где и = сосзс > О, те — скорость точки Р.
К задаче 18,22. К задаче Ы.2С Доказать, что равновесие в нижнем вертикальном положении стержней будет аспмптотически устойчивым при л|обых начальных отклонениях независимо от расположения точки Р па стержне АВ. 18.23. В задаче 12.4 учесть трение качения на валу ротора, предполагая, что момент трения М = — иез, где ю — угловая скорость ротора, п сопз2 О. Принимая поочередно за невозмущенпые движения системы ее равновесия в положениях чр, и76 и ~рз=бя/6, составитьуравнения возмущенных движений. Исследовать устойчивость равновесий в этих положениях с помощью функции Ляпунова,.
представляющей собой полную механическую энергию системы в возмущенном движении. Л Ю Ответ: равновесие при ер асимптотически устойчи- в Б 1 во, при у = ~эз неустойчиво. 18.24. На рисунке изображе- е, 2 е 8 на схема, слун1ащая для иссле- лт дования малых свободных коле- ч баний наземных экипажей (ав- г~ томобиль, трактор, железнодорожный вагон) в вертикальной К задаче И,24. ГЛ !8 УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ 278 продольной плоскости. К телу 1 массы М присоединены пружины 8, 8 и демпферы 4, б. В положенни равновесия тело 1 располагается так, что его продольная ось АВ горизонтальна. В возмущенном движении демпферы создают силы вязкого трения В, — )«1уа и В„-р»та, где т» и та — скорости точек 1) и Е, р, и р, — положите:гьные постоянные.
Момент пнорцяп 'гела относительно горизонтальной поперечной оси, проходящей через его центр масс С, равен 1. Исследовать устойчивость равновесия системы. Ответ: равновесие системы асимптотически устойчиво. 18.25. Исследовать устойчивость равновесия стойки расточного станка, описанной в задаче $2.24, приняв в качестве функции Ляпунова полную механпческу8о энергию системы в Возмущенном движении. Ответ: равновеспе асимйтотическп устойчиво «в малом» при с, )тдй $8.26.
Однородный стержень 1 массы т положен на два цилиндрических шкива, имеющих одинаковые радиусы. Шкивы вращаются в противоположных направлениях вокруг параллельных горпзоптальпых осей, пх центры О, и Р» находятся на горизонтальной прямой. Коэффициент трения сколыкеппя между стержнем н шкивами /*. Стержень соединен горизонтальной пружиной 8, козффицпент жесткости которой с, с ползуном 2 массы тм К ««даче (8.28.
находящимся на гладкой горизонтальной плоскости. 11рн движении ползуна 2 демпфер 4 создает нелинейную силу сопротнвлеппя В = — /(п»)е, где 㻠— скорость ползука, е т»/и, — единичный вектор, )(0) =О, )(щ)/е,~ О при щчьО. В положении равновесия системы центр масс стержни С находится на середине расстояния О,О„а пружина не деформирована. Исследовать устойчивость равновесия системы. Ответ: равновесие системы аснмптотнчески устойчиво.
«8.27. Стержень 1 массы «л„положенный на шкивы, описанные в задаче И.26, соединен демпфером 4 с ползуном 8 массы т„находящимся на гладкой горизонтальной плоскостп. Ползун прикреплен пружиной 8, ось которой горнзонтальна, к неподвижной опоре. Демпфер создает силу сопротивления К= — рт„ $ 3 Асимтпотичкская а стойчквость движении 279 где р = совз1.а О, т, — скорость стернпгя 1 по отношению к ползуну 2.
Сила упругости г' пружины а определяется нелипеипой зависимостью г'„ = 1(х), где Р„ — проекция силы Р па ось х, а х— координата ползуиа, отсчитываемая от положения, в котором пружина пе деформирована; 1(О) = О, при хт'-О 1(х)/х) О. В положении равновесия системы центр тяжести стержни С пакодитси на середине расстояния 0,0м а пружипа не деформирована.
Исследовать устойчивость равновесия системы, Ответ: равновесие системы асимптотическн устойчиво при пуф)~ и а(а ((х) ~ — 'х и устончнво при 1(х)— К задаче 18.27. $8.28. Па рисунке изображена схема форсункн двигателя Дизеля. Игла 1 массы т, подвешеппан на пружине 2 жесткости с, в состоянии равновесия находится в крайпем пия'нем положении и перекрывает отверстие у, ведущее к цилиндру. Камера 4 при этом заполнена топливом. При подаче насосом дополнительного количества топлива через отверстие 5 давление в камере увеличивается, игла поцнммается вверх п происходит подача 2 топлива в цилиндр. Давление в камере 1 падает и игла снова перекрывает отверстне 3. За иевозмущепное движение системы л! принимается состояние, при котором за 4 один цикл подачи среднее отклонение иглы от -ее равновесного положения имеет некоторое определенное значение хь а среднее давление в камере — значение р,. Прп наличии возмущений возникают отклоне- К задача 18.28.
пня х и р соответствующах параметров от величин х, и р,. Уравнение возмущенного движения иглы имеет вид тх+ пх + сх = рЯ, где и = совет ) О, Ю вЂ” площадь сечения А — А. гл 1В устОйчиВОсть даиягкния 280 Уравнение, описывающее процесс изменения давления р, в простейшем случае мсжно представить так: — = — — (Ьх+ дх) вр е вг где  — модуль объемного сжатия топлива, т — объем камеры, Ь и Ь вЂ” положительные постоянные, положительное направление отсчета х — вверх. Исследовать устойчивость иезоамуще~ного движения системы. Ответ: при п(ст+ ЫЕ) > т)гБЕ невозмущенное движенио асимптотически устойчиво. 18.29.
Записать уравнения возмущенного движения системы, описанной в задаче 18.28, в нормальной форме, вводя обозначения х= у, у = г. Построить функцию Ляпунова, производная которой по времени в силу системы уравнений в нормальной форме имеет вид Р = — —., (АВх'+ 2тАхг + тлгг)г ьяе ауд где А =- —, В =- с + — ' Получить условия устойчивости невозмущепного движения системы из задачи 18.28 путем анализа свойств функций )т н Р. Ответ: У=- — ~~ — х+ — у +г) + —, х + — у + г ~. г (/В и '1г Аа г В г г! в ) г аг 18.30. В уточпешгой модели системы из задачи 18.28 процесс изменения величины давления р описывается уравнением ер — = — 1 (х) — Ьх, где Ь= сове(>О, 1(х) — некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая условиям 1(0) = О, 1(х)/х > О при х т- О.
Найти условие устойчивости невозмущепного движения системы путем построения функции Ляпунова, модифицирующей функцию Р' из задачи 18.29. Ответ: п(с+ ЬЯ) > тЯ)(х)lх 2 ~ (хФО). е 18,31. Найти условие устойчиво- сти вертикального положения равно- 2 " весна оси ротора з задаче 12АЗ. х ' Ответ: Сгогг Р-2тд((А+тр). К гаЛаче 18.32. 18.32. Тело '1 ггоясет совершать крутнльные колебания па упругом валу 2. Для гашения этих колебаний применен гироскоп, подвеигениый на теле с помощью рамки д, которая крепится к телу стержнями 4 и б. Кроме того, рамка соединена с телом пружиной 6 и демвфером у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
