Kolesnikov K.S. Sbornik zadach po teoreticheskoj mehanike (523125), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Гироскоп вращается относительно рам- Я З АСИМПТОТИЧКСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖКНПП 281 кн с постоянной угловой скоростью «>. При колебаниях тела вокруг осн О,У рамка с гироскопом колеблется относительно тела, прп этом демпфер гасит те и другие колебании. Момент инерции тела относительно оси Ооу равен /,. Центр масс, ротора гироскопа О расположен на оси О,р.
Оси Ол, Оу, О- являются главнымп центральными осями инерции ротора, его полярный и экваториальный моменты инерции равны С и Л со- ответственно. В равновесном состоянии вал 2 не закручен, пружина 6 нс деформирована. Жесткость вала на кручение равна с. Момент, развиваемый пружиной при отклонении рамки от равновесного колон<ения, М„, й~а), где а. — угол поворота рамки вокруг осн Ол, й = сопз1 ) О. Момент силы сопротивления демпфера М„ = = и!сс! (и =сонэ(~0). Доказать, что невозмущенпое состояние системы асимптотк- чески устойчиво по первому приближению. Массой рамки пре- небречь. 18.33. С помощью теорем о влиянии структуры снл на устой- чивость движения (см.
сноску на стр. 268) доказать, что верти- кальноо полокгение центрифуги в задаче 12.44 являетсн асимпто- тнчески устойчивым при 8са*~ ЗМяй 18.34. Тяжелая однородная сфера радиуса г, погружеипая наполовину в покоящуюся жидкость, совершает постуиательпое прямолинейное равномерное движение в горизонтальном направ- лении. Сила тяжести сферы уравновешена при этом выталкиваю- щей силой жидкости.
Поверхность жидкости плоская, В некоторый момент времени на сферу действуют в верти- кальном направлении мгновенные возмущающие силы, такие, что отклонение ее центра от поверхности жидкости по вертикали не превосходит г, а возмущенное движение является поступатель- ным. Сила сопротивления жидкости й= — /(г)У/и, где У вЂ” ско- рость сферы, /(О) = О, /(и)/и) 0 при о ~ О. Доказать асимптотическую устойчивость невозмущенного дан- >кения сферы. 18.35. Тяжелая однородная сфера, погруженная в покоящую- ся жидкость, совершает поступательное равномерное прямолиней- ное движение, при котором центр сферы остается в одной гори- зонтальной плоскости.
Доказать асимптотическую устойчивость этого движения, пред- полагая, что любое возмущенное движение сферы может быть только вращением вокруг ее центра. Момент свл сопротивления жидкости относительно центра сферы при этом М вЂ” /(е>)е>/в, где е> — мгновенная угловая скорость.,сферы, /(О) =О, /(е>)/о> ~0 при «>э~0, 18.36.
При отклонении корабля от заданного поступательного прямолинейного движения рулевой отклоняет руль Л)> на неко- торый угол )) с целью устранения возникающих возмущений. гл. !8 устойчивость дВижения 282 В первом приблин1ении можно припять, что р = — )елО (й = сопя() и что возмущенное движение Судна описывается следующей системой дифференциальных уравнении: вЛы ВЛ — + о Ла+ аз — = а.() ю еь — + Ь, — + Ь Ла = Ьз(), РЛ8 ЕЛЕ где Ла и Лр — отклонения углов а и О, а„а„а„Ь„Ь,, Ь, — некоторые постоянные. Найти условие, которому должен удовлетворять коэффициент й, чтобы поступательное прямолинейное движение корабля было асимптотически устойчивым.
ь,ь,+в,ь, 18.87. При изучении движения самолета в вертикальной плоскости в качестве певозмущенного движения иногда принимается поступательное движение ~о прямой, составляющей с горизонтом К задаче И.37. К задаче 18.36. некоторый угол 6. Положение продольной оси самолета определяется углом О ее наклона к горизонту. При некоторых дополнительных упрощающих предположениях уравнения возмущенного движения самолета имеют вид — + а,(ЛΠ— ЛО)+а,л6 = О, еле — '",~ +Ь,—",," +Ь,(ЛО+ЛЕ) =- Ь„ЛО, где Л9 и ЛΠ— отклонения указанных углов, а„а„Ь„Ь„Ь,— постоянные. Нанти условия асимптотической устойчивости невозмущенного движения самолета в етом простейшем случае. Ответ: а+ Ь,>0, а Ь,+аЬ,>0, (а+Ь)(иЬ,+Ь,+Ь ) >аь,+ +аь„где о= а, — ае З 2 ЛСИ22ПТОТИЧВСКЛЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИ2КЗНИИ 283 1838.
На рисуяко изображена схема движения корабля, совершающего циркуляцию. Центр тянсести корабля С описывает при этом окружность в горизонтальной плоскости со скоростью у, а корпус корабля поворачивается вокруг вертикальной ося с угловой скоростью ю. В некоторый момент времени величины О, ю и ес получают. малые отклонения. Липеарпзованные уравнения возникшего возмущенного движения могут быть приведепы к виду э 2СЛУ вЂ” = ассЛО+ а22Лсо+ а,сЛИ, алм а21ЛО + а22Лсо + а22Ла~ (~) еЛи — =- азсЛО + а„Лю+ а22Лсс, К задаче СВ.З8. где Лг, Лес, Ла — отклонения в произвольнып момент времесш, а„П = 1, 2, 3; ) = 1, 2, 3) — некоторые постоянные Написать матричное уравнение для функции Ляпунова )'„ производная которой по времепи в силу системы (е) имеет вид )т = — (с,(Ли)*+ с,(Лсо?2+ с2(Ла)2) (е„с„с2 — положительные постоянные).
Х= Л22, В-. Ответ: фУнкпии )' имеет Виц 22 .= х Вх, тле — 1Ьч1 (Ь„ = сопзц т — знак трапспонпрования), + ВА = С, где А = )а„!1, С = 1С„И (се = О прн счь), 1, 2, 3). причем А'В + с„=-с,; (,1. Глава 19 ЭЛЕКТРОМЕХАНИКА В настоящей главе рассматриваются механические системы, движение которых в существенной мере определяется силами электромагнитной природы. Сила, действующая на заряженную материальную точку, движущуюся в электромагнитном поле, зависит от заряда д, скорости у точки, напряженности Е электрического и индукции В магнитного полей.
При полонсительном заряде Р 22(Е+ у Х В). Если поле создается точечным зарядом с'.), то его напряженность В определяется законом Кулона С (2 Е =- —— 4ае Гл !9 электгомвххникА 284 где е — диэлектрическая проницаемость среды (для вакуума е = е, =8,85 10 " Кл/(Н м'), для воэдуха е = е„).
Электрические поля точечных зарядов являютси сферически симметричными й удовлетворяют принципу суперпозиции: напряженность поля, создаваемого несколькими зарядами, равна геометрической сумме напряженностей, соэдаваемых каждым зарядом в отдельности. Электрическое поле между двумя заряженными параллельныии пластинами является однородным, т. е. неприязненность в любой точке между пластинамн равна Е= НЯ, где У вЂ” равность потенциалов, Ы вЂ” расстояние между пластипамн. Основными элементами электромеханнческих систем являются проводпики с током, движущиеся в электромагнитном пола. Сила, действующая на проводник с током )' в магнитном поле, определяется эаконом Ампера.
При равномерном поле (В = сопэ0 и = (1 Х В)(. Направление силы Г определяется по правилу левой руки. Ток Х, протекающий в проводнике, в свою очередь зависит от депп и определяется вторым законом Кирхгофа: алгебраическая сумма всех ЭДС контура равна сумме падений напряжений на всех сопротивлениях цепи. Для цепи, содержащей индуктивность 1, активное сопротивление Л н емкость С, закон Кирхгефа имеет дифференциальную форму Ь вЂ” „, + Я1+ —, ~ 1 Ф = Ь"м П В системах магнитоэлектрического типа в последнем уравнении важную роль играет ЭДС индукции. В частном случае, когда проводник длины ( перемещается в равномерном магпигпом поле перпендикулярно вектору индукции В, наведенная ЭДС индукции определяется по формуле Я,„„= ВЬ.
Направление наведенной ЭДС онределяется по правилу правой руки. й 1. Динамика материальной точки в электромагнитном поле 19.1. Латунная ькшета, двигаясь по вертикали под действием силы тяжести, пролетает мен'ду полюсами электромагнита счетного устройства. Скорости монеты при входе в устройство и при выходе пз него оказываются одинаковыми. я ь динамика точки в элвктгомьгнитном полн 233 Насколько изменится температура монеты, если удельная теплоемкость латуни с = 390 ДнО(кг К), а ширина полюсов 6 =4 см.
Ответ: М Ю'К, (9.2. Материальная точна М массы т, имеющая заряд (), может двигаться в горизонтальной плоскости по прямой, соединяющей два закрепленных точечных заряда одинаковой величины (), Все заряды имеют одинаковые знаки, расстояние между зарядами О равно 2а. В начальный момент времени точке М, находившейся посередине между зарядами, сообщили скорость ць Пренебрегая трепнем, определить максималыоое отнлоненпе х точки от начального положения (диэлектрическая пропицае- 1 мость воздуха е = е.). а Ответ:,т„„„= 0~ "о о К задаче х9.2.
К задаче х92., (9.3. Материальная точка массы лз, имезяцая заряд а, может двигаться в горизонтальной плоскости по гладкой хрубке, которая перпендикулярна прямой, соединяющей два закрепленных точечных ааряда одинаковой величины (/. Расстояния между трубкой и зарндами равны а, знак заряда точки противоположен знаку зарядов (). В начальный моогент времени точка имела отклонение от прямой, соединякяцей заряды, х, а13 и нрчала двигаться без печальной скорости. Определить максимальное вначение скорости г „ точки при ее колебаниях (диэлектрическая проницаемость воздуха в ое е,). Ответ: Ртах "(х=о т' 2лз еоо т/ ~'~ ~ о 19.4.
Математический маятник помещен в однородное электростатическое поле, вектор Е напряженности которого направлен вертикально вверх. Длина маятника равна (, масса и, величина положительного электрического заряда груза д. Определить частоту юо малых колебаний маятника, если Е9 ( пол, /1г нд) Ответ; ю = у — ~в — — ). ) т 286 Гл. 19 элкктвомвхлникл ~9.5. Электростатический фильтр смонтирован в вертикальной трубе прнмоугольпого поперечного сечении.
Длина пластин фильтра равна!, расстояние и разность потенциалов меясду пластинами равны соответственно г( и О,. По трубе с постоянной скоростьго и движется ламннарный поток воздуха, содержащий пылевые частицы одинаковой массы т и заряда и. Сила сопротивления двингению частиц в воздухе й = — )гк, ()г = сопев, а' ч„— относительная скорость частицы). По всей длине фильтра вертикальные составляющие скорости частиц постоянны и име- 1 11А1 х ют установившиеся значении иг =- и,2, Уоу )~11!1( горизонтальные составляющие скорости и прв входе в фильтр равны нулю.
Полагая, что концентрация частиц в 11 задаче 19.5. потоке невелика н поэтому взаимодействием их друг с другом можно пренебречь, определить, прп каком напряжении О, все частицы будут достигать стенок фильтра, если и= Уй'1. Жиаанве. уетаповпвгоаяся скорость Ф" частпды определяется пв условия Ответ: К, ~ ~(,325 ыво' 91 (9.6. Измерительный ыеханизм статического вольтметра представляет собой плоский воздушный конденсатор, одна пз пластин которого неподвижна, а другая имеет упругий поднес. При подаче напряжения подвиягная пластина поворачивается вокруг горизонтальной оси О и приводит в движение стрелку индикатора. Длина каждой пластины равна 1, ширина Ь, масса пг, расстояние между пластинами г( (при О 0), коэффициент угловой жесткости упругого подвеса с. Определить, на какой угол и повернется подпижная пластина измерительного механизма вольтметра прв подаче напряжения О (днэлектрическая проницаемость воздуха е = в,).
Укааенне. Полагая угол поворота и подвижной пластвпы малым (п1 ~ .П И), учесть в выражениях моментов волячвкы до второго порядка малости отпоовтельпо а1/и'. в 951 г 1'19 о.* к+ О,5нгз1 Г В1 ' У9.7. Материальная точка массы т, имеющая электрический заряд и, пролетает между полюсамгт магнпта, создающего постоянное однородное поле; вектор скорости точки в момент входа в магнитное поле расположен в горизонтальной плоскости и равен чп вектор магнитной индукции поля В направлен по вертикали. 9 ь динамика точки В элкктгомагнитком полз ВУ Определить угол а поворота горизонтальной проекции вектора скорости а т от первоначального направления, если ширина полюсов магнита равна Е 1дн Ответ: и = агсзш 19.8. Материальная точка массы лз, имеющая электрический заряд д, начинает двигаться из состояния покоя под действием силы тяжести в однородном магнитном поле.
Вектор В магнитной индукции поля направлен по горизонтали и постоянен. Пренебрегая сопротивлением среды, найти траекторию.точки. Ответ: циклоида л= — (1 — созлг), у== — з(лг — з(пя(), где )е = — В, ось'ОХ направлена вертикально вниз, ОУ.~-В. в 19.9. В плазменных установках нагретый до высокой температуры ионизованный газ изолируют от стенок реактора с помощью магнитного поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
