Kolesnikov K.S. Sbornik zadach po teoreticheskoj mehanike (523125), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Введение в теорию устоичивости двкжоявк.— Мз Наука, $971; 2-е иод., 1976. Куаьиии Н. А. Малые колебания и устойчивость двюкевия.— Мз Науги, $973. Н о т а е в Н. Г Устойчивость дважеиия. Работы по авалвтвчоокой нсхавико.— Ы . Над-во АН СССР, 1962. 269 ГЛ 11 УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ системы (4). Н случае, когда в качестве певозмущенного движения взято состояние равновесия, и принято, что в положении равновесии все й. = О, уравнения возмущенного движения совпадают с исходными уравнениями движения системы. Устойчивость состояния равновесия консервативной системы зшжно исследовать без составления уравнений движения. Для етого достаточно записать выражение для потенциальной зыергии системы в возмущенном движении и потребовать выполнения условий ее минимума в исследуемом полон<енин равновесии (критерий Лагранжа).
Неустойчивость устанавливается с помощью теорем Четаева (см. библиографические ссылки на стр. 268). Если уравпешзя Возмчщенного движения являются линейными с постоянными коэффициентами, т. е. имеют вид — „; = а„х1 + ... + а,„х„(а,1 — — сове(, ( = 1, ..., и), (5) то об устоячквости невозмущейного дви1кепия можно судить по корпим характеристического уравнения системы (5), которое имеет впд 11 " "11 1п "$1 пп )1 а па аз1 Если действительные част11 всох корней характеристического уравнения отрицательны, то нулевое решение системы (5) устойчиво аснмптотически. Представив характеристическое уравнение в виде Л,р" +Л61" '+...+Л вЂ” 1)1+А = О, (6) составляют сле))ующууз мазркцу размерности пХп: 1А, А А ...
0 Н 0 А А .. 0 0 0 0 ... А„ Для того чтобы все корни уравнения (6) имели отрицательную вещественную часть, необходимо и достаточно, чтобы все миноры атой матрицы, расположенные по ее главной диагонали, были положительны (критерий Гурвица), т. е. чтобы выполнялись неравенства 1А А1) 61 — Л, =. О, Лз = (А' ~ > О,..., 1)е( Н > О. о 1 гл ~з гстоичнвость движкния 270 Если система (4) является нелинейной, то, полагая отклонепия х, малыми, в ней выделяют линейную часть.
Полученные таким образом линеаризованиые уравнения называют уравнениями первого приближения. По ннм можно в ряде случаев судить об устойчивости нулевого решения исходной нелинейной системы (4). Если по каким-либо соображениям последования одних лишь уравнений первого приближения недостаточно для сун денна об устойчивости системы, то применяется метод функций Ляпунова (см. источники, указанные в сноске на стр. 268).
Для мехапическпх систем, находящихся под действием только потенциальных и диссипативных сил, в качестве функции Ляпунова может быть принята полная механическая энергия в возмущенном движении н использовано известное соотношение л (т+ и) ш = — 2Л, где Й вЂ” дисснпативпая функция. Для получения условий асимптотической устойчивости при зпакопостоянной функции И$'/к( часто оказываотся полезной теорема Барбашяна и Красовского.
Если на систему, кроме потенциальных и диссипативных, дейсзвуют гироскопические силы, то для су."кденкя об ее устойчпвостя можно воспользоваться известными теоремами Томсона и Тэта (сч. книгу Д. Р. Меркина «Введение в теорию устойчивости двнженияэ), в $. Устойчивость равиовеспя механических систем 18Л. Составить дифференцт1альное уравнение малых свободпыт колебаний механической системы с одной степенью свободы около положения равновесия нод действием потенциальных свл прп отсутствии сопротивления. Предполагая, что потейциальпая энергия системы в положении равновесия пиеет минимум, доказать устойчивость ее равновесия путем непосредственной оценки общего решения системы уравнений возмущенного движения. 18,2. Математический маятник 1 вкбрографа соединен посредством кулисы 2 со стержнем л, который может вращаться ка оси О,.
Длина маятника 1о его масса ть длина стерлсня его масса т,; О,О. Ь. Установить условие устойчивости равновесия маятника в нижнем вертикальном положении. Массой ползуна пренебречь т (ь — 1) Ответ: — ' > —. и 2)~з 18.3. Для ослабления зависимости периода колебаний математического маятника от его амплитуды при больших ее звачсвивх можек бйть использовано пруншнпое устройство, показанное на рисунке. Когда маятник находится в нпкснем вертикальном положении, пружина сжата п ее деформация равна Х„ а ь гстоичивость гавновксии мкхвннчвскнх систвм К аа„чаче 18.3.
К аадаче 18,2. Установить устовие устойчивости равновесия маятиика в этом положении,' если его масса т, жесткость пружины с, ОА = ), ОС =Ь, ОВ= 25 Ответ: тра ) 2сХсй $8.4. Еруз с)с может двигаться в вертикальной плоскости по окружности радиуса В. С грузом соединена пружина жесткости с, противоположный конец которой укреплен в верхней точке окружности А. Длина яедеформированпой пружины сс.
Изитя все положения равновесия груза и исследовать устойчивость равновесий, если сс ( 2В, сила тяжести груза Р. Ответ: возможны положения равновесия срс =О и сре а = 1„ =- -+ 2 агссоз ( " (при с(е < 21с — Р(). В положении сс, 2 (сЯ вЂ” Р) равновесие устойчиво при с)с ) 2(с — Р), в положениях и с(, равновесия устойчивы при 2(сЛ вЂ” Р) )ссс и неустойчивы при 2(Р-сЯ) = с)с. (8.5.
Математический маятник длины 2 соединен цилиндрическим шарниром с вертикальным стержнем ОА, вращающимся о посгояшаой угловой скоростью се вокруг вертикальной оси, Ф „ т К аадаче 18.5. К аадаче 18.* гл. 1з. устойчивость движения Найти все положения равновесия маятника относительно системы отсчета, вращающейся вместе со стержнем ОА, и исследовать устойчивость равновесий. Отает: при 1в'<д возможны положения равновесия ту~ =О и и.
В положении у, равневесие устойчиво, з положении тро неустойчиво. Прп 11о ) д возможны положения равновесия <р1 = О, 1р, = я, 1р,л —— и'= агссоз —,. В положениях ср, и 1р, х 1оо РавновесиЯ пеУстойчивы, а в полонсеннЯх 1~, н 1Ро Устойчивы'. 18.6. Однородный тяжелый стержень 1 длины 1 соединен цилиндрическим шарниром с вертикальным стержнем 2, вращающимся с постоянной угловой скоростью ю вокруг вертикальной осн. Найти все полон1ення равновесия стержня относительно системы отсчета, враща1ощейся вместе со стержнем 2, н исследовать устойчивость равновесий.
Ответ: при 211о' ~ Зя возможны положения равновесия 1р, = О и 1р, - н. В положении 1р, равновесие устойчиво, в положении 1г, неустойчиво. При 211о' ~ Зй возмол1ны положения равновесия Зг 1Р, =- О, 1Ро = п, 1уол ~ агссоз —, В положениЯх Р, и 1Р, Равно- 2йо веспя неустойчивы, а в положениях 1р, и 1э, устойчивы. К задаче 18,6, К задаче 13.7. 18.7. Однородный стержень 1 массы ш, и длины 21 может вращаться в вертикальной плоскости вокруг 'цилиндрического п1арнира О, с которым он связан спиральной пружиной о я;есткости с. К противополоя1ному концу стержня с помощью пру'жины 8 подвешен груз 4 массы т,. Прн равновесии в верхнем вертикальном положении стержня груз находится на расстоянии 1 от его копцов.
Пружина 3 при этом не папрян'ена. Найти условие устойчивости равновесия системы в этом положении. Отает: с ) фт, + т,П. 8 1, устОйчиВОсть РАВнОВесия мехАничиских систем 273 18.8. Два одинаковых математических маятника массы т и длины 21 каждый связаны между собой н с неподвижными опорами тремя одинаковыми горизонтальными пружипамп. Прп вертикальном положении маятников пружины не напряжены. Определить, при каком значенип коэффициента жесткости с каждой пружины равновесие прн верхнем вертикальном положении маятников будет устойчивыап Ответ; с ) 2тяЛ. К задаче 18.8 К задаче 18.9 18.9. Математический маятник 1 маасы.т и длины 31 связа>г горизонтальной пру>кипой 2 с математическим маятником в' массы т и длины 28 Пружина пе напря>кена прк показанном на рисунке вертикальном полол>енин маятников.
Определить, при каком значении коэффициен- Ю та жесткости пружины с равновесие в этом положении будет устойчивым. Ответ: с'=.бай 18.10, Два. математических, маятника длины 1 А каждый несут на концах грузы с одинаковой массой т. Маятники соединены шарниром в точке А и удерживаются в верхнем вертикальном положении двумя одинаковыми спиральными пружинами. Определить, при каких значениях коэффициеп- 0 та жесткости каждой пруишны с равновесие системы в указанном положении будет устойчивым.
ц задаче 18.19. Ответ: с) (1+ У2)гней 18Л1. Однородный брус 1 массы т, удерживается в верыкальпом поло>кении равновесия пружиной 2 жесткости с. Стержень в' может вращаться вокруг точки О и удерживается в горизонтальном пеложепии пружпной 4. Па конце стержня иаходптся груз б массь> т,„ 18 пед ред. к с. кезееввзеве гл. !а. устОйчиВОСть ДВИЖЕнИК 274 Найти условие устойчивости ранновесия системы в указанном положении.'Массой стерлгня 3 пренебречь. Ответ: с ) (т, + тз)4 ° С К задача ГЕЛА.
К аадачз гЗА2. $8Л2. Два однородных стержня ОА и ОВ массы лз и длины 2з каждый, 'нестко соединенные между собой под прямым углом, удерживаются пружиной 1 жесткости с в положении равновесия, при котором стержень ОА горпзонтален. На правый конец стержня ОА через невесомый стерн ень 3 и пружину о опирается груз 4, который может перемещаться в вертикальных направляющих. Пайти условие устойчивости равновесия системы в указанном положении. Ответ: с ~ тф. 4 18ЛЗ. Два тела 1 п 2, поднепгенные на пружинах о п 4„могут перемещатьси только параллелыго вертикальпоп осп Ох. Характеристика пружины 8 являотся нелинейной, сила упругог сти ее определнется соотношением г,=)гх), где Г„ — проекция силы на ось Ох, х — координата груза 1, отсчитываемая от положения, в котором пружина не дефорнироВака.
Пружиня 4 имеет К г$ $3 линейнУю хаРактеРпстггкУ, жестьость этой НРУК задаче )843. жины е, Предполаган, что в положении равновесия 4114х) О, дбказать устойчивость равновесия системы. Уаазаяае, Исследовать свойства фуннияа Ляпупоаа, н качзстав которой принять полную механическую энергию снстзмн а ее возмущенном дааженнп. 48Л4. В задаче 12.4 найти положении равновесия системы .и исследовать устойчивость равновесий двумя способами: а) с з 3 Асимптоюгческья хстончйвость движглиыь 275 помощью критерия Лагранжа; б) с помощью прямого метода Ляп нова.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
