Kolesnikov K.S. Sbornik zadach po teoreticheskoj mehanike (523125), страница 45
Текст из файла (страница 45)
В начальный момент времени (г О) точка М совпадала е точкой А поверхпостп и имела скорость ч,. Определить скорость материальной точки М в тот момент времени, когда опа достигнет точкк 8 на цилппдрической поверхности, если гр = 45 . Ответ: о = 'г' гв+ аЛ(2 — ге 2)+ 0,5каиЛ. 17Л5. Модель крылатой ракеты, привязанная к концу троса, второй конец которого закреплен- неподвижно, дангкется так, что ее центр масс описывает окружггость в горизонтальной плоскости.
Масса модели умепьпгается'по закопу лг т, (1 — сг(), где гг соне()0, гп,— начальная масса модели. Относичельная скорость и истечения продуктов сгорания топлива постоянна по величине и направлена по касательной к траектории центра масс модели, 264 тл. <7. динам<<ил то'п<и пегеь<енноп массы Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить силу Т патян<ения троса в тот момент времени, когда масса модели станет вдвое меньше начальной. Длина троса (, начальная скорость модели равна ие. Ответ: Т = —,"(пв+ и!и2)з.
17.16. Используя условия задачи 17.15, найти уравнение е(О движения центра масс модели и определить, как изменится натяжение троса в момент време<ш, когда масса модели ракеты станет вдвое меньше начальной, осли уменьшение массы будет происходить по закону и = т,е "' (и = соиз<)0, п<е — начальная масса мололи ракеты). аи Ответ: в (г) =- (пи+ — г) г, натяжение троса не изменится. 17.17. Материальная точка М, масса которой уменьшается по закону т=т,е<ю (а=соиэ$)0, т,— начальная масса точки), скользит по гладкой горизоптальноп йй трубке, вращающейся вокруг вертикальной осп с постоянной угловой скоростью ы. Движение точки М начинается от оси вращения трубки из состоя- в ег,т в пня покоя, Относительная скорость п отделяющихся частиц постоянна и па- те< правлена к осн вращения трубки, Ыи Получить уравнение движения точки М относительно трубки, Ответ: х(1) =- — ", (сЬ <оэ — 1). 1718.
Репп<гь аадачу 17Л7, принимая во внимание шер<эховатость стенок трубки. Еоэффпциент трения сколь.кения ме«,ду точкой М и стеш<ой трубки ); влиянием силы тяжести гочки М на силу трения пренебречь, аи е-и< Ответ: х(<) = —,,~ — (ю, сЬ<э<<+ пей<э,~) — 1, где п==(ьг, и<„ <в<=) (1+О. 17,19. Тя.ьслая цепь, изготовленная нз одинаковых звеньев и сложенная кучкой па краю стола, сползает с него под деиствием сил тяжести. Движение начинается из состояния покоя, за счет того„что в начальный момент времени со стола свешивалось только одно авено цепи. Пренебрегая трением и сопротивлением воздуха, определить, во сколько раэ путь, пройденный первым звеном цепи за первую после начала движения секунду, будет меньше пути, проидепного свободно падающей точкой за то я<е время.
Ответ; в три раза. а 3 дпюгэегензшлльныг угхвпкния двпишния точки 2бб 17.20. Жидкость, находящаяся в баке большой емкости, отделена от иороткой вертикальной грубы поршнем, который закреплен в месте соединения трубы с баком. В некоторый момент времени поршень освобождается. 11олучить дифференциальное уравнение движения поршня по трубе под действием вытекающей нз бана жидкости, Жидкость считать идеальной.
Изменением уровня П жидкости в баке, массой поршня 'п трепнем между поршнем п стенками трубы пренебречь. Ответ: х х+ т' — дх = дН. К задаче !72К К задаче 17.20. 17,21. Получать дифференциальное уравнение движения и определить период малых колебаний поршня клапана, которын закрывает выход идеальной жидкости из вертикальной трубы, соеднпеоноп с баком большой емкости. Масса поршня клапана гп, коэффициент жесткости пружины г, плотность жидкости р, площадь поперечного сечения трубы 7'. Рйссгояппе от днища бака до поршня клапана прп равновесии снг~емы равно 1,.
Ответ: (т+ рД,)х+ р7х.х+ р7х + (с — до1) х - О 7' "' т Рдз =-2я 1г ", где с>бр~. 17.22. Из бункера комбайна, который движется прямолинейно с постоянной скоростью о, зерно пересылается в кузов автомашипы, движущейся рядом с комбайном. Масса азсомапшпы без зерна М, радиус ее колес Л, коэффициент трения качения б. Масса зерна, загружаемого в кузов автомашины в течение одной секунды, т.
.Определить крутящий момент на ведущих колесах автома- шины как фуш цшо расстояния в, пройденного автомашиной от 266 гзь 1т динлмикл тОчки пгрвмйнеюн млссы положения, заппмаемого ею в момент начала загрузки. Считать, что колеса автомашины катятся без скольжения, сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ: вузр уб~М+ — з), р 17,23. Масса самолета, двигавшегося горнзонтальпо с пог1О- янной по величине скоростью ч,, начиная с некоторого момента времени (1 О) увеличивается вследствие обледепеппя по закону М(1)=М,-(-а(, где и=-сопз()0, М,— масса самолета прн 1= 0. Получить дифференциальное уравнение движении самолета в вертикальном направлении, пола~ая, что горизонтальная составляющая полной.
аэродинамической силы в каждый момент времени уравновешена силой тяги двигателей, а вертнкалы|ая составляющая атон силы пропорциональна скорости самолета (коэффицпепт пропорциональности (т). Дан~кение самолета рассматриватьь в пеподвтзпой декартовой системе координат Оху, зочка О которой совпадает с центром масс самолета нри 1=0, ось Ох направлена в сторону скорости чп а ось Оу — вниз. Лтз Ответ: у+ у =.
д ~1— М+а8 ~ (М 17,24, Используя условия задачи 17.23, получить уравнения двпжепия самолета, если его масса вследствие обледенения увели швается по закону ЛХ = ))Х„е", где а = сопз1 ) О, М, — масса самолета в момент начала обледенения (( О). Скорость само-, лета прп 1 0 равна р,. и — аз Е( 1 — а~) Ответ: х= — в(1 — е а'), у = ~ )( — — (1 — е ')( — — ". х Ф а 2М а а х)1 — е "'(2 — е а')1. 17.25. С цилиндрической катушки, которая скатывается по наклонной плоскости, образующей угол и с горизонтом, сматывается бумажная лепта. Конец лепты прпкреплби к плоскости.
В момент начала движения масса катушки с накрученной па нее лептой М, их общий момент инерции относительно оси катушки Х Мр', где р — радиус 1шерции, наружный радиус катушки с лептой равен Л. Погонная масса ленты )г. Определить ускорение точки яа оси катушки и натяжение тенты при 1 = О, ейлн в этот момент времени центру масс катушки была сообщена скорость ч в направлении линни наибольшего ската наклонной плоскости. Ответ: а(0) =,, (уз(пи+ — р р Х(Мр'у з1п а — р (Лз — р') рз) 267 Гч.
18 тстойшгвость двншшшя 1'лава 18 УСТОИЧИВОСТЬ ДВИИ(КИПИ Пусть нмеется механическая система со стацпооарпымв, голопомнымк, двустороншгмп связями, обладающая й сгепенямн свободы, Ке кинетическая энергия равна ь 1 — Х ,~~ Ан (р~, " , дв) Ы~* «,3= — г где гй — обобщенные координаты системы (1 1, 2, ..., й). Уравнения двпл'Рния таком системы в форме Лагранжа имеют впд д /дтпл дг дГ~д, ) в где (), — обобщенные силы системы, являющкеся в общем случае функциями обобщенных коордпнат, обобщенных скоростей и еремеев.
Пропзведя соответствующие днфференцпровапня функция.Т и разрешпв зти уравнения относнтельио дь получим уравнення двнжеппя в воде ~л Л,(д, о, 1). После подсгаповкп д, = р„где р, — поные переменные, получа- ется гпг~ема уравнений первого порядка гл = р„р, =Л,(г, о, р), 11 апало~ичнои (нсгеме уравпепни можно прнйги и для мехапичсскон системы с иестационаркыми связями. Таьпм образом, уравнения движения большого класга мелаппческих (а также злекгроиехапяческнх) спстем могут быть представлены в виде Нд, — — У, (Ь ум ..., р„) (в = 1,..., и), (1) где аргументы ро ..., р„с математпческон точкн.зрения соввршепно равноправны.
Предположнм, чго изучается некоторое копкрегпое движение мехаппческой спсгемы, оппсываемое решением спстемы (1) у. — 5.(г) (в= 1, ...,и), соотвозствующпи заданным начальным ь словкям р ! в -).(1.). гл аг. Устойчивость движиния Оно может быть, в частпостщ состоянием равновесия (кротков равновесием) д,=а,=сопз$, 9,=0. Это движение, интересующее исследователя в условиях постав- ленной задачи, принято называть невоамущснным даизгением, а все другие двпжеш|я, которые может совершать система, на- зываются возмущенными. Любое возмущенное двюкение сисае- мы будем обозначать у.(8). Невозмущенное двинтение системы называется устойчивым (по Ляпунову)а), если по любому заданному числу е - О можно подобрать такое число 6) О, что выполнение неравенств ~у.(7,) — )'.(г,) ~ «б (2) обеспечивает выполнение неравенств 1у,()) — ),(г)) (а нрк г> г,, (3) Если, кроме того, выполняются соотношения 1) ш ) у, (г) — ), (1) ( = О, г то невозмущенное двпитение называется исимнтотически устойчи аым.
Невозмущенное движение называется неустойчивым, если условие (3) нарушается хотя бы для одного возмущенного двинепия, сколь бы малым пи выбиралось для нето число б. Разности у.И) — 7',(7) называются отклонены ми. Обозначим у,(г) — ),(г) х,(г). Если в уравненпнх (1) произвести замену аависимых переменных с помощью соотношений у, =х. +).(г), то получа~ся уравнения вида дх — =. Хв(), хы .
° ° ло) (4) которые называются уравнениями возмущенного деизгения, Нри атом невозмущепному движению соответствует нулевое решение ° ) Все определения, приводимые далее, даются в вестрогом иаложевии. С более точкыыи Формулировками необходимо поавакоииться в систематических руководствах по теории устойчивости: М е ркин Д. Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
