Kolesnikov K.S. Sbornik zadach po teoreticheskoj mehanike (523125), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Гироскоп в кардаповом подвесе установлен так, что ось наружной рамки вертикальна, а ось ротора горизонтальна и образует с направлением на север малый угол а. Кинетический иомент ротора В, географическая 2 широта <р. Какие моменты следует приложить иа осях внутренней и нарунпшй рамок гироскопа, чтобы ось ротора сохраняла указанную выше ориентацию. Ответ: на оси нарузкной рамки момент ЛУасоагр, на оси внутренней ВУз1пгр, где С вЂ” угловая скорость Земли. 15.24. Гиромаятник представляет собой гироскоп, подвешенный с помощью вилки 1 и сферического шарнира 2 так, что ось ротора направлена вдоль липни, соеднпяющей центр подвеса с центром масс С системы. К задаче 15.24.
Р 2. ПРОСтЕИШИГ ГНРОСКОПИЧГепняв ПРИБОРЫ 237 Определить положение равновесия системы с учетом вращения Земли. Массой вилки пренебречь. Дано: Н вЂ” кинетический момент ротора, ср — широта места, Р— сила тяжести ротора, ОС = й Ответ: ось ротора отклонена от вертикали яа угол нн сов р сса =- НН, в плоскости меридиана, где у — угловая Ни всв р+ Р! скорость Земли, $5.25. Определить период Т малых колебаний около положения равновесия гиромаятника, описанного в предыдущей задаче. Массой вилки пренебречь.
и Ответ: Т == 2п Р4+ НН в!а в ?5.26. Гироскоп простейшего гироскопического компаса подвешен с помощью вилки 1 и сферического шарнира 2 так, что ири невращающемся роторе его ось занимает соризонтальное положение. Докажите, что при вращающемся роторе ось ротора в равновесном полоясении располагается в плоскости меридиана места. ?5.27. ??о!сучить выралсение периода Т малых колебаний гирокоашаса, описанного в предыдущей задаче. (5?ассой вилки и ее колебаниями вокруг оси ротора пренебрегь, учесть также, что в практических случаях Р! ~ тл ПО сов срЗ Использовать обозначения зада- ?5 о' К задаче ?5.26. р Рспоовср ' ?5.28. На рисунке изобраясен гироскоп с внутренним упругим подвесом ротора с.
Последний имеет форму кольца и приводится в движение мотором 2, вал которого соединен с ротором посредством кольца д и двух пар торспонов 4 и ае; благодаря такому со. единению ротор имеет две степени свободы относительно вала. В равновесном положении ось ротора совпадает с осью вала; при отклопении от етого положения возникает восстанавли- 3 вающнй момент упругих сил торсионов, пропорциональный углу отклонения. 4 Пренебрегая массами торсионов и внутреннего кольца и полагая, жесткости обеих пар торсионов одинаковыми, полу- чить закон двиакенпя ротора прп малом 2 начальном отклонении его от положения равновесия.
Ответ: ротор совершает гармонические ?С задаче ?5.28, колебания вокруг осей торснонов с часто- ГЧ 1$ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ 233 а+ 1~а"+4Ь тами (с, з=- — где а=! — — 21оз д=-~ — — 1!1 озз+— 2 С и А — соответственно полярныи п экваториальный моменты инерции ротора, ез — угловая скорость вала, с — угловая жесгкость каждой пары торсионов.
15.29. Динамической настройкой гироскопа, описанного в предыдущей задаче, называется такой подбор угловой скорости вала, при котором гироскоп ведет себя как свободно подвешенный в одной точке,— ось ротора сохраняет неизменное направление в пространстве, несмотря па колебании основания прибора (как если бы жесткость торснонов обратилась в нуль), Определить указанное значение угловой скорости. Ответ; езз = — (А) С), А — С 3 3. Гироскопическая стабилизации 15.30.
Па рисунке изображен вагон однорельсозои железной дороги, построенный по схеме Шиловского — Шерля. Для придания ему устойчивости в вагоне установлен гироскоп, подвешенный в рамке 1, которая может поворачиваться относительно вагона на оси 2, перпендикулярной осп рельса. Центр масс рамки с ротором смещен относительно осн рамки вдоль оси 2.
Получить уравнения малых колебашш системы около положения равновесия, приняв следующие обозначения: для всей системы: Р— сила тяжести, А — момент инерции относительно оси рельса,  — рас; стояние от центра масс до рельса; для системы рамка+ ротор: р — сила тяжесзи„ В вЂ” момент инерции относительно оск рамки, !в расстояние от центра масс до оси рамки, Л— К задаче 1530. собственный кинетический момент ротора. Привязь, что ввиду малых размеров рамки ее качания пе изменягот геоиетрни масс системы в целом.
Ответ; Асз+Нр Р1а, Вр — На= р!р, где и — угол отклонения вагона ог вертикального положения, р — угол отклонения плоскости рамки от вертикальной плоскости. 15.31. Доказать, что если вагон, описанный в продыдущеи задаче, движется с постоянной скоростью по прямолииейнолзу рельсу, то для устойчивости ого необходимо, чтобы центр масс рамки с ротором находился выше оси рамки и вместе с тем выполня.юсь неравенство Н') ПрА + ВРВ).
15.32. Стабилизация двухколесного автомобиля осуществлена по схеме Шиловского — Шерля (си, зад. 15.30): камера 1 с расположенным в ней ротором 2 подвешена на осп О (перпопдикуляр- 3 д. ГиРОскОпическАя стАБилизАция 239 К задаче 5534 яой продольной осн автомобиля) так, что их общий центр масс находится выше атой оси. Автомобиль движется с постоянной скоростью по дуге окружпбсти, лежащей в горизонтальной плоскости.
Поставить дифференциальные уравнения малых колебаний системы около положения ее отпосителышго равновесия, приняв,что подвиленой системой отсчета является трехгранник с вершиной в центре И подвеса гироскопа, вращающийся с той же угловой скоростью '1з, что Сс автомобиль. \ Угол отклонения автомобиля от вертпкалн в равновесном положении считать малым, моментами снл инерции, обусловленными вращением автомобиля вокруг вертикальной осн, К задаче 15.32. пренебречь. Ответ: Аа+ (НП вЂ” 1Р)а+ Нр = О, В~) + (Нзз — 1р)~) — На = О, где а и р — углы отклонения автомобиля н камеры от равновеснога положения; остальные обозначения имеют тот же смысл, что н задаче 15.30, 15.33.
Приняв условия предыдущей задачи, доказать, что если направление поворота автомобиля совпадает с направлением собственного вращения ротора, а угловая скорость поворота превышает величину 1р1Н н меньше чем ВР/П, то равновесное положение автомобиля неустойчиво. 15.3ть Стабилизация двухколесного автомобиля осуществлена с помощью двух одинаковых гироскопов: камеры 1 с гироскопами подвешены на горизонталь- ю пых осях, перпендикулярных И продольной осн автомобиля I в связаны между собой зубс чатымн секторами 2, благодаф ' ря которым могут поворачиваться только во взаимно противоположных направлевиях на равные углы. В исходном положении собственные кинетические моменты .гироскопов Н и — Е1 направлены вертикально во взаимно противоположные стороны.
Доказать, что при такой системе стабилизации требование устойчивости не накладывает ограничений на угловую скорость поворота автомобиля вокруг вертикальной осн. 15.35. Простейший силовой гиростабилизатор представляет собой гироскоп в кардановом подвесе, оснащенный дополнительными устройствами — датчиком угла ДУ и двигателем стабилизации ч'л. ~з. кдхг 240 ДС. Датчик угла измеряет угол р поворота внутренней рамки относительно наружной (угол )) отсчитывается от положения, при котором ось ротора перпендикулярна оси наружной рамки) и посылает сигнал, пропорциональньгй б, в двигатель стабилизации; последний прикладывает к наружной рамке момент относительно ее оси з по — — закону М. -1сб Й = сопз$ ~ О).
и Доказать с помощью прецессноппой теории гироскопов, что описанное уст, 'в ройство обладает свойством стабилизировать положение наружной рачки, т. е. предотвращать ее вращение вокруг оси з прп действуюктнх иа нее момен- ДУ тах относительно этой оси, ) 15.36. Составить линеаризованныо тв уравнения движения гиростабнлнзатора, описанного в предыдущей задаче, учитывая моменты инерции обеих рамок н положив, что момент двигателя лял М,= — й6 — ра, где й н р — положи- тельные постоянные, а — угол поворота К задаче 15.35.
наружной рамки. Ввести обозначения: А — момент инерции всей системы относительно оси з (принимается, что при малых б он остается' неизменным),  — момент инерции внутренней рамки вместе с ротором относитольпо ее оси, Н вЂ” собственный кинетический момент ротора, Ответ: А к+ ря+ Н р+ й6 = О, Вб — На = О. 15.37. Исследовать гиростабнлизатор задачи 15.36 на устончнвость, Вычислить максимальное значение коэффициента й, допускаемое условнянн устойчивости, если Н =.
8 кг и'/с, А = =08 кг ° м', 6=04 Н м с. Н Ответ: й(р — = 4 Н м. Л Х' л а в а 16 УДАР 6 1. Удар точки. Соударение тел при поступательном движении 16Л. Матеркальная точка массы т = 10 кг,- находящаяся в покое на шероховатой горизонтальной плоскости, в теченио 0,01 с подвергается действию постоянной ударной силы, импульс которой равен 100 Н ° с, Лнпия действия ударной силы горизон- % 1 тдаг точки тальца, Коэффициент трения точки о плоскость прп ударе и последующем движении принять одинаковым н равным 0,1.
Определить отношение пути, пройденного точкой до остановки, к ее перемещению за вреаш удара и отношение времени движения точки до остановки ко времени удара. Определить также отношение цзмененнй скорости точки за время удара от действия ударной силы и силы сухого трения. При вычислениях привять я = 10 м/с'. Ответ; все отношения равны 10'. 16.2. Па покоящуюся материальную точку массы т действуют раздельно, но в одном направлении ударные силы, изменяющиеся по законам л,=(,'; 2Ро (1 — — ) р 0 (2Р,— при 0(г т, г)т, прп О~Е(т, г)т, при 0(г(та Юоо .а/' о Ответ: Ч = —, где оэ = гл ' г' м' 16.4, Массивная платформа А движется по вертикали вверх поступательно прямолинейно с постоянной скоростью т/.
Материальная точка В массы и ударяется о платформу, причем вектор скорости то точки направлен перпендикулярно плоскости платформы, навстречу ее двггжениго, Определить, какой должна быть скорость движенил платформы А, чтобы абсолютная скорость материальной точки В н после отскока равнялась пп а также определить величину ударного импульса Я при этом условии. Коэф- 16 пол рец к с колееаллола К задаче 16.4. Определить импульс этих сил, скорость точяп и ее перемещение к моменту окончания действия ударных снл. Ответ: Яг (т) =. Вл (т) = — Ва (г) =- 8 =. Вот, на (т) .— — Ра (т) = — га (т) =- "" ел ' г() ~т' а() Л т ' а() Лт' 16.3. К материальной точке массы гп, подвешенной на пружине с коэффициентом жесткости с, приложен ударный импульс Я в направлении осп пружины Определить коэффициент динамичности ударного процесса 0 = у„„,/Х„, где у„„,— наиболыпее смещение точки после удара ог положения равновесия, Մ— статическая деформация пружины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
