Kolesnikov K.S. Sbornik zadach po teoreticheskoj mehanike (523125), страница 39
Текст из файла (страница 39)
1( задаче 15.1. 15.2, Спутник дввллотся по круговой орбите (такова траектория ого центра масс) так, что ось г все время проходит через центр Земли, а период обращения равен 84,4 мнп, Па спутнике имеется мотор, ось ротора которого расположена в плоскости Охг, перпендикулярной плоскости орбиты Оуг и наклонена под углом а = 60" к оси г. Ротор делает 3000 оборотов в минуту, его полярный момент инерции У 1 кг ° м', Определить модуль и направление момента, который дояжны развивать реактивные двигатели спутника, чтобы гироскопический момент ротора не нарушал заданную ориентацию спутника. Ответ: момент М доляоеп быть параллелен вектору скорости ценгра масс спутника, !М! = 0,196 Н м. 15.3, Корабль совершает циркуляцию и одновременно испытывает килевую качку.
При этом па корабль действует. гироскопический момент ротора корабельной турбины, Щиркуляция — дви. ГЛ 1Э ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ жение корабля по окружности, килевая качка — качании корабля вокруг поперечной оси.) Найти проекции Ь„С„, г., указанного люмента иа оси х, р, з (см. рисунок), если ось ротора параллельна продольной оси корабля. Дано: скорость корабля Р, радиус циркуляции /1, полярный / и зкваториальный А моменты инерции ротора, его собстзеннан угловая скорость ю, закон качки 6 =6лз1пре, где 6 — угол качни, 6, и р — постоянные величины, Вычислить проекции момента при: и =43 км/ч, /(=0,6 км, У 2,88-10' кг м', в=167 рад/с, А=1,5 ° 10' кг лг', 6,=6, р 01с '. лип Мв РЛ Л Ответ: /в= — (./вл — вя !РйвсозР(, Ь„=.— — Айвз)О Р/М ЭГ(и/Л вЂ” рз)+Рвл//К, Л,=-О; /„= — 05 10'соз0,1/Н и, Лз--.
-0,96 ° 16'Н.м (воличлшьл Е., Е„, Ь, определены с точностью до малых первого порядка относительно угла качни). 15.4. Артиллерийский снаряд прн полете в атмосфере совершает сложное движение: оп вращается с некоторой угловой К задаче 154. К задаче !дЗ. скоростью ю~ вокруг своей оси симмеэрии з,; одновремешто вследствие действия на снаряд сил сопротивления воздуха зта ось вращается с угловой скоростью ел, вокруг касательной Сг, к траектории центра масс снаряда. Рассматрнвая снаряд как быстровращающнйся гироскоп, вычислить момент зтих сил относительно центра масс снаряда, положив, что «л~ = 30 рад/с, а, 0,8 рад/с, масса снаряда га = 15кг, радиус инерции его относительно оси симметрии р= 4 см, угол между осями Сз, и Сз, равен а = 10 .
Ответ: 0,1 Н м. 15.5. Вычислить гироскопический момент ролика в подшипнике, описанном в задаче 6,13, при следующих данных: угловая скорость ротора соответствует 3000 об/мин, масса ролика 80 г, его радиус инерции относительно оси симметрии 0,7 см, а = 10'. Г)Рвет: 0,44 Н м. 15.6. Во время виража турбовинтового самолета гироскопический момент ротора турбины может вызывать наклоны самолета. Чтобы парировать действие етого эшмента, пилот отклоняет гори- в 2 ПРОстеишиг ГиРОскопическне пгизоэы 233 зонтальные рули самолета; возникающпе прн этом аэродинамические силы удерживают самолет в горизонтальном полете. Определить момент этих спл (его величину и направление), если ось ротора параллельна продольной осн самолета, ротор вращается с угловой скоростью, соответствующей 3000 об/мин, момент инерции его относительно оси симметрии /=400 кг ° и', скорость самолета и=100 м/с, радиус описываемой им окружности В 2,5 кгц Ответ: момент равен М.=5030 Н м.
Если вектор угловой скорости ротора направлен к носу самолета, то вектор М, направлен к правому борту при правом вираже п к левому — прн левом. 15.7. Как известно, велосипедист прп движении по кривой наклоняется в сторону центра кривизны ее. Определить, з какой мере на величину угла наклона влияет гироскопический момент колес велосипеда, положив, что он движется со скоростью о = 20 км/час по дуге окружности радиуса Л = 30 и, масса колеса 2,5 кг, его радиус г = 0,5, радиус инерции 0,3 и, масса всей систеиы (велосипедист+ велосипед) 75 кг, высота ее центра тяжестЬ 1 и.
Ответ: угол отклонения велосипеда от вертикали без учета гнроскоппческого момента колес равен 6 . За счет гироскопического момента он увеличивается па 4', $2. Простейшие гироскопические приборы 15.8. Двухстепенной гироскоп установлен на горизонтальной площадке так, что при любых поворотах рамки ось ротора остаетсн параллельной площадке, Доказать, что в равновесном относительно Земли положении эта ось устанавливается в направлении 2ог — север и, следовательно, прибор может служить гирокомпасом, 15::9.
Для прибора, описанного в предыдущеи задаче, получить формулу, определяющую период 2|алых кочебанпй системы около положения равновесия, приняв, что заданы. момент инерции рамки с ротором относи. л тельно оси рамки А, собственный кянетиче- 1 скни момент гироскопа Н, географическая Р к широта места ~р. (Пренебречь величиной ВО сов ср в сравнении с г/, где  — момент инерции рамки с гироскопом относительно у а Π— угловая скорость Земли.) О; Т =- 2п ') К аадачв $5.8.
1510. В условиях задачи 15.8 предположить, что вокруг оси рампа действует момент спл вязкого трения, пропорциональный угловой скорости а рамки относительно Зомлн. гл. !5. ТВОРИя ГИ!'ООНОПОВ Доказать, что из двух полокгеппй равновесия системы липгь одно (когда собственный кинетический момент ротора направлен на север) устойчиво. 15Л1. Двухстепенной гироскоп установлен на поверхности Земли так, что ось ротора вынужден» оставаться в плоскости меридиана места; это достигается тем, что рамка 1 с гироскопом 2 подвешена па оси, перпендикулярной плоскости меридиана.
Доказать, что если центр масс рамки с ротором располонген на оси рамки, то в положении равновесия ось ротора параллельна оси Земли. 15.12. Прибор, описанный в предыдущей задаче, может служить указателем географической широты места: она К задаче 15.11. равна углу меигду осью гироскопа и плоскостью горизонта в данном месте. Какова будет ошибка прибора, если центр масс ротора с рамкой пе точно совпадает с центром подвеса и смещен вдоль оси г, тора па некоторую величину й Масса ротора нг =1 кг„его и. нетический момент 4 Н м ° с, широта места гр =60, (=1 мкм.
Уаааояие. Учггтмеая, что 1 чг: гг ( — радиус Земли), положить, что сила тяжести ротора параллельна ливии, соединяющей центр Земли с центром подееоа. Ответ: ошибка в широте = 1'. 15.13. Определить период малых тголобаннй около положения равновесия системы, описанной в задаче 15Л1, учитывая массу рамки. Полярный момент инерции ротора С = 2 ° 10' г.см', момент инерции рамки вместе с ротором относительно оси рамки А 4 10' г см', собственная угловая скорость ротора ог = 2090 рад/с.
у А Ответ: Т = 2я )г — ж 23с ((г' — угловая скорость Земли), Сег(г 15Л4. Гироскопический измеритель угловой скорости (гиротахометр) устроен в виде двухстепенного гироскопа, рамка 1 которога связана с основанием прибора пружиной 2. При покоящемся основании ось ротора параллельна осно- в я ванию. Если основание вращается вокруг перпендикулярной ему оси х, 2 то рамка отклоняется на тгекоторый угол (), при этом пружина деформируется на величину, пропорциональную 5. Демпфер о' предназначон для демпфирования собственных колебаний системы — ои создает момент пропорциональный 5. К аадаче $544, з 2. ПРосткишие ГиРоскопичкскик пР1гБОРьх 235 Доказать, что при вращении основания вокруг оси к с постоянной угловой скоростью Й рамка устанавливается в положении, при котором угол 5 (для малых углов) пропорционален величине 12.
Вычислить бс, если Р =2', «кесткость пружины с=9 Н/ом, АС = а = 10 см, собствонный кинетический момент гироскопа Н = 3 кг ° и'/е. Ответ: (3 = —., П, (с = 0,105 рад/с, /Е а с 15Л5. Доказать, что если в приборе предыдущей задачи убрать пружину, оставив демпфер, то прибор мок<ет служить интег. ратором угловон скорости плн указателом угла поворота основания относительно пнерциального пространства.
15.18. Получить выражение кинетической энергии гироскопа в кардаповом 4 подзесе. Положить при этом, что оси г рамок и ротора пересекаются в одной точке, являющейся центром масс кал<- дого из этих тел и совпадают с их главными осями инерции. Р Ввости обозначения: Аа, В„С, — мо- умепты инерции внутренней рамки соответственно относительно осей к, у, з, связанных с внутренней рамкои, Л,, В„ Са — моменты инерции ротора отпо- у сительно тех же осей; р — угол поворо- К задача вбле.
та впутреппей рамки относительно парувгкой, а — угол поворота наружной рамки (р =-О, когда плоскости рамок взаимно перпендикулярны); Л, — момент инерции наружной рамки относителыка ее оси; 7-- угол поворота ротора относительно внутренней рамки. .Ответ: Т =-: — (Ла'+(Ла+Аа) ссасозар+ (//а+ В) ба+ + С,савв|па()+ С,(аз(п()+ у) ~.
15.17. Вслодствно поточносги изготовления центр масс гироскопа в кардановом подвесе оказался смещенным относительно цоптра подвеса вдоль осн ротора на 2 микрона. (Центром подвеса называют точку пересечения осой рамок и ротора.) С какой скоростью будет отклоняться ось гироскопа от первоначалыюго полоясепия (р = О), если ось наружной рамки вертикальна и при 5 = 0 ось ротора горизонтальна. Полярный момепт инерции ротора С = 12 10 ' кг ° м', его собственная угловая скорость а = 2090 рад/с, масса т = 1 кг.
Ответ: а =7,8 10 ' рад/с, э =О. 15.18. П наружной рамке гироскопа в кардаповом подвесг приложена сила 1', параллельная оси а (см. ркс. к задаче 15.18). 236 гл. !ь. теогия гигоскопов Определить угловые снорости и и 6 при 6 = 0 и кинетическом моменте В=1,96 кг ° и'lс, АВ 0,2 и, г =0,1 Н.
Ответ: а О, р= — 0,58 град!с. 15Л9. В условиях предыдущей задачи определить а и 5 прн р-60'. Ответ: а = О, р — 1,17 град/с. 15.20. Решить задачу 15А9 при условии, что, кроме силы Р, действует момент сил сухого тренин вокруг оси внутренней рам- и ки, максимальная величина которо~о йй равна 10 ' Н м. Ответ: а — 10,5 град/ч, — 0,58 град/с. 15.21. К внутренней рамке гироскопа в кардановом подвесе с вертикальной осью наружной рамки подвешен грузик массы и =0,1 кг.
Кнкетический момент гироскопа П =- ег 0,23 Н. м с. Вокруг оси наружной рамки действует момент сухого треяня, максимальная величина кото- У рого равна 10 ' Н м, АВ=5 см. Определить угловые скорости ра- К задаче 15.21. мок при 6 45'. Ответ: а = 12,2 градУс, 6 = — 3,52 градУс. 15.22. 1'ешить предыдущую задачу прп условии, что учитывается ташке момент сил сухого трения на оси внутренней рамки и максимальная величина его равна 0,01 Н м. Ответ: а = 8,69 град/с, 6 — 3,52 градггс. 15.23.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
