Kolesnikov K.S. Sbornik zadach po teoreticheskoj mehanike (523125), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Колеса считать однородными дисками, Ответ: 3(М+ т) Ла~р+ тй(й+ г)(1 — 2созф) ф+ 2тй(й+ г)фаз1пф = 2Ь, Зт(й+ г)аф+ тй(Л+ г) (1 — 2 сов ф)<р+ + 2т (Л + г) (Л<р~ — 8) з)п ф + 2еф =- 0; в,О=- ЕЕ (ЕМ+ Е ) Ле 12 40. В дифференциальном механизме шестерня 1 массы т, и водило 4 вращаются независимо друг от друга вокруг верти- 12* 180 гл. 12 уРАВнения лАРРАняеА, евшее уРАВнение механики кальной оси, проходящей через точку О. Шестерня 1 находится в зацеплении с шестерней 2 массы т„а последняя — с шестерней 8 массы плл.
Оси шестерен 2 и 8 укреплены на водиле 4. К шестерне 1 и водилу 4 приложены пары снл с моментами Ь, и Ь, соответственно. К шестерне 8 приложен момент сопротнвле- НИЯ Ьл. Определить угловые ускорения шестерни 1 и водила, 1Пестернн рассматривать- как однородные диски радиусов г,, г, и г, соответственно.
Массой водила пренебречь. При вычислениях положить т, = лл, = 9плл 90 кг, Е, = 150 Н ° и, 1„ = 120 Н и, Ь, = 180 Н м, г, = г, — Лг, = 0,3 и. Ответ: е, =3,72 рад/с', е, = 3,04 рад/с'. 2 8 « "1 « ~Н«и ч«7ч Ц т г К задаче 2280 К задаче 22ЛО. 12.41.
В стержневом механизме, расиоложепнолл в горизонтальной плоскости, стержень ОВ вращается вокруг вертикальной осн, проходящей через точку О, под действием пары снл с моментом М. К стержню ВО приложена пара сил с моментом Е. Длина стержня ВО равна I, длины стержней ОВ и ЛЕ равны 2/, ОЛ АВ. Массы стержней ОВ н АЕ однпановы п равны лл. Все стержни однородны, Определить, прн каком соотношении между момейтамн М и Ь угловое ускорение стержня ОВ будет больше углового ускорении стержня ЛЕ в тот момент, когда опн будут располагатьсн лл па одной прямой. Массамн ползупа О и стержня ВО пренебречь. А Ответ: М) 78. 12,42.
В стерншевом в механизме, расположенном в вертикальной плоскости, я ползуны 1 и 2 могут .Р скользить по горизонталь- ной направляющей 8. К задаче 22ЛЕ э а системы с двтмя н твкмя сткпспямн своводы 181 Стержень ВР в точке С шарнирно соединен с ползуном 2. К его свободному концу приложена горизонтальная сила Р. Пружины 4 н 5 имеют одинаковые коэффициенты жесткости с. Масса стержня АВ равна т, масса стернаня ВР равна 2т. Система приходит в движение пз состояния покоя, при котором стержни наклонены под углами 45' к направляющей, а пружины не деформированы.
Составить дифференциальные уравнения движения системы, полагая АВ=ВС =СР= 1. Определить величину ускорения ползуна 1 в начальный ьшмент времени. Стержня считать однороднынп, массами ползунов пренебречь. Ответ: бта+ От1(~р ын ~р + ср'соэ ~р) + 2сг = 2г', 2т1(1+ 8 Мн'ср) ~р + 8т(зраеп 2гр + йта Митр + + 4с1 ( "г' 2 — 2 соз зр) з1п ср + тя соз ср =- бааз(зз зр, а, (1 ) =- 12АЗ.
Гнроскопнческнй маятник состоит нз ротора 1, установленного в кардановом подвесе, н груанка 2, который прнкреплеп к рамке 2. Осн рамок 2 и 4 пересекаются в точке О, являюятейся центром масс ротора. Ротор вращается вокруг своей осн симметрии Ог с постоянной угловой скоростью ез. Грузик расположен в точке пересечения осн Ог с рамкой 2 на расстоянии 1 от точки О. Масса грузика т, полярный момент инерции ротора С, экваториальный — А. В начальный момент времени ось Оз была выведена нз вертикального положения равновесии так, что отклонепне грузика отегокрайнего верхнего положения было мало. 11редполагая отклонения осн Оа от вертикали малымн во все последующне моменты времени, составить лннеарнзованпые дифференциальные уравнения движения гнромаятннка, Массой рамок пренебречь.
Ответ: (А+ т1*)а+Сезй =тд(а, (А+т(')р — Сеза=тд1~, где а и (3 — углы Крылова (см. задачу 6Л), 12.44. Модель центриФуги состоит нз кожуха 1, ротора 2 н грува 2. Кожух связан с неподвижной опорой с помощью К аадаче 12,Я. К задаче 12.4ь 482 Гл !3 уРАвненин лАГРАнжА.
Онщее уРАВнение мгхАники сферического шарнира б.роторвращается с постоянной угловой скоростью. ю вокруг своей оси симметрии, имеющей неподвиясную точку О в центре этого шарнира. Суммарная масса кожуха и ротора равна М, масса груза б равна М/4. Расстояния от точки О до центров масс груза б и кожуха совместно с ротором одинаковы и равны й Момент инерции рбтора относительно оси вращения Оз равен 1„моменты инерции кожуха вместе с ротором относительно осей Ох и Оу равны 1„1„ЗМР/2. В точке А, находящейся на продолжении оси Оз на расстоянии ОА а, с центрифугой связаны пружины б и б, коэффициенты жесткости которых одинаковы и равны с.
При вертикальном положении оси Ог пружины не деформированы и их оси параллельны осям Ох и Оу соответственно. При отклонениях оси Оз от вертиъали на центрифугу действует момент сил сопротивления, проекции вектора которого на оси Ох и Оу имеют соответственно вид М, — пе„̄— пю„(п = сопз1 ) О). Составить линеаризоваяные дифференциальные уравнения движения системы нри малых отклонениях оси Ог от вертикали. Размерами груза б пренебречь. Ответ: 7МРа+ 4пи+ 41,сэр + (8са' — ЗМд)) и = О, 7МРР + 4пр— — 41,сва+(8са* — ЗМу))р О, где а и Р— угчы Крылова (см, задачу 6.8).
$2.45. Колеса двухколесной тележки катятся со скольжением по горизонтальной плоскости. Радиусы колес /с, масса колеса 1 равна т„масса колеса 2 равна т,. К цент- в ру колеса 2 под углом а к горизонту приложена сила Р. Коэффициент трения сколь- Г жения 1. Составить дифференциальные уравнения движения тележки, рассматривая колеса как сплошные однородные диски. Массой стержня б пренебречь. )С задаче 1245. К зайаче 12А6. Ответ (т, + тз) х = Р' (соз а + 1 э(п а) — у (т, + т,) 1, Лср =- 2б/, т,Лср= 21(т,б — Рз(па) при )Р > 12.46. В модели лифта грузы 1 и 2, массы которых т, и т, соответственйо, подвешены к концам троса, перекинутого через а ь опггдвлвнив галиции онов шкив 8.
Шкив вратцается вокруг горизонтальной оси О под действием пары сил с моментом М. Радиус шкива г, его момент инерции относительно оси вращения 1. Коэффициенты жесткости пружин 4 одинаковы и равны с, силы сопротивления демпферов 5 пропорциональны скоростям грузов по отношению к тросу (коэффициент пропорциональности р). Трос по шкиву не скользит. Движение начинается иэ положения системы, когда пружины не деформированы. Составить дифференциальные уравнения движения системы. Ответ: Ф Ер+ 2)зт'ср — )зт(х, + хз) + 2сгзср — сг(х, + х,? Еар, т,а:,+ р(х, — гф)+ с(х, — лр) =аз,в, шаха+ Р(хз — пР) + с(ха гф) = — тлз5.
Глава 12 ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИИ ОПОР И УРАВНОВЕШИВАНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ, ВРАЩАЮЩИХСЯ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНЫХ ОСЕЙ й 1. Определение реакций опор зЗЛ. Вал 1 вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью оз. К валу приварен под углом ~р стержень 2. Между ними находится однородный диск 5 радиуса г. Определить, прн каком значении аз давление диска на вал будет равно нулю. Толщиной вала пренебречь. Ответ: оз = ~~т — с(бар. ъ/а г Ц задача $3Л. К задаче 13.2.
$3.2. Тело цилиндрической формы, имеющее кольцевые выступы Е и 2, расстояние между которыми (, движется равномерно 434 гл. !1. ОпРеделенке Реакции ОЛОР и РРАВновешпзхпнт поступательно внутри горизонтальной трубы радиуса В, вращаясь относительно ее оси с постоянной угловой скоростью о1. Коэффициент трения скольноення ). Тело имеет неточность з изготовлении, которая показана на рисунке в виде дополнительной сосредоточенной массы ло. Масса тела беа учета массы т равна М. Плоскость ОО, перпендикулярная осп трубы и проходящая посередине между выступами, является плоскостью симметрии тела (без учета массы во). Определить величину силы, обеспечивающей равномерное поступательное движение тела, а такоке величину силн трепня скольжения на выступе 2 в момент, когда массо и занимает нижнее полоноепие, Считать реакции сосредоточенными снламп, приложенными к выступам лешь снизу.
Ответ: Е = ~[(ЛХ+тя)д+ШВо1 [, Ео = )~ 2 х+лгВоо) + + —, /о [()[Х+ т) л + тВо1о[. 13.3. В треугольнике АВО АВ=ВО, ~АВ0=00'. Диск е массы тя вращается с постоянной угловой скоростью е1 вокруг оси, проходящей череа его геометрический центр Ю перпендикулярно его плоскости. Точка О находятся на равных расстояниях от концов стержни ВО. Центр масс диска С смещен по его радиусу относительно точки О на величину е. Определять проекции динамической реакции в шарнире В на оси Вх и Ву как функции угла ее. Толщиной диска пренебречь.
з теео тео> Ответ: Хв — - — 2 (2созер — з!пер), )'в=- — — ейп1р. 2 [ЗА. Коленчатый, стержень АВВЕ изогнут в точках В н 0 под прямымп углами н укреплен в заделке А так, что колено АВ перпендиьулнрно плоскости Ахз. ,у Диски 1 и 2 вращаются с одинаковыми постоянными угловыми скоростями 1е вокруг осей, проходящих через нх геометрические центры О, Ю К задаче 13.3. К задаче 13А, и О, перпендикулярно нх плоскостям. Плоскости днснов параллельны плоскостям Аух и Ахз соответственно.
Центры О, и О, % ь опгвделенив Рилкцин олог 185 расположены так, что О,А = О,В О,Р. Массы дисков одинаковы и равны т. Центры масс дисков С, и С, смещены относительно центров О, и О, на расстояния О,С, = е, п О,С, = ед. В начальный момент времени отрезки О,С, п О,С, были отклонены от прямых ЛВ и РЕ соответственно на равные углы ~р. Вращение дискам было сообщено одновременно.- Пренебрегая толщиной дисков и полагая ЛВ = 2ВР = а, определить динамические реакции заделки как функции угла <р.
Ответ: Лд =- теди'сов~у, Ул — — те,ы~соавр, 2~4 = — т(е,+ + ед) ю з(пЧ' ЛХ"" 2 впЧ' М " г Х Х (з1п ср+ соз ср), Мдч: =- — те,аозд соз ср. 13.5. Вал 1 вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ез. С валом жестко скреплено однородное кольцо 2 радиуса г так, что его вертикальный диаметр совпадает с осью вращения вала и АР=ВВ гl2. В кольце движется шарик массы т с постоянной относительной скоростью о. Определить динамические реакции опор прн о = 60', полагая, что плоскость кольца совпадает с плоскостью Ауз.
д юов д 2тмд д га(2г и +Лд ) 1/З 12г ,д т (4г мд+ Здд) ~/у т в ==-— 12. 13.6. В модели тренажера рамка 1 вращается вокруг горизонтальной оси ЛВ с постоянной угловой скоростью вдо Тело 2 массы т, прикрепленное па конце стержня 2, вращается с угловой скоростью юд = 2ы, вокруг оси СР, Ось СР пересекает ось АВ под прямым углом, Стержень составляет с осью С.Р угол 45', длина стержня 1, АО = ВО = 25 Определить динамические реакции опор 'А и В в момент времени, когда плоскость рамки вертикальна, стержень расположен в атой плоскости, а тело находится в нижнем положении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
