markeev_book (522779), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Если азв = 1 (пи е. р = 0), то при описании движения тела в рамках линеаризоваиных уравнений движения мы получаем, что отклонение тела от его равновесного полоясеьшя ьо = 0 неограниченно возрастает со временем, так как уравнение (41) имеет частное решение вида (36) (при аз = шо, а = 2). При нелинейной трактовке задачи о движении твердого тела при резонансе ситуация иная. В самом деле, пусть в начальный молгент ю = О, ф = О. Тогда (с погрешностью, порядок которой не ниже чем гз) и Л = 0 при 1 = О, Следовательно, в интеграле 74 = 5 постоянная Ь равна нулю и во все время движения 513 З 9.
Малые колебания Решения Л = Во = сопв1, Ф = Фб = сопес системы (53) отвечают 2п-периодическим колебаниям спутника в исходных переменных. Из (огЗ) следует, что Фо может равняться только 0 или и, а величина мб может быть найдена из уравнения третьей степени и +Зси +25=0 (и= 1/2ВосоеФо). (54) Здесь 4р 41л с= — —,= —, Ь=2. Зе ЗезУз Уравнение (54) имеет один или три вещесгпвенных корня в зависимости от того, положителен или отрицателен дискриминонт .0 = Ьз + сз этого уравненияг. Отсюда следует, что при выполнении неравенства 4ьгЗ зд е) р (55) существует одно, а при обратном знаке в неравенстве (55) три периодических движения твердого тела, переходящих при е = О в его равновесное положение со = О в орбитальной системе координата. Отметим, что при точном резонансе, когда р = О, существует только одно 2п-периодическое колебание тела и, согласно (54), амплитуда этого колебания равна ч'4е.
~Си. гл. 9 книги: Курвы Л. Н Курс высшей алгебры. 51.: Наука,1975. Зусаовие (55) иным путем получено в гв. 2 монографии; Белецкий В. В. Цвиасение искусственного спутника относительно центре масс. Мк Наука, 1965. Гллвд ХУ Устойчивость движения В 1. Основные понятия и определения 231. Уравнения возмущенного движения. Определение устойчивости.
Пусть уравнения движения механической системы представлены в виде системы диффереппиальпых уравнений о1уз 1 (уз уз ~ у-.~ о) (з 1 А~: зп)~ (1) правые части которых удовлетворяют условиям существования и единственности решения. Рассмотрим движение механической системы, которому отвечает некоторое частное решение системы (1) (2) у,'. = з"з(1) (1 = 1, 2,..., ьч) при начальных условиях (3) у о = Л(Оо) (з = 1, 2, ".: ш).
Пас интересует вопрос о движении системы при отклонении начальных условий у,о от значений (3). Решением етого вопроса занимаетсл теория устойчивости движения, злементы которой излагаются в втой главе. Движение системы, описываемое функцилми (2), будем называть нввозмущвнным двилсенивзз. Все другие движения механической системы, возмолгвые для нее при тех же силах, что и рассматриваемое движение, описываемое формулами (2), будем называть возззущвлныли двилсвнияззи.
Разности лз=у; — 1зЯ (1=1, 2,..., яз) (4) значений уз длл возмущенного и певозмущенного движений называются возмущениями. Если в уравнениях (1) сделать замену переменных по формулам (4), то получим уравнения Ф ' '' "''"™ — '' = Х;(жы жз,..., ж„„1) (1 = 1, 2,..., гв), (3) 515 Основные понятия и впределеиия которые называются дифференциальными уравнениями ввзмуи1винвгв движения.
Очевидно, что Х, = 1;. (х1 + Л(1). хз + Ь(1),...., х + У,„(1), 1)— 1а(Х1(1)~ зз(1) ~ Хт(1) 1) Уравнения (5) имеют частное решение х; = О (1 = 1, 2,..., т), отвечающее невозмущенному движению (2). Если функции Х, явно не зависят от 1, то невозмущенное движение будем называть установившимся, в противном случае — — иеустаиовившимся. Примем следующее определение Ляпунова. Невозмущенное движение называется устойчивым по отношению к переменным у; (1 = 1, 2,..., т), если для любого сколь угодно малого числа е > О существует положительное число 6 = 6(е) такое, что для всех возмущенных движений, для которых в начальный момент времени 1с выполняются неравенства (б) ~х;(1с) ~ ( д (1 = 1, 2,..., т), при всех 1 > 1с выполняются неравенства /х;(С)/ (е (1=1, 2,..., т).
Дадим еще определение асимптотической устойчивости в смысле Ляпунова. Невозмущенное движение называется агимптотически устойчивым по отношению к переменным у; (1 = 1, 2,..., т), если оно устойчиво и число б можно выбрать настолько малым, что для всех возмущенных движений, удовлетворяющих неравенствам (б), будут выполняться условия 1пп х,(1) = О (1 =1, 2,..., 1п). 232. Функции Ляпунова. Наиболее эффективным методом исследования устойчивости движения является прямой метод Ляпунова.
Этот метод не предполагает нахождения тех или иных решений уравнений возмущенного движения, а связан с отысканием некоторых функций г' переменных хы хз„..., х„„1 и изучением свойств самих этих функций и их производных. Функции У будем в дальнейшем называть функциями Ляпунова. В основе прямого метода Ляпунова лежат соображения, использованные Дирихле в его доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы (см.
п. 225). 516 Гяаеа ХР Длн простоты будем изучать только установившиеся движенил. Функции Х;(ха, хз,..., х ) в уравнениях возмущенного движения (5) считаем непрерывными в области ~х;~ < Н (г = 1, 2,..., га), (9) где 11 — некоторая постоянная, и такими, что уравнения (5) при начальных значениях х,о из области (9) допускают единственное решение. В области ~х;~ < й (1 = 1, 2,..., гп), где 6 — достаточно малое положительное число, будем рассматривать функции 1г1хы хз,...., х ), предполаган их непрерывно дифференцируемыми, однозначными и обращаюшимисн в нуль в начале координат хг = хз = ...
= х = О. Нроизводной Л'/ь11 функции Е в силу уравнений возмущенного движения (5) называется выражение — — Хь гЛ' дЕ <11 дх; з=г (10) Следовательно, а1'/а1 будет также функцией переменных хы .сз,..., х, которая непрерывна в области ~х,~ < Ь и обрешается в нуль при хг =хз = ° . ° =х =О. Кроме того, функции Е могут обладать более спепиальными свойствами. Введем некоторые определения. Функцию г'(хы хз,..., х ) назовем определенно-положительной в области ~х;~ < Ь, если всюду в этой области, кроме начала координат (где функция Е равна нулю), выполннется неравенство Е > О.
Если же выполняетсн неравенство 1' < О, то функция Е называется определенно-отрицательной. В том и другом случае функция Е называетсн зкакоолределекиой. Если в области ~х;~ < 6 функция Е может принимать значения только одного знака (г' > 0 или Е < 0), но может обращаться в нуль не только в начале координат, то она называется зкакопостоянкой (положительной или отрицаглелькой).
Если в области ~х„.~ < А функция г' может принимать как положительные, так и отридательные значения, то она называется знаколерелзенной в этой области. Например, при ьч = 2 функция 1' = хз †;гз знакопеременна, а функция Г = хз + хз зопределенно-положительна: функция же Г = хз знакопостоннна, так как она обращаетсл в нуль на оси Охз, а вне этой оси полозкительпа. Как узнать, будет функцил Е знакоопределенной или нет? Гели Е представляет собой квадратичную форму, то знакоопределенность ее )) 2.
Основные теоремы прямого метода гуяпунова 517 могкно установить при помощи известного критерия Сильвестра. Если 1' — форма нечетной степени, то она, очевидно, будет знакопеременной функцией. В приложениях Е часто бывает аналитической функцией в области ~ж,~ < Ь, если Ь достаточно малан величина. В таких случаях при решении вопроса о знакоопределенности функции бывает полезно следугощее легко доказываемое утверждение ': если величина Ь достаточно мала, то в области ~ж1~ < Ь знакоопределенность и знакопеременность формы сохраняются при добавлении к ней любой совокупности членов более высокого порядка.
При достаточно малых значениях ~с~ поверх- НОСТЬ Ъ'(Х1, жг,... Лт) = С, ГДŠŠ— ЗиаКООПРЕделенная функция. является замкнутой поверхностью, содержащей внутри себя начало координат. Для доказательства примем для определен- 1г=с, ности, что 1' определенно-положительна, и обозначим а точную нижюою грань функции Е на Рнс. 174 границе области ~лг~ < Ь. Так как функция Е определенно-положительна, то а > О. Итак, на границе области ~:г,~ < Ь 1г > а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
