markeev_book (522779), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Оно не может иметь и максимума, так как на малых участках прямого пути АоВА1Г действие минимально. Таким образом, если фокус, сопряженный с начальной точкой, лежит перед конечной точкой прямого пути, то действие по Гамильтояу не имеет на прямом пути ни минимума, ци максимума. Глава Х1П 482 11з (37), (38) и рассматпреннвга ваше экстремального свойства действия по Гамильтону следует, что првходящан через А и Н дуга бальшага круга лвлявтсн кратчайшей среди кривых, соединяющих А и В, если точка А" нв лвлсит на этой дуге, т.
е. если дуга меньше половины окружности большого круга. Упрджнкник 1. Н примере п. 217 построить окольдьий путь, на котором действие по Гвмнльтону меньше, чем нл прямом пути. 3 2. Принцип Мопертюи — Лагранжа 221. Изоэиергетическое варьиронаиие. Рассмотрим голономную консервативную или обобщенно консервативную систему. Ее функция Гамильтона не зависит от времени, и существует обобщенный интеграл энергии О (у1,, 11ем р1, ", р ) = ри Движение системы будем представлять в и-мерном координатном пространстве дт,.... дп '.
Пусть Ао и Ат — точки мого пространства, задаваемые соответственно координатами уп и д1 (1 = 1, 2,..., и). Пусть в начальный момент времени 1 = Гп система занимает положение, отвечающее точке Ав, и обобщенные скорости у1 1а, следовательно, и обобщенные импульсы рг) могут быть выбраны так, что при Г = Г, система займет положение, отвечающее точке Ат. Проходящую через точки Ао и Аг кривую 12) уг = ри(С) 11 = 1, 2,.... и,), вдоль которой удовлетворяются дифференциальные уравнения движения, назовем прямым путем системы 1см. рис. 171, где и = 3). На прямом пути функция Гамильтона постоянна и равна Ь, где величина 6 определяется начальными условиями.
Наряду с прямым путем рассмотрим другие кинематически возможные пути, бесконечно близкие к прямому, Зги пути будем называть окольными путями, если они: 1) проходят через одни и те же начальные и конечные положения Ап и Ат. 2) вдоль каждого окольного пути функция Гамильтона постоянна и равна величине 11, отвечающей прнмому пути. ЕА не в расширенном (н + 1)-мерном координатном пространстве, как вто было дри научении принципа Гамильтона Острограцского в предыдущем параграфе. З й. Принцип Мопертюи. Лоаранаео При таком изоэнергетическом варьировании время 11 — 16 переходя системы из начального положения в конечное пе обя- злтельно одинаково для прямого и окольных путей. Пусть, например, матсривльнан точка мвссой щ движется в отсутствие сил в плоскости Оюд. Зл движение по прнмому пути примем прнмолинейное движение вдоль оси Ою.
В начальный момент времени 1 = 0 точка находится в начале координвт О, Тогда на прямом пути к = 11 —,1. Из 226 — ~/ т интеграла энергии †'(т, + р ) = 6 следует, Рис. 171 е) И' = / Р г1дг. (3) ,е В предыдущем параграфе показано, что уравнении Лагранягв второго рода эквивалентны принципу Гамильтона — Остроградского, выражвющемуся в ствционврности действия по Гамильтону нв прямом пути системы (см.
равенство (17) п. 219). Лналогично, уравнения Якоби эк- гом. 120 книги: ГантмахерФ. Р. Лекции по аналитической механике. Мл 11аука, 1966. что на окольном пути выполняетсн неравенство х ( ~1 —,. Следовательно, по окольному пути невозможно прийти за одинаковое время 11 в то же положение, что и на прямом пути, если постонннвн й одинаковв для прямого и окольного путей. Рассматриваемый в этом параграфе принцип Мопертюи — Лагранжа дает критерий, позволяющий выделить прямой путь среди всех окольных, удовлстворяюших упомннутым выше свойствам 1 и 2. 222. Принцип Мопертюи — Лагранжа. При заданной константе энергии Ь уравнения движения консервативной или обобщенно консервативной системы могут быть записаны в форме уравнений Якоби (см. уравнения (36) п.
152). Эти уравнения имеют форму уравнений Ллгрлнжв второго рода, где в квчестве функции Лагранжа Ь выступает функция Якоби Р, и роль независимой переменной играет обобщенная координата дт. По аналогии с действием Я по Гамильтону введем' действие по у!агранжу: 484 Глава Х111 вивалентны условию стационарности действия по Лагранжу !4) бИ' = О. Равенство !4) выражает принцип Мопертюи — Лагранжа, заключающийся в том, что среди всех кинематпически возможных путей, удовлетворяющих услониял, описанным в предыдущем пункте, прямой путь выделяется тем, что для него действие по Лагранжу имеет стационарное зна !ение. Вопрос об экстремальных свойствах действия по Лагранжу решается точно так же, как и для принципа Гамильтона — Остроградского при помощи рассмотрении сопряженных кинетических фокусов.
Отметим, что в интеграле (3) полностью исключено время, и принцип (4) содержит только геометрические элементы. В такой форме принцип Мопертюи. Лагранжа впервые был представлен Якоби. Поэтому приведенную выше формулировку принцива Мопертюи-Лагранжа часто называют принципал наименьшего действия Якоби. Пусть система консервативна. Тогда функция Якоби Р вычисляется по формуле !38) п.
152 и действие по Лагранжу может быть преобразовано к виду ч с, И' = / —,й«11 = / 2Т дй (5) ,о со При применении принципа Мопертюи-.Лагранжа в форме (4), (5) следует помнить, что н (5) времн !1 не фиксируется, а может измениться при пароходе от прямого пути к окольному и от одного окольного пути к другому окольному. Кроме того, полная энергии 1' + П одна и та же на всех сравниваемых путях.
Выражение !5) для действия по Лагранжу можно записать иначе: 1 и н »„ Сика о! — Р /~~1 11 ~яг ° со о=! "=1 о « «См. уномннутую книгу К. Якоби «Лекции цо динамике». т. е. для консервативной системы действие по Лагранжу равно сумме работ количеств движения точен системы на соотеегнстеующих их леремещениях. ПРимеР 1 1ЛВижеиие мАтеРВАльнОЙ точки ИО инеРции ИА ГлАДкОЙ повегхности ).
Пусть материальная точка массой т движется по гладкой неподвижней пиеерхнапли под влиянием начального толчка в Л66 З 2. Принцип Мопертюи Лагранжа отсутствие поля сил ~П = 0). Тогда о = со = сопе1 и из (6) получаем, что И' = твл1, где 1 --. пройденный точкой путь. Нз принципа Якоби следует, что д1 = 11, т.
е. движение точки на поверхности происходит по геодезической кривойг. Если начальная и конечная точки Ао и Ач близки одни к другой,то действие И' минимально и геодезическая является кратчайшей кривой, лежащей на поеерхносгпи и соединяющей точки Ао и Ат. Вопрос о минимальносгпи действия решается в каждом конкретном случае при помощи привлечения кинетических фокусов. Если точка движетсн по развертывающейся поверхности (т. е. по поверхности, которую после изгибания можно наложигпь на плоскость), например по конусу или цилиндру, то дейспшие И' ни прямом пуп«и обнзишелвно будет минимальным, так как на плоскости прямые.
проходящие через одну и ту же «почку, никогда вновь не пересекаются (и, следовательно, кинетические фокусы отсутствуют). ПРимеР 2 1ДВнгйение мАТВРНАяьнай тОчки В ОДИОРОДнам Воле тн«ИЕОТИз). Эта задача была рассмотрена в и. 219 для иллюстрация принципа Гамильтона — Осгпроградского. Здесь мы ее применяем для иллюстрации принципа Мопертюи — Лагранжа, что поможет яснее представить разницу между этими принципами. Прямой путь представляет собой параболу, задаваемую уравнением (18) и. 219.
За окольный путь опять примем отрезок ОВ, лежащий на оси Ох (рис. 167). Угол гх считаем малым, так что прямой и окольный пути близки один к другому. Для обоих движений П = таз. Так как полная механическая энергия Т+ П должна быть одинаковой для прямого и окольного путей, гпо начальные скорости точки для обоих движений одинаковы и равны со. Но если на прямом пути время 1« движения точки определяется равенством (19) и. 219, то для окольного пути оно будет иным и вычисляется по формуле ОВ 2нон1пысола ао у Для параболического движения Т = —,т(х + з ) = —,т(㫠— 2сов1пггф+ уз8 )« 2 2 Геодезвчеокоя крвеол характеризуется тем, что ее длина имеет стационарное значение но сравнению с длинами других кривых, имеющих с геодезической одни и то що концы.
зСм. упомннутую работу Ф. В. Слудского «Заметка о начале наименылего дейст- винм 488! Глава Х1П а для прямолинейного движения 1 2 Т = — гпмо. 2 Дейсгпвие по Лагранжу для движения по параболе г, 2тоз вша о (8) и для движения по прямой 2тоо вш о 2тоо вш о з . з сова = К ' К 1 — в!!! о = 2тиовннп 1 г 1 . 4 К' 1 — — гйп о — — вьп о ( 2" 8 где многоточием обозначены члены выше чегпвертой степени относительно вйп о.
При достаточно малых значениях о величина (8) меньше величины (9), т. е. действие по Лагранжу на прямом пути меньше, чем на окольном. 223. Принцип Якоби и геодезические линии в координатном пространстве, Рассмотрим консервативную систему с п степенями свободы. Ее кинетическая энергия — определенно положительная квадратичная форма обобщенных скоростей е 1 Е! !Ч! ' Ч)ЧЧ 2 ~-з !,ь=! (10) йвз = 2Ть11 = )! пьь(д!, ..., Ч„) йдьйдь.
Отсюда следует. что г=-,'® . (12) Пусть Р и Р' -- две близкие точки координатного пространства дь,..., д„, задаваемые наборами координат дг, ..., Чв и д! + Идь,...,д„+ дд„. Введем в координатном пространстве метрику, определив квадрат расстонния ь1вз между точками Р и Р' при помощи удвоенной кинетической энергии 487 З л. Принцип Мопертюи. Лагранжа т. е. в метрике (1!) кинетическая энергия системы равна кинетической энергии изображающей точки в координатном пространстве1, если считать, что изображающая точка обладает массой, равной единице. Пусть система движется по инерции, т. е.
П = О. Из интеграла энергии Т+ П = 6 = сопз1 и формулы (12) тогда следует, что — Ди = ъ'26, (13) т. е. в метрике (11) движению консервативной системы по инерции отвечает равномерное движение изображающей точки в координатном пространстве, причем скорость ее движения равна и'26. Для этого движении действие по Лагранжу (14) ег е~ Чь л = ! Ргф, = 2 !' ьдь — пюге, =, 2!' «е е', е! (15) Область возможности движения в координатном пространстве определяется неравенством П < 6, которое получаетсн из интеграла энергии Т+П = 6 и определенной положительности кинетической энергии.
При П < 6 вместо метрики (11) введем в координатном пространстве другую метрику, определив квадрат расстояния с(а между двумя близкими точками Р и Р' по формуле йт' = (6 — П) ~ аги 4171 с!Ди. (10) г Которое теперь лиллетсл и-мерным рнмеиопым пространством с линейным элементом Нл, определенным по формуле (11). где ! = ъ 26(11 — йо) -- длина кривой, пройденной изображающей точкой за врсмн 11 — 1и. Из принципа Якоби следует, что б! = О, т. е. задача о нахождении траектории свелась к задаче дифференциальной геометрии о нахождении геодезической линии в координатном пространстве с метрикой (11).
Пусть теперь движение системы происходит в потенциальном поле (П ф 0). Тогда функция Якоби Р может быть вычислена по формуле (40) п. 152. Поэтому 488 Глава ХГП На границе области возможности движения метрика (16) имеет особенностги чем ближе кривая к границе, тем меныпе ее длина: в частности, длина любой кривой, лежащей на самой границе, равна нулю. Если П ( Ь, то метрика (16) не имеет особенностей. Из (15) получаем И" = у'йа, где а — длина дуги, пройденной изображающей точкой в координатном пространстве с метрикой (16). И нахождение траекторий снова свелось к нахождению геодезических линий в координатном пространстве (теперь в метрике (16)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
