markeev_book (522779), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Следовательно, согласно теореме 1 Ляпунова (сы. и. 226), при невыполнении неравенстви (32) имеет место неустойчивость'. БОО Г~ава Х»'р то разложение потенциальной энергии в рнд будет начинаться с квад- ратичной формы, имеющей постоянные коэффициенты: П = — й с»йп»»1й +... 1 'с 2х (2) Здесь многоточие обозначает совокупность членов, порядок которых относительно величин рй (1 = 1, 2, ...,п) больше второго. Будем пред- полагать, что квадратичная форма 1 — с»й»1»»1й »,й=1 (О) 2 = — 7 а»й(Ч» Чэ. ° ° ° ° »1»») Д» Чй 2 .2 Будем считать, что функции а;й (»11, ..., д„) аналитические в окрест- ности положения равновесия, и запишем их в виде рядов а»й(01, цш ..., д„) = агй + Здесь многоточие обозначает совокупность членов первого и более вы- соких порядков относительно рй (1 = 1, 2, ..., и), аш = аш(0, О...., 0) .— постоянные коэффициенты.
Функция Т запишется в виде ряда 1 ч ~~ а' Ый+ ° ° . 2 ~ »,й=1 где многоточие обозначает члены не ниже третьего порядка относительно до»)» (1, 2, ..., и). Будем считать, что выбор обобщенных является определенно-поло»кительной. Тогда точка»11 — — »»з — — ... —— »й, = 0 будет точкой строгого локального минимума функции П (и», »1з, ..., »1„) и, следовательно, согласно теореме Лагранжа, положение равновесия устойчиво. В силу устойчивости положения равновесия величины »1»,»), (» = 1, 2,..., в) будут малыми во все времн движения, если достаточно малы их начальные значения. Используя малость величин о», »)», можно упростить дифференциальные уравнения движения системы вблизи ее положения равновесия. Для этого можно заменить полные уравнения движении приближенными, сохраняя в них только линейные члены относительно д», »)» (1 = 1, 2, ..., п) и отбрасывая все нелинейные члены.
Еинетическая энергия системы имеет вид 501 () е. Малые колебания координат сделан так, что в положении равновесия определитель (18) и. 139 (при гп = и) отличен от нуля. Тогда квадратичная форма 1 ч — » ась д«дь (5) будет определенно-положительной относительно д«(» = 1, 2, ..., п). Уравнения движения запишем в виде уравнений Лагранжа второго рода — — — — '=О («=1,2,...,я).
«1 дй 01 (6) «(1 дд«дря Рассматривая зги уравнения при малых значениях величин Чо дь заменим в функции Лагранжа 1 = Т вЂ” П величины Т и П их разложениями (4) и (2). Тогда получим уравнения движения в виде (а«»у»+ с«ьди) +... = О (» = 1, 2, ..., и), (7) »=1 гце многоточием обозначена совокупность членов второго и более высоких порядков. Если их отбросить, то придем к линейной системе с постоянными ковффнциентами: 1 (а«яд» + с«»да) = О (» = 1, 2, ..., п), (8) Эти линейные уравнения получаются из уравнений (6), если считать, что в функции Лагранжа величины Т и П заменены нх приближенными выражениями (5) и (3). Теория малых колебаний консервативной системы вблизи устойчивого положения равновесия опирается на такую линеаризацию и рассматривает приближенные выражения (5) и (3) для Т и П как точные.
Когда говорят «малые колебания», то обычно имеют в виду движения, описываемые системой дифференциальных уравнений, полученной в результате лннеаризации полных (нелинейных) уравяений движенил. Б случае движений в окрестности положения равновесия консервативной системы линеаризация сводится. как мы видим, к получению Т и П в виде квадратичных форм (5) и (3). Для упрощения записи уравнения (8) удобно представить в 502 Глава ХЛ' векторно-матричной форме.
Пусть аы аж агг ... агп 1122 ° ° ° глгп А= апг апг ... апп Сгп Сап си С21 С12 сгг С= Г 1 Гпг Г~г1 Тогда Т = — (Ао. о), П вЂ” — (Со. я)г (0) и уравнения (8) запишутся в виде (10) Ао+ Со = О. 229. Главные координаты и главные колебания, Выясним структуру решений уравнений (8) (или (10)), описывающих малые колебания в окрестности пололгения равновесия. Для этого рассмотрим пару квадратичных форм (Ад ° о) = ~~~ а1йг11дл, Ьли1 Обе эти формы определенно-положительны.
Из линейной алгебры известно', что если даже олна из форм (11) была бы определепноположительной (за такую форму мы будем принимать первую из квадратичных форм (11)), то существует вещественная неособенная замена переменных О = ТУВ (ОЕ1 ТУ ~ О, д = (В1, Вг, ..., Вп)), (12) приводящая в сумме квадратов сразу обе квадратичные формы (11): 1См., например, гл. У1 книги: Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. Мл Наука, 107б. и (Ао ° и) = ~ В,'. 1=1 и (Сд ° д) = ~~~ с11111ай. (11) ай=1 503 'З' оь Малые колебания При этом величины Л, с точностью до порядка следования однозначно определяются первоначальными квадратичными формами и не зависят от выбора замены переменных (12).
В нашем случае все Л. (» = 1, 2....., и) положительны в силу того, что П определенно-положительна. Отметим, что если в окрестности точки цз = аз = ... = ца = О координатного пространства оы аз, ..., о„ ввести евклидову структуру при помощи удвоенной кинетической энергии 2Т. т. е. принять за скалярное произведение векторов и и е величину (Аи е), то преобразование (12) можно выбрать ортогональным в смысле этой евклидовой структуры. Ото означает, что, если и О = 1, 2, ..., и) — »-й столбец матрицы С, т. е. замела переменных (12) имеет вид п=~ донь 1=1 (14) то выполняется условие нормировки (15) (Аьй ьВ) = 4,, где дМ символ Кронекера (дМ = 1, если г = » и б;.
= О, если 1 ф»). Так как обобщенные скорости а; и д. связаны теми же соотношениями, что и обобщенные координаты а, и д,ч п= 1»В, т = -' ~ ~' д,', И = —,' ~ Л» д,'. (18) »=з »=з Обобщенные координаты д» называются главными, или нормальными координатами.
В главных координатах уравнепил движения (8) запишутсн в виде и не связанных одно с другим уравнений второго порядка 01 + л»д = О, 0 = 1., 2,..., я). (17) Так как все Л. положительньц то каждое из этих уравнений описывает колебания гармонического осциллятора: д = с»в1п(ы,1+а ) (» = 1, 2....., н). (18) то в первой из формул (13) можно величины д; заменить на ць а ве- личины д, на д . В новых переменных кинетическая и потевциальная энергия имеют вид ООб Глава ХГ1 Здесь вг = ,/Л вЂ” частоты колебаний, с, од — произвольные постоянные.
Из (14) и (18) получаем общее реп~ение уравнений (8) (или (10)) о = ~ ~с.и е1п(вл 1+ о ). (19) Эта формула охватывает все решения системы (8). Пусть среди постоянных с,. (у = 1, 2,..., я) отлична от нуля только одна постоянная ел. Тогда из (19) получаем ОУ = слыл е!п(ылг, ол). (20) Это решение описывает колебание системьО которое называют й-м главным, или нормальным колебанием. Вектор иь называют амплитудным вектором й-го главного колебания . В й-м главном колебании все обобщенные координаты совершают гармонические колебания с одной и той же частотой ыл, отношение амплитуд колебаний отдельных обобщенных координат определяется отнопзением соответствующих компонент амплитудных векторов. При практическом нахождении решения (19) можно поступать следующим образом.
Ищем решение системы (10) в виде а = из1п(ы1+ о). Подставив это выражение для о в уравнение (10) и сократив затем на е1п(ог1+ о). получим уравнение для амплитудного вектора ы (С вЂ” ЛА)и = 0 (Л = ыз). (21) Чтобы зто уравнение имело нетривиальное решение относительно компонент амплитудного вектора и, надо потребовать, чтобы величина Л удовлетворяла уравнению г1е1(С вЂ” ЛА) = О.
(22) Это уравнение называется уравнением частот, или веновгнм уравнением. Из предыдущего изложения теории главных колебаний следует, что оно имеет только положительные решения; каждому корню Лд етого уравнения соответствует амплитудный вектор ид (з = 1., 2, ..., н), причем если какой-либо корень Ль уравнения (22) будет кратным, то всегла можно найти ровно столько соответствующих ему линейно независимых амплитудных векторов, какова его кратность. Амплитудные векторы из уравнении (21) находятся с точностью до произвольного постоянного множителя. Их нормировка (если она требуетсн) производится в соответствии с условием (15). 505 1' 2.
Малые колебания 11гимвг 1 (Мллыв колввлния двойного ылятникл). Рассмотрим двойной маятншц движущийся в вертикальной плоскости в по.ье тяжести (рис. 15). Вотпенциальная энергия маятника найдена в прильере 3 п. 54: П = —,— тК1(3 сов ьз+ сое ф). 1 Кинетическая энергия вычисляется по формуле (см. пример 2 п. 215) Т= — т! ~хф +рьйсое(!о — ф)+ гф ~. 1 з14 г 1 'з1 2 ь3 3 Аналогично, учитывая только члены второго порядка малости в разло- жении кинетической энергии в ряд, имеем 7 1 1г (4;а+д,+ 1~г) Если ввести обозначение д' = (ю, зр), то матрицы А и С в выражени- ях (О) будут такими: 4 1 3 2 3 О О А = зп! С = гпК! 1 1 2 3 Уравнение частот (22) монсет быть записано в виде 2 7Л вЂ” 42 — Л+ 27 — = О.
Оно имеет корни Ль = 3 1+ 7 —, Лз = 3 1 — 7 !. (23) Существует положение равновесия маятника, когда оба стержня занимают вертикальное положение, а ~р = ф = О. В этом пололсении потенциальная энергия маятника лшнимальна и равновесие устойчиво. Исследуем малые колебания маятника вблизи этого положения равновесия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
