markeev_book (522779), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Ес ш отбросить несущественное постоянное слагаемое — 2тК! в разложении функции П в ряд в окрестности положения разновес~ я ьо = ю = 0 и сохранить только члены второго порядка малости, то получим 505 Тггава Х1Р Частоты иг; главных колебаний вычисллютса по фоРмУлам щз = ° /Лзд (г = 1г 2). Из уравнения (21) и условий нормировки (15) получаем следующие выражения для амплитудных векторов и, отвечающих частотам аг; (г' = 1, 2) г — 1 — ч/7 5+ чг7 Таким образом, общее решение уравнений маггых колебаний двойного ма- ятника будет такилг: гр — 1 — ч/7 — 1+ г/7 = г:г,— яггг(гог1+ ог) + гз г — ггп(ьгзг + оз)г ф 5+ гг7 5 — Ч7 (25) где с ч аз (г' = 1, 2) произвольные постоянные.
Первое и второе главные гго гебания отвечают значениям постоянных сг у: О, сз = 0 и сг = О, сз ф 0 соответственно. Отношения йг (~ = 1, 2) амплитуд колебаний углов гр и ф в первом и втором главных колебаниях и направления отклонений стержней от вертикали характеризуются величинами 1 + ч/7 1 — 2ч/7 5+ /7 У 1 — ч'7 1 + 2ч/7 ч/7 9 а б Рис. 173 которые называются коэффициентами форм главных колебаний.
При первом главном колебашш (с большей частотой ыг) стерлсни в любой момент времени будут откгонены от вертикали в разные стороны (рис. 173г а), а при втором главном колебании (с, меньшей часгпотой агз) — в одну и ту же сторону (рис. 173, б). 230. Колебания консервативной системы под влиянием внешних периодических сил. Пусть к точкам консервативной системы приложены внешние силы, которым отвечают обобщенные силы ь)г = Щ(г) (г = 1,2г...,п). Влияние этих сил на колебания системы вблизи устойчивого положения равновесия удобно исследовать, если воспользоваться главными 507 з 2ч Малые колебания бА= ~~ Ц»ба» = ~~ О,бдэ »=1 »=» (26) но согласно замене переменных (12) ба» = ~~~ и;-бд;. 0;=~~ иМ0, »=» Поэтому и и и и / и Я»бд» = ~~ (»; ~~ и,бд» = ~ ( ~~ »нЯ» бд,.
(27) и=1 »=» »=1 »=1 Из равенств (26) и (27) следует, что (28) В нормальных координатах малые колебания консервативной системы с учетом внешних сил будут описыватьсл уравнениями О, + о»зд» = 0,(1) (у = 1, 2,..., и). (29) Пусть внешние силы Щ(1) — — периодические функции времени с перио- дом 2л,»О и такие, что обобщенные силы (28) представимы в виде рядов Фурье 0» = ~~ Ь»яз1п(Ю1+о»л) О =1, 2,..., и) л=о (30) Здесь б,ь, о»л (» = 1, 2,..., и; к = О, 1, 2,... ) — постоянные величины. Общее решение уравнений (29) (при к(1 у': о»») имеет вид 0 = с ейп(ш 1+ о ) + 0" (1), (81) координатами О», дз, ..., ди, введенными в предыдущем пункте. Силам Я»(1) в координатах о, (ю = 1, 2,..., и) отвеча~от обобщенные силы 0 (1) в главных координатах 0 (» = 1, 2, ..., и).
Длл нахождения величин 0»(1) приравнпем выражение для элементарной работы сил в координатах 0» и д". Ггава Х1'г' 508 где сзь ат — произвольные постоянные, а через О,"(1) обозначены сла- гаемые 0* = ~ ~ а1п(кй1+ ать) (у = 1, 2,..., и), (32) — Й'й' которые появились в общем решении из-за наличия внешних периодических сил. Из (14) и (ЗЦ получаем о ь и = ~~> суп. Йп(ытэ + от) + ~~~ 01(1)иу.
1=1 (33) Первая сумма в (33) представаяет свободные колебания, а вторая вынужденные колебании системы, возникающие из-за влияния внешних периодических сил. Голи же при каком-либо значении числа й окажется, что 611 = цт для некоторого у, то при Ь ь ф 0 решение в форме (31), (32) непригодно, так как в сумме (32) будет слагаемое с нулевым знаменателем, Говорят, что в этом случае имеет место резонанс в вынужденных колебаниях системы. Каким будет решение уравнения (29) при резонансе? Для примера рассмотрим одно уравнение вида О+ы 0 = авшш1. Общее решение этого уравнения имеет вид (34) 0 = са1п(~А+ а) + 0*(1), (35) где с, а -- произвольные постоянные, а 0*(1) = — —,1схж ~Л. 2ы (36) Функция 0*(1) является неограниченной.
Колебания, описываемые уравнением (34), узке пе будут малыми. А потому для описания движения вблизи положения равновесия уравнения (34) должны быть заменены другими уравнениями, учитывающими отброшенные при лииеарнзации нелинейные члены в полных уравненинх движения. Так в данном конкретном примере мы приходим к необходимости теории нелинейных колебаний. з К. Малые колебания 11РигикР 1 (Плпсииы кплкнАнин тнкРЛОГО туа!А нА нлз!интичкккпй опнитк). Дифференциальное уравнение, описывающее плоские движения твердого тела в центральном ньютоновсколг гравитациотгом поле, имеет вид (сы.
и. 128) (1+ е сова) — 2еяпи — + 3 ягг!рсое!о = 2еяпи, (37) 4 уг .. дгр А — В !!из ди С !12 |р г1гр (1 + е сов и ) — 2е вт и — + иго~ !о = 2 е вт и. доз д (38) . А — В Здесь введено обозначение иго — — 3 . Тазг как моменты инерции удовлетворяют неравенству треугольника А — В < С и по предположе- нию А > В, то О < иго < 3 (39) Вынужденные колебания спутника, описываемые дифференциальн м уравнением (38), иигем в в!где ряда по степе!!ям е гр* = егрг + е грэ+ ..
2 (40) Подставив это разложение в уравнение (38) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е в его обеих час ях. получим линейные не- однородные дифференциальные уравнения для функций грг, лог,....,г(згя функции грг имеем уравнение гР грг +агогр! = 2вгпи. йиз (Л1) где А и  — моменты инерции тела относительно его главных центральных осей инерции Ох и Оу, которые для плоских движений все время располоясеггы в плоскости орбиты, С момент инерции тела относительно оси, проходящей через центпр масс перпендику ярно плоскости орбиты! уг — угол между осью Оу и осью ОУ, направлен!!ой вдоль радиуса-вектора центра масс тела относительно притягивающего центра, е эксцентриситет орбитлг, О = с < 1.
Ла круговой орбите существует положение раяговесия твердого тела в орбитальной системе координат, отвечающее решению ~р = О уравнения (37) при е = О. При условии А > В положение равновесия устойчиво. Предполагая это условие вьтолненнылг, рассмотрим малые плоские колебания твердого тела вблизи по гожения го = О„вызываемые эллиптичностью орбиты. Эксцентриситет орбиты считаем малой величиной. Диггеаризуя уравнение (37), получаем 310 Глава ХГУ Вз (40), (41) находим решение, описывающее вынужденные колебан я тела, в виде ~р* =, ' 61пи+ ..
шо (42) (43) шо = 1 + р (О < (7з! « 1). В ураонении (37) сделаемз химену переменных 97 = гс, где с = еггз. Подсгпавим это значение 97 в уравнение (37) и представив обе его части в виде рядов по степеням г, получим (после деления обеих частей на е) левкое уравнение: йз~ Й + озф = сз ( ~оф~ + 2 нш и) +..., (44) где многоточие обозначает члепьь вьгизе второго порядка ма гости от- носительно е. гСмд Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников. М.: ВИНИТИ, 1976.
(Итоги науки и техники. Сер. айсследование космического пространсгва»; Т. М). зМы не даем здесь обоснования исследования колебаний при резонансе и в случае. близком к резонансному. О строгом обосновании излагаемой процедуры см. статьи: Маркеса А. П., Чеховская Т.
Н. О резонансных периодических решениях гамильтоновых систем. рожлаюшихся из положения равновесии М ПММ. 1962. Т. 46, вып. 1. С. 27 — ЗЗл Хшюстоваи.В. О движении гамильтоновой системы с одной степенью свободы при резонансе в вынужденных колебаниях М Известия РАН. МТТ, 1996, йй 3, С. 167-175. Эти колебания вызваны неравномерностью движения центра масс тела по эллиптической орбите. В динимике спутников они носят название эксцентриситетных колебаний. Утверждение о существовании эксцентриситетных колебаний (42) мы делаем здесь без обоснования. Можно, однако, строго показатьг, что при шо 7'.
-1 нелинейное уравнение (37) действительно имеет решение, аналитическое по с при достаточно малых е и переходяиьее при е = 0 в полоясепие равновесия со = О, причем разложение этого решения в ряд начинается с члена первой степени по е, явно выписанного в формуле (42). При изб = 1 имеет место резонанс в вынулсденных колебаниях. Решение (42), полученное при помощи линеаризации, не имеет смысла при резонансе, и для исследования движения тела вблизи положения ~р = 0 надо использовать нелинейное уравнение движения (37). Будем считать, что шо мало отличается от ед1лницыг 511 г 2.
Малые ко тбокия Д т приближенного исследован я этого уравнения будем применить теорию возмущений (см. г 7 гл. Х1). Полож м — = чар. дс,' (= — д, 1 чГи во (45) Н=2юо(ц +р) — с 6у + ' ц +.. ч/~а (46) Введем новые канонически сопряженные переменные Яд, Р при помощи уннволвктнлго кпкоончегкого преобразования (см. пример 6 и. 170) д = ьГ2Р Редп Я, р = ~/2Р сов|~. (47) Тогда Н = щвР— ег ! —,Р (3 — 4 сов 2Я + сов 4Я) + 1 12 И6) + ь1щ [соеЯ вЂ” и) — совЯ+и)] +.. Г2Р Для упрощения уравнений двизкеиия введем переменные Я~', Р' при по- мощи близкого к тождественному унивалентного канонического преоб- разования Я, Р -ь Я*, Р*, задаваемого при помощи производящей функ- ции Я~ +е Вг(О~ Р; и) + Нов я функция Гамильтона Н' определяется по формуле 1см.
п. 174) Н* =Н+ег з +..., г ддг ди в правой части которой старые переменные Г), Р должны быть заме- нены на их выражения через иооые переменные (,?*, Р*, получаемые из равенств з ддг ь гддг (,)* =(,)+ г Р, +..., Р = Р'+е, + .. (49) Вььчисления показывают, что если функцию Яг взять в виде Яг = — ч я|пЯ+и) — Р* (Кв1п2Сг — в1п4Я), у ~о язв+1' 48юо Тогди уравнение (44) может бьипь записано в эквивалентной форме в виде канонических уравнений с функцией Гамильтона (д .. координата, р импульс) 512 Глава ХГЪ то Л* = швР— ег — Р* +, совЩ* — и) + ...
(50) Сделаем еще одну каноническую замену С)*, Р* ь Ф, Л по формулам (51) Тогда, учитывая равенство (43) и пренебрегая членами выше второго порядка м ласти относительно г и р., получаем приближенное выраже- ние для новой функции Гамильтона в виде Я = рЛ вЂ” сг (1Лг + у'2Л сов Ф), (52) Соответствующая приближенная система дифференциальных уравне- ний второго порядка, описывающая плоское двизкекие твердого тела при резонансе или в случае, близком к резонансному, имеет вид а'г дН 2 1 1 йЛ дК 2 — =,и — е —,Л+ сов Ф, — ' = — = — е чг2Лг1пФ.
йи дЛ ,2Л !: йи дФ (53) 4 — Лг + ъ'2Л сов Ф = О. Л<Л =27. которых исходное системе (53), то значения 1с = 0 не Учитывая, что ~ сов Ф~ < 1, получаем отсюда, что Если учесть цепочку замен переменных, при помощи уравнение движения (37) приведено к приближенной получим, что отклонение угла ~р от его равновесного превосходит величины у'2Л, е 4 = 2 К2ее. дта система уравнений имеет первый интеграл 74 = 6 = сопв1 и, следовательно, интегрируется в квадратурах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
