markeev_book (522779), страница 88
Текст из файла (страница 88)
«См. уже упомянутую книгу Н.Г. Четаена «Устойчивость движении. Работы по аналитической механикек 527 З А Устойчивость по первому праблилсенаю Доказательство. Достаточно заметить, что при условиях теоремы 2 выполняются условия теоремы Чстасва о неустойчивости. Действительно, пусть функция Г определенно-положительна. Тогда, в силу того, что Г не являетсн знакопостоянной функцией, противоположного с 1' знака, существует область И > О, расположенная сколь угодно близко к началу координат, и в этой области $' > О.
Теорема (Вторая теорема Ляпунова о неустойчивости движения). Ясли дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что существует функция г' такал, что ее производная, в силу этих уравнений, в области (1) может быть представлена в виде (27) 17 = ю1г + И; где ю положительная постонннал, а И" али тождественно обраща ется в нуль, или представляет собой знакопостоянную функцию, и если в последнем случае функция И не является знакопостоянной, противополозкного с И' знака, то невозмущенное движение неустойчиво. Доказательство. Как и в предыдущем случае, для доказательства теоремы 3 достаточно проверить, что прн выполнении ее условий выполняьотсп также и условия теоремы Четаева о неустойчивости.
Если И' тождественно равна нулю, то из (27) сразу следует, что функция Г положительна в области 1г > О, которая обязательно существует в сколь угодно малой окрестности начала координат (при необходимости, когда, например, функпня И определенно-отрицательна, надо вместо И взять функцикз — И). Следовательно, если И' = О., то условия теоремы Четаева выполнены. Пусть теперь И" не равна тождественно нулю и для определенности будем ее считать зпакопостоякной (положительной). Тогда, в силу того, что 1' не является знакопостоянной, протиноположного с И' знака, в любой сколь угодно малой окрестности начала координат существует область И > О. По из (27) прн И' > О следует, что во всей окрестнос- ти (1) Г>щ12 Следовательно, в области Р > О производнап Г положительна. Поэтому и в этом случае условия теоремы Четаева выполнены.
О 3. Устойчивость по первому приближению 236. Постановка задачи. Будем рассматривать устойчивость установившихся двиясений. Дифференциальные уравнения возмущсн- о28 глава Хр ного движения запишем в виде ~ = Ат+ Х~ш), Ф вЂ” = Аш, гйш г1б (2) которые получаютсн из полных уравнений возмущенного движения (1), если в последних отбросить нелинейные относительно лг, ит,..., ш члены. Рассмотрим уравнения (2) подробнее. Пусть Лг, Лз,..., Л,„— корни характеристического уравнения г)еб(А — ЛЕ) = О, а Ь собственный вектор матрицы А, отвечающий корню Л ..
Если матрица А приводится к диагональной форме, то существуют гп линейно независимых собственных векторов и общее решение системы (1) имеет види ш = '5 суй е ", где с, — произвольные постоянные. Если же матрица А к диагональной форме не приводится, то общее решение системы (2) будет записываться в виде и = гт с,;йуе л,г у=т (б) ГСреди величин Лг.
Лт,.... Л,„могут быть и равные. ВСМо ИапрИМЕр., Га. 3 уЧЕбнниа: ПОНтряГИН Л.С. ОбЫКНОВЕННЫЕ днффЕрЕННнаавные уравнения. Мо Наука, !970. где ш — вектор-столбец, ш' = (;см шз,..., ш,„); А — постоянная квадратная матрица т-го порядка; Х вЂ” вектор-функция от лг,жт,... „лом Х' = (ХЛ.Хв,...,Хго); Функции Хг(г' = 1, 2,..., т) будем считать аналитическими в окрестности начала координат лг —— лв — †... — — ш„, = О, причем их разложения в ряды начинаютсн с членов не ниже второго порядка малости относительно жт, шз,..., я В приложениях вопрос об устойчивости движения очень часто исследуется при помощи уравнений первого приближения 529 ГЗ 8.
устойчивость по первому приближепщо где компоненты векторов кс являются многочлснами относительно Е Например, общее решение системы хг = Лхг + хз, хз = Лхз имеет внд х,г 1 лс 1 лс =сг „е -ссз е хз Догсизательство, Если в уравнениях (1) сделать замену переменных по формуле х = Су (деб С ф О), (6) то они станут такими: — = Вр+ у(д)с г1Д а1 (7) где В = С гАС, а Ъ'(р) = С гХ(Су). Матрицу С (которая, вообще говоря, комплексная) выберем так, чтобы матрица В была нормальной Если бы уравненин возмущенного движения были линейными, то по их общему решению, (4) или (5), вопрос об устойчивости нсвозмущенного движения решался бы очень просто; в частности, необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости была бы отрицательность вещественных частей всех корней характеристического уравнения; при наличии же хотя бы одного корня с положительной вещественной частью движение было бы неустойчивым.
Но, как правило, уравнении возмущенного движения нелинейны. Поэтому возникает задача об определении условий, при которых выводы об устойчивости, полученные из анализа уравнений первого приближения (2), справедливы и для полных уравнений возмущенного движения (1) при любых нелинейных членах Хг, Хз,..., Хпы Эта задача была полностью решена Ляпуновым. 237. Теорема об устойчивости по первому приближению. Один нз основных результатов, полученных Лнпуновым при репюнии задачи об устойчивости по первому приближению, можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема. Ес ги все корни характеристического уривнения (3) имеют отрицательные вещественные части, то невозмущенное движение асилттотически устойчиво независимо от нелинейных членов в (1). Если же среди корней хирактеристического уравнения есть хотя бы один с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво тоже независимо от нелинейных членов в (1).
530 7лааа Х'г' Л . 1 О ... О О О Ла 1 ... О О о о л ... о о В= о о о ... л о о о ... о л В уравнениях (7) сделаем еще одну вспомогательную замену перемен- ных по формулам уй = ртз 17 = 1, 2,..., ьч), где р — — положительное, вообще говоря, малое число: условие для бо- лее конкретного его выбора будет видно из дальнейшего. В перемен- ных 21, 22,..., 2га система (7) запипсется в виде с121 — = Л121 + рсс,22 -1- 71, с11 Л222 + РСС222 + ~2 16) с12ха сХС Л аж+а .
Здесь а, равняется О или 1; _#_1, У2,..., Уа, нелинейные члены относительно переменных 21, 22,..., 2 . являющихся, вообще говоря, комплексными. Пусть г, и лу — действительная и мнимая части корня Лу характеристического уравнения (3), т. е. Лу = гу + сау О = 1, 2,..., 712); здесь 2' — мнимая единица. а) ПУсть г; ( О дла всех 7' = 1, 2,... с си. ДлЯ доказательства асимптотической устойчивости невозмущенного движения рассмотрим фупкцисо 1с=~™ 2, 1=1 (о) ссм. га. 6 книги: ГантмехерФ.
Р. Теории матриц. Ма Паука. 1967. жордановой формой матрицы А, т. е. чтобы матрица В состояла из од- ной или нескольких жордановых клеток, расположенных по ее главной диагонали, а все элементы, не входящие в жордановы клетки, равнялись бы нулюс: 531 З А Устойчивость по первому приллижеиию где чертой обозначена комплексно сопряженная величина.
функция (9) являетсн определенно-положительной функцией исходных переменных т1, тз....., т . Для ее производной в силу уравнений (8) получаем выражение 1' = 2 '> г зтзо Ч- 11Р -~ ~ ~(етний Ч- з У ), (10) где Š— — вещественная квадратичная форма, которан тождественно равна нулю, если все коэффиционты а: в системе (8) равны нулю, т. е. если матрица Л приводится к диагональной форме. Функция (10) нвляется вещественной функцией исходных переменных ж1. жз,..., тт. Так как гт < 0 (1 = 1, 2,..., т), то квадратичнан часть функции 1' будет определенно-отрицательной функцией, если число р, достаточно мало. А так как последнии сумма в правой части выражении (10) содержит совокупность членов не ниже третьего порядка, то и вся фушсция $' при достаточно малых р будет определенпоотрицательной.
На основании теоремы Ляпунова об асимпотической устойчивости получаем отсюда вывод об асимптотической устойчивости невозмущенного движения, если вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательны. б) Пусть теперь 11 > О, 1'з > О,..., ги > О, гьч1 < О,..., гт < О. Длн доказательства неустойчивости невозмущснного движении воспользуемся второй теоремой Ляпунова о неустойчивости. Пусть (11) Ее производнун> в силу уравнений (8) — 2~~ г з.з.; Ч-2 ~~1 гоа х, +РС— 1=1 1=ЬЕ1 — ~',(з,гт+з,гт)+ 'ч (зтгт+з,ят) можно записать в виде (12) 532 !лава Х'у' где яг — пока неопределенное положительное число, а И' = ~~ (ге — 2г )г г -р ~ (2гу — ю)гусу + рС— 1=в.1-1 — ~(31гз-Р Д)+ ') (Узгу+гугз). (13) У=Ь-~-1 Все случаи, которые могут представиться при решении задачи об устойчиности, можно разбить на некритические и критические.
В некритических случанх вопрос об устойчивости решается рассмотрением уравнений первого приближении (2). В критических случаях уравнений первого приближения недостаточно: для решении задачи об устойчивости обязательно требуется привлечение нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения (1). Из доказанной выше теоремы следует, что критическими будут те и только то случаи, когда характеристическое уравнение (2) не имеет корней с положительными вещественными частнми, но имеет корни с вещественными частнми, равными нулю. 238. Критерий Рауса — Гурвица.
Для практического использования теоремы об устойчивости по первому приближению важно определить знаки вещественных частей характеристического уравнения. В частности, желательно иметь критерий, позволяющий по коэффициен- зЛннунонА.М, И вопросу об устойчивости пнижонин О Собр. соч, т. 2, Мч Лг Ини-но АН СССР. 1966. Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
