markeev_book (522779), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Рассмотрим теперь значения функции 1г на непрерывной кривой, соединяющей начало координат с какой-либо точкой, лежащей па границе области ~к,~ < /1. В начале этой кривой Е = О, а в конце кривой значения функции не меньше чем а. В силу непрерывности функции 1г в некоторой точке рассматриваемой кривой Е обязательно принимает значение с, если только с < а, что и будем предполагать. Это означает, что выбранная кривая пересекает поверхность Е = с.
Так как рассматриваемая кривая может быть произвольной, то отсюда следует, что поверхность 1г = с замкнута и окружает начало координат. Если 1г — определенно-положительная функция и ст > сз, то поверхность Е = сз находится внутри поверхности 1' = сг, причем, в силу однозначности функции 1г, эти поверхности не имеют общих точек (рис. 174). Если с — 1 О, то семейство замкнутых поверхностей 1' = с стягивается в точку, совпада1ощую с началом координат.
Отметим, что если Е будет знакопостоянной или знакопеременной функцией, то поверхности Е = с при достаточно малых с разомкнуты. 3 2, Основные теоремы прямого метода Ляпунова 233. Теорема Ляпунова об устойчивости движения . В этом параграфе рассмотрены теоремы., составляющие основу прямого мето- См., например, 17 книги; Малкин Н. Г. Теории устойчивости движения. Мл Наука, 1966.
Глана ХУ да Ляпунова в теории устойчивости движения. Будем изучать только установившиеся движения. Сначала рассмотрим теорему Ляпунова об устойчивости. Теорема. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что существует знакоопределеннан функция Ъ', производнак которой 1' в силу этих уравнений является или знанопостоянной функцией противоположного знака с 1г, или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво.
Доказательство. Пусть, например, $' определенно-положительна. Тогда в окрестности ~х1~ < Ь (1 = 1, 2,..., т), где Ь вЂ” достаточно малая величина, точка хт = хз = ... = х = О будет точкой строгого локального минимума фуикпии 1г. Так как Г ( О, то на траекториях уравнений возмущенного движения в области (Ц 1г будет певозрастаюшей функцией. Дальнейшее доквзательство сводится к почти дословному повторению рассу1кдений, проведенных в и. 225 при доказательстве теоремы Лагранжа. Теорема Ляпунова дает достаточные условии устойчивости движения. Применение этой теоремы требует знания функции 1г, обладакзщей вполне определенными свойствами, Общих методов построения таких функций нет. Однако во многих практически важных случаях функци!о 1' можно построить, если известны первые интегралы уравнений возмущенного движения.
Например, при доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы в качестве функции Ъ' годилась полная механическая энергия системы 1'. Пусть !»1, Гз,..., Г1ь --- первые интегралы ураннений возмущенного движения.
Без ограничения общности можно считать, что функции Е~з(хт, хз,...., хж) (» = 1, 2,..., й) обраща!отея в нуль в начале координат т! = хз = ... = х,„= О. Пусть ни одна из функций с! не является знакоопределенной. Будем искать' функцию '!япунова в виде связки первых интегралов Г»з (»' = 1, 2,..., !с): Р = Л!(Г! +... + Л,(»ь + !!1Е12 + " + !!ьД'„ где Л;, р: (» = 1, 2,..., й) — — неопределенные постоннные.
Ясно, что 1г будет первым интегралом уравнений возмущенного движения. 'Смл Четаеви.Г. Устойчивость движения. Работы по аиалитической механике. Мл Изд-во АИ ССС1', 1962. По вопросу о методе иитегрвльиых связок Четаева см. такзке работу: Поягарицкий Г. К. О построении функции Ляпуиова из интегралов уравнений возмуглеииого движения О ПММ. 1958. т. 22, вып. 2. С. 145-154. 'З 2. Основные теоремы прямого метода Ляпунова 519 Если постоянные Аз, р: удастся выбрать так, чтобы функция 1' была определенно-положительной, то она будет удовлетворять всем условинм теоремы Ляпунова об устойчивости движения.
При этом в тех случаях, когда первые интегралы Сд О = 1, 2,..., к) могут быть найдены из каких-либо общих соображений (например, при помощи основных теорем динамики), .отпадает необходимость составления самих уравнений возмущенного движения, что существенно упрощает исследование. Пгимкг 1 (Устойчивость стлционлгных вглщкний твкгдого тклл в слхчлк Эйлкгл), Как показано в п. 99, при стациоларнгах вращениях твердого тела в случае Эйлера вращение происходит с постоянной по величине угловой скоростью вокруг любой из главных осей инериии тела для неподвижной точки.
Изучим устойчивость движения, в котором р=ш=сопзь, у=О, г=О. (2) Движение (2) соответствует вращению вокруг оси, отвечающей моменту инерции А. Как показано в и. 98, динамические уравнения Эйлера имеют два первых интеграла Гз — — 2Т = Ар + Во~+Сгз, Г = Кз = А'р'+В'у'+ Сзгз (3) Введелч возмущения х, у, г по формулам (4) р=ю+х, у=у., г =г. Уравнения возмущенного движения будут иметь первые интегралы Гг 4хз + В уз + Сгз + 2Ашх Гг Аззг + Вз уз + Сзгз + 2Азшх (5) Последние выражения получены путем подстановки р, у, т из (4) в интегралы 13) и отбрасьаванием несуигественных постоянных в получившихся выражениях для Г1 и Гз. Функцию 1' возьмем в виде 1' = Г,г+ Гз'. (6) Ноно, что значения функции 1' неотрицательны при любых х, у, г. Покажем, что если А — наименьший или наибольший из моменгпов инерции, то функция Г определенно-положительна.
Для этого достаточно показать, что при малых х, у, г система уравнений С =О, 529 Гтава ХУ имеет единственное решение х = у = 2 = О Из системы (7) следует, чгпо ЛО1 — 172 = В(А — В)уз+С(А — С)22 = О. Если А . наименьший или наибольший из моментов инерции, то последнее равенство возмоясно только когда у = 2 = О. Из (7) тогда следуетг что х = О или х = — 2н1, и при достаточно мальгх х, у, 2 систелга (7) имеет единственное решение х = у = 2 = О. Следовательно, стационарные вращения твердого тела в случае Эйлера вокруг оси наименьшего или наибольшего из моментов инерции устойчивы в смысле Ляпунова по отношению к возмущснинм величин р, у, с.
Этот факт хорошо иллюстрируется картиной расположения полодий па эллипсоиде инерции (см. рнс. 99): вблизи осей Ох и 02 эллипсоида инерции, олгвечающих наибольшему и наименьшелгу моментам инерцииг полодии являются замкнутыми кривыми, охватывающими соответствующие оси. Напротив, вблизи оси Оу, отвечаюиьей среднему по величпне моменту инерции, володин не охвагпывают этой оси, и при малом возмущении стационарного вращения вокруг оси Оу вектор угловой скорости с течением времени покидает окрестность этой оси. Ниже в и. 235 мы, строго докажем неустойчивость стационарного врагцения вокруг оси среднего по величине момента инерции тела. Пример 2 (УСтойчипОСть ПРАщепип тпжелОГО телА ВОКРУГ пеппдппгкпой точки в случАе ЛАГРАнжА ).
Двизкение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки описываетсн системой дифференциальных уравнений (32), (35) и. 105. В случае Лагранжа Л = В, а, = Ь = О и уравнения движения имеют четыре первых интеграла (71 — — Л(р + д~) + Сз'2 + 2Рсуз = сопз1, ~г = Л(ргут + 11"12) + Сз Тз = сопз1, 2 2 2 = 71 + 72 ч 73 114 = г = соп81. Уравнения движения имеют частное решение у=О, г'=г'б=соп81, 'у1=0, 'уг=О, 'уз=1, (9) р = О., которому отвечает вращение твердого тела вокруг вертикально расположенной оси Ог с постоянной угловой скоростью го. Рассмотрим усгпойчивостыпакого движен я тела по отпношению к возмуизениям веЛиЧив Рг ао Г, У1, Уг, УЗ.
НОЛОж М р=х1, й=тг, 1'=гб+ггз, уз=хл, уз=ха, уз=1+тек 1Сыд Четаев П. Г. Об устойчивости вращения твердого тела с одной неподвижной точкой в случае Лаграняга Н ПММ.— -1884.— Т. 18, вып. 1. — С. 128 — 124. З г. Основные теоремы прямого метода Ляпунова 521 Отсюда и из (8) получаем, что дифференциальные уравнения возмущен- ного движении имеют следующие первые интегралы: Ц~ = А(х.', + хз) -~- С(хз -~- 2сохз) -~- 2Рсхе = сопз1, Сз = А(хзх« 4- хзхь) 4- С (хзхе + хз 4- соз:6) = сопз1, Сз = х«+ хе+ хе + 2хз = сопз1, 2 2, 3 с'« = ХЗ = СОПЗЫ (10) Для получения условий устойчивости ищем функцию Ляпунова Г в ви- де квадратичной связки первых интегралов (10) (Л вЂ” неопределенная ве1цественная постоянная) С(С вЂ” А) $' = С» + 2ЛСз — (Рс+ СсоЛ)Сз + С« — 2(со + Л)СС4. А Функцию 7 можно представить в виде суммы трех квадратичных форм: = з (х1, х4) 4- з (хз, хз) + з ( — хз, хе), С где ,((х, у) = Ахз + 2ЛАху — (Рс+ СхОЛ)уз.
(12) 1Хз критерия Сильвестра получаем, что квадратичная форма (12) определенно-положительна при выполнении неравенстви АЛ +С"„Л+Р < О, (13) которое для вещественных Л может удовлетворяться только тогда, когда Сгхоз > 4АРс. (14) При условии (14) постоянную Л можно подобрать так, чтобы удовлетворялось неравенство (13). Тогда квадратичные формы в выражении (11) будут определенно-положительными, каждая относительно «своих» переменных, а функция У будет определенно-положительна относительно всех переменных х«(» = 1, 2,..., 6).
Таким образом, согласно теореме Ляпунова, условие (14) будет достаточнь«м для устойчивости движения (9) по отношению к возмущениям величин р, ч с, Ъ, 7г; 7з. Условие (14) называют условием Маиевского — четаева. Отметим, что если с < 0 («висящееи твердое тело; центр масс расположен ниже о22 Глава ХЬ' точки подвеси), то условие (14) всегда выполнено, а если с ) О, то для вьтолнения условин (14) требуется, чтобы угловая скорость вращении ЙАРс тела вокруг вертикали превосходила величину, равнуяз 234. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
