markeev_book (522779), страница 81
Текст из файла (страница 81)
ГЛАВА Х1Ъ Малые колебания консервативной системы около положения равновесия В 1. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия 224. Устойчивость равновесия. Рассмотрим голономную консервативную систему, положение которой задается обобщенными координатами ум ..., у„(и -- число степеней свободы). Как показано в п. 63, некоторое положение системы тогда и только тогда является ее положением равновесии, когда в этом положении все обобщенные силы равны нулю: 1); = — —, = О (1 = 1, 2,..., и), (1) дд; где П . потенциальная энергия системы, которая в случае консервативной системы явно от времени не зависит. 1Оез ограничения общности будем считать, что в положении равновесия все обобщенные координаты равны нулю. Если систему вывести из положения равновесия, сообщив ее точкам какис-то малые начальные отклонения от положений равновесии и малые начальные скорости, то в последующем движении точки системы либо все время остаются вблизи положений равновесии, либо удалнются от этих положений.
В первом случае положение равновесии будет устойчивым, а во втором — неустойчивым. Дадим строгое определение устойчивого положения равновесии. Положение равновесия д1 = уз = ... = О называетсн устойчивым, если длн любого е > О существует такое б = б(е), что длн всех 1 > 1о вьшолняютсн неравенства /д;(1)! < е, !ус(1)! < е (1 = 1, 2, ..., и) (2) при условии, что в начальный момент 1 = уо ~у((1о)! < б ~В(1о)~ < б (2) 490 Глава ХГР Это определение удобно геометричесс ки интерпретировать в 2л,-мерном про- странстве состонний дб дь На рис. 172 длн д случая и = 1 изображены две окрестности, задаваемые неравенствами (2) и (2).
В случае устойчивости любое движение, на- Ч чипающеесн в момент ~ = 1е внутри квадрата со стороной 26, будет происходить все время внутри квадрата со стороной 2е. Устойчивость положения равновесия можно исследовать, зная потенциальную энергию системы. 225. Теорема Лагранжа. Достаточные условии устойчивости положении равновесия консервативной системы дает теорема Лагранжа. Теорема.
Если в положении равновесия консервативной аисте.кы потенциальная энергия имеет строгий локальный минимум, то это положение равновесия устойчиво. Доказательство. Как уже отмечалось, без ограничения общности можно считать, что в положении равновесия дг — — дз = ... = до = О. В силу того что потенциальная энергия П(ды ..., д„) определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной, примем, что П(0, ..., 0) = О. Так как в положении равновесии функция П имеет строгий локальный минимум, то существует такое число д > О, что в окрестности (4) ~д;~ < 0 (з' = 1, 2, ..., и) выполняется строгое неравенство П(дм ..., д„) > П(0, ..., 0) = О, если хотя бы одна из величин дл не равна нулю.
Будем предполагать также, что за обобщенные координаты дг,...,д„приняты такие независимые параметры, определяющие положение системы, что определитель (18) и. 139 (при т = и) отличен от нуля длн всех рл из окрестности (4), если г1 — достаточно малан величина. Тогда кинетическая энергия х Т = Тз = — з агя(дм ..., д„) дгдь 2 л ь ь=г 21.
Теорема Лагранжа об устойчивости лоложенин равновесии 491 явлнетсн определленно положительной функцией обобщенных скорос- тей, и, следовательно, полная механическая энергии системы Е=Т+П при выполнении неравенства (4) строго положительна, если только не все величины ае, де (1 = 1, 2, ..., и) равны нулю. А так как при д, = е); = О (з' = 1, 2, ..., п) имеем Е = О, то функция Е в начале координат 2п;мерного пространства состонний ей, а, (з = 1, 2, ..., п) имеет строгий локальный минимум, равный нулю. Пусть е — любое число, удовлетворяющее ограничениям О < е < и. Рассмотрим окрестность, задаваемую неравенствами (2).
Граница этой окрестности является замкнутым множеством точек, и непрерывная функция Е достигает на ней своей точной нижней грани и. Так кап, кроме того, па границе окрестности (2) всо зпачспня Е положительны, то на ней Е > а > О. В силу того что в начале координат 9е = О, е)е = О (1 = 1, 2, ..., и) непрерывная функции Е имеет строгий локальный минимум, равный нулю, можно найти такое б (О < б < е), что в окрестности )9е( <Б, )9г(<б (з=1, 2, ..., п) (8) будет выполняться неравенство (9) Е < о. Пусть теперь функции ря = ря(1) удовлетворяют дифференциальным уравненинм движения системы.
Если начальные данные удовлетворнют неравенствам (3), то во все время движения выполнянзтсн неравенства (2). Действительно, при условии (3) начальная полная энергия Ео < о, а так как при движении консервативной системы ее полная энергии постоянна, то при всех 1 > ба имеем Е < и. Поэтому точка де(1), де(1), изображающан движение системы в пространстве бо е); (з' = 1, 2, ..., и), не может достигнуть границы окрестности (2), на которой Е > а, а поэтому всегда остается внутри этой окрестности.
Теорема доказана. Отметим, что приведенные выше доказательства следуют соображенинм, содержащимся в первом строгом и полном доказательстве теоремы Лагранжа, предложенном Дирнхле. Эти соображении послужили одним из основных источников для решения общей задачи об устойчивости движения'.
~лниуиовд.М. Общая задача об устойчивости движвиин // Собр. соч, Т. 2. Мд Лд Изд-во ДН СССР, 1656. С. 7 263. 492 Тлава ХУг' Злмкчлпнв 1. Предположим, что изучаемая лехиническал система иеконсервативна, яо палучаеглся иг консервативной добавлением гироскопичеаких или диссипшпивных сил или тех и других вместе. Пустиь им отвечают обобщенные силы 1„1,'(д, ад). Тогда мощность кеаатекциальяых сил (10) Покажем, что обобщенные силы Щ, удовлетворяющие условию (10). обращаются в нуль, ко| да все обобщенные скорости равны нулю.
Действительно, пусть при каких-либо значениях ущ(1 = 1.,2,...,п) обобщенных координат хотя бы одна из обобщенных сил (~ь* нс равна нулю, т. е. Ц~(ущ, 0) ~ О. Но тогда в силу непрерывности существовала бы окрестность точки ад = дге, уг = О, в которой функция Ць*(уд, ут) не была бы равной нулю и, следовательно, ее значения имели бы один и тот же знак. Но ввиду независимости величин уг и аг (! = 1, 2, ..., и) нх значения в указанной окрестности можно выбрать так, что а это противоречит условию (10).
Из сказанного, в частности, следует, что при наличии гироскопических и диссипативных сил положение равновесия сохранится. Так как интеграл энергии р' = Т + Н = сопев существует и при гироскопических силах (в отсутствие диссипативных сил; см. п. 142), то приведенное вьппе доказательство теоремы Лагранжа остается без изменений и при наличии гироскопических сил. Если жс существуют диссипативцые силы (или диссипативные и гироскопические силы одновременно), то, согласно и.
142, "Е = Л'* < 0 т. е. при движении системы ее полная энергия Е не превосходит своего начального значения Ее. Но если Еь < а, то во все время движения Е < а и опять при всех 1 > ге справедливы неравенства (2). Таким образом, при добавлении к консервативной системе гироскопических и диссипативных сил теорема Лигрикжа анлается справедливой. 226.
Теоремы Ляпунова о неустойчивости положения равновесия консервативной системы. Теорема Лагранжа дает достаточные условия устойчивости положения равновесия. Вопрос о том, 11. Теорема Лагранлга об устойчивости положения равновесия 493 Теорема 2. Если в положении ривковесия потенциальная энергин имеегп максимум и это узнается по членам наименее вьгсокого порядка, которые действительно присутсгпвуют в раз гожении этой функции в ряд в окрестности положения равновесия, то это положение равновесия неустои*гиваг. ПРИМЕР 1 1УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА НА Авсолютпо гладкой гогизонтьльиой плоскости). Пусть тело ограничено произвольной выпуклой поверхностью а и общая нормаль 7вертикаль) к горизонтальной плоскосгли и к поверхности о в некоторой ее точке Р* содержит центр тяжести тела С. Тогда тело на плоскости может находитьсн в состоянии равновесия, причем в гпочке Р* поверхность тела соггрикисается с лоскостью.
Обозначил Схуг жестко связанную с телом систему координата, ось Сг которой содержит отрезок прямой Р'С, а оси Сх и Су направленьг паралзгельно линиям кривизны поверхности тела в точке Р*. Тогда уривнение поверхности тела в окрестности точки Р* запишется в виде 7= — 71 — г+ —, ~ — + — ) + ° =О, 1 гх 9 1 21 г'2) 111) гобзар полученных результатов содаржктся з монографии: КаралатякА.В., РумянцааВ. В.
Устайчяаасть консервативных к дясскцатцлцых систем. М.г ВИНИТИ, 1082. (Итога науки я техники. Сар. Обжал механика: Т. 6). 2Даказательстаа можно найти а работе: Лялунаа А. М. О неустойчивости равнааесяя а некоторых случаях, кагда функция сял не есть максимум О Собр. сач. 'Г. 2. Мц Лг Изд-ла АН СССР, 1056. С. 301 — 400.
ЗДля применимости теоремы 2 а конкретных задачах необходимо, чтобы разлажацка функцкк П начиналось с адкарадкай функции (формы) Пг 1дг, ..., у ] чатяай стацакк Ь, а функцкя Па должна быть агряцаталькай а некоторой окрестности лаложанкя ралналаскя (ксклкгчая сама зтк положение). будет ли неустойчивым положение равновесии консервативной системы. если в этом положении потенциальнан энергии не имеет минимума, янлнетсн очень сложным, н до сих пор на него не получено исчерпывагощего ответа'.
Первые строгие результаты в решении этого вопроса получены Ляпуновым. Дадим без доказательства две его теоремыг. Функцию П(г7г, ..., уа) предполагаем аналитической в окрестности положения равновесия. Теорема 1. Если потенциальная энергия консервативной системы е положении равновесия не имеет минимума и это узнаегпся уже по членам второго порядка в разложении функции П в ряд в окрестности положения равновесия без необходимонпи риссматривания членов высших порядков, то положение равновесия неустойчиво.
Глава ХЛ' Здесь х, д, г координаты точки Р поверхности о, которой тело касаетск плоскости при малом его отклонении от положения равновесия (рис. 119), Ь - расстояние центра тяжести тела от опорной горизонтальной плоскости в положении равновесия (т = у = О, г = — 6), г1 и гэ — главньяе радиусы кривизны поверхности тела в точке Р'; так как поверхность о выпуклая и целиком находится выше опорной плоскости, то величины гм гэ положитпельньь Многоточие в уравнении (11) обозначает совокупность членов, порядок которых относительно х, д выше порядка членов, выписанных явно. Потенциальная энергия тела вычисляется по формуле (12) П = т4, где ! = — (и ь Р) — расстояние от центра тяжести до касательной плоскости к поверхности тела, а к единичная внутренняя нормаль в точке Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
