markeev_book (522779), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Нэ уравнения (11) и формулы (2эг) и. 1 !4 имеем следующие выражения для компонент вектора п: 71 = + ''' . 72 = , + ''' 73 = 1 х 1 ' + ) + ''' (!3) х у 1 тг у г1 ' - г ' 2(гэ гэ) ~" ") Учитывая, что СР' = (х. у, г), и пренебрегая в выражении для П несущественной аддитивной постоянной тджх, полу саем из (11) — (12) П=гтя х + у + 1 г1 — Ь 2 гз — 6 2 г| г Отсюда и из теоремы Лагранжа следует, что если центр тяжести, тела находится ниже обоих главных центров кривизны поверхности тела в точке его касинин с опорной плоскостью, то положение равновесия устойчиво.
Если же центр тяжести лежит выше хотя бы одного из главных центров кривиэньц то, согласно теоремам 1 и 2 Ляпунови, имеет место неустойчивость. 22Т. Стационарные движения консервативной системы с циклическими координатами и их устойчивость. Пусть в голономной системе с п степенями свободы обобщенные координаты ди (о = к + 1, ..., и) явлнютсн циклическими. Остальные обобщенные координаты у; (1 = 1, 2, ..., к) называются (при наличии циклических координат) позиционными. Потенциальная энергия П и коэффициенты а;ь кинетической энергии 1 ч Т = Тз = — г аьзум)э. 2 () 1. Теорема Лагранжа ой устойчивости положении раеноеесил 495 будут функциями только от позиционных координат.
Согласно и. 164, существуют первые интегралы, отвечающие циклическим координатам: д5 дТ2 = с = сопит (гг = й+1, ..., и), (15) дчо дчо В= Е с6 — 1 (16) и вьЦ>алим ее чеРез позипионные кооРДинаты фо их пРоизволные й> (х = 1, 2, ..., Й) и постоянные со (о = й+ 1, ..., и). Введем обозначе- ние В' = — В+ П.
Тогда уравнения Рауса запишутся в виде (17) с~ дВ* дВ' дП г(1 д>)1 дде д91 (18) Функпин В* может быть представлена в виде суммы В* = Вт + В> + Во (19) где В,* — квадратичная форма производных позиционных координат', Йз = 2,> ад(д>, ..., >7й)дегбь 1 ч (20) >,>=> Функция В' пикейна относительно 1), (> = 1, 2, ..., й) з: В,* = 2 о>(>7>....., фй, со) = >)1 (о = 1с+ 1, ..., и), (21) Можно показать, что Н,* —. определенно-положительнал кеедратичнаи форма относительно 4> (> = 1, 2, .... й).
Гм., например: Гентмахерйь Г. Лекции по аналитической механике. Мл Науке, 1966, гл. 7, е также: Меркни д. Р. Гироскопические системы. М.> Наука, 1971, гл. 1, гЕсли выражение кинетической энергии не содержит проиэаецений позиционных скоростей 4, на цикличес>гие скорости 4, т. е. если а, = О (> = 1, 2, ..., й; а = й Ч- 1, ..., и), то функции и.* тожцестаенно равна нулю. В этом случае рассматриаееман система нааыеаетси гироскопически песен>елкой.
где А = Т вЂ” П функция Лагранжа, Считая, что гессиан (6) и. 165 отличен от нуля, составим функцию Рауса Глава Х1$' В;, зависит только от позиционных координат и величин с . Использун представление (19), запишем уравнения Рауса (18) в виде д М; дП,* д(П-Л„*) ~й дЦ дк,*') ь11 дц; дд„дць ),йг дц; доь / (22) Из равенства (21) следует, что — — у,*,ой (1 = 1, 2, ..., й), (23) йг дуг д% где д»,*, да,'. — — (ь',у=1,2,...,й), (24) Ц дьд дьд ' 'д 1' т.
е. выражение во второй круглой скобке правой части (22) приводит к понвлеиию гироскопических сил, линейных относительно позиционных скоростей. Итак, уравнения (22) можно рассматривать ьак дифференциальные уравнения движения некоторой приведенной системы с и степенями свободы, кинетическая энергии которой равна В,*, а обобщенные силы состоит из гироскопических сил и потенциальных сил, производных от потенциала П" = П вЂ” Ло*. Потенциал П* приведенной системы называют приведении я потенциалом (приведенпой потенциальной энергией), или потенциалом Раус». Если исходная система нвляется гироскопически несвнзанной, то в приведенной системе гироскопические силы отсутствуют. Стационарными движениями исходной консервативной системы с циклическими координатами называются такие ее движения, при которых позиционные координаты ц; (1 = 1, 2,..., Й) и циклические скорости д (о = и+1, ..., п) постоянны.
Из (!5) и (22) следует, что стационарные движения существуют в том и только в том случае, когда отвечающие им значения позиционных координат удовлетворяют уравнениям дул =0 (1=1,2,...,й), (25) т. е. стационарные движения исходной системы соответствуют пологке- ниям равновесия приведенной системы. З Ь Теорема Лпграяясп об устойчивости положения рпвяоееспя 497 Пусть длн каких-либо значений постоянных с = с в система уравнений (25) имеет решение уе = рлэ = сопйй Тогда в стационарном движении у; = йдп, у; = 0 (1 = 1, 2, .... я), с = с п (гт = я + 1.....п).
Допустим, что в начальный момент времени 1 = 1с величины де, д, мало отличаются от нх значений., отвечающих стационарному движению. Будут ли тогда величины рл — олэ,с)е (1 = 1, 2, ..., Л) оставатьсн малыми для всех 1 > 1в? Иными словами, будет ли рассматриваемое стационарное движение устойчиво по отношению ь переменным ей, д, (1 = 1, 2, ..., к)? Ответ ва этот вопрос можно получить, используя теорему Лаграияса. Так как наличие гироскопических сил нс нарушает закона сохранения полной энергии, то для приведенной системы существует интеграл Е* = Пс', + П'. Если теперь в и.
225 заменить Е на Е* и повторить рассуждении, пропеленпые прн доказательстве теоремы Лагранжа, то придем к следующей теореме Рауса об устойчивости стационарных движений голономной консервативной системы с циклическими координатами. Теорема. Если в стационарном движении потенциальная энергия П*(уы ..., уя, сип) приведенной системы имеет строгий локальнььй минимум, то этп движение устойчиво по отношению к переменным ам ае (1=1,2, ..., 1с). ЗАмкчлннв 2.
Приме ял теорему Лагранжа, мьь фиксировали постоянные с, остаезшя их такими же, как и в самом стационарном движении. Ляпунову принадлежит существенное дополнение к теореме Рауса, которое допускает малое изменении постоянных с . Пменно, если П* имеет минимум кан при со сс с„э, так и при значениях со = с„о+ 1то (~1то~ << 1, а = 'к+ 1,.... 'и), пРичем позиционные координатьс дш(с ) е точке минимума П* непрерывны как функции с„, гпо ппационарнпе движение устойчива по итошению к возмущениям величин дм д, (ь' = 1, 2, ..., 1с) Примкр 1 (Устойчивость врлщкння дискА вокруг ввртнкллн).
Пусть круговой однородный диск рндиусом р и массой т движется в однородном поле тяжести по абсолютно гладкой горизонтальной плпскости, касаясь ее одной точкой своего края. Лак отмечалось в п. 114, при движении твердого тела по абсолютно гладкой плоскости проекция его ценгпра масс на плоскость движется равномерно и прямолинейно. Без ограни ~ения общности ложно считать ее неподвижной; тогда центр масс тела будет двигагпься по заданной вертикали. Ориентацию диска относительно неподвижной системы коардинит зидадим при по- |Подробности см.
в упомянутой монографии А. В. Карапетяна и В. В. Румяииова. 498 Глава ЛЛ' Т = — трг(1+ 4совв В)Вэ + — тр всаэ Оф + -тр Цсову+ ф)г, П = тдря1ггу. Переменные ф и:р будут циклическими координатами. Им соответ- ствуют первые интегралы (А = Т вЂ” П) г —. = — тря в1пв Огр+ —,тр (гр сов у+ ф) совВ = срг = сота, ПЕ 1, 2 Пгр 2 —, = — огр (фсояу+ ф) = с„= сопяс. (26) (27) Приведенная система имеет одну степень свободы, а функция (19) име- ет вид д* = 1 трэ(1+ 4 савв О)уэ — 2 " "' (с — с соя О) св 8 тр сдп В тр Ес ги отбросить последнее слагаемое, несущественное для уравнений движения, то для потенциальной энергии приведенной системы имеем выражение (с„— с„соя В) И* = тбрвгпО+ 2 О тр я1пв В (28) Сугцеппвует такое движение, при котором один из диаметров диска расположен вертикально, а сам диск вращается вокруг этого диаметра с произвольной по величине постоянной угловой скоростью.
Для этпого двиягения — гр = О, г(г = аг = сопяс, 2' (29) причем 1 в с,~, = „— гпр (30) с„= О. Подставляя в функцию П* значения постоянных сб и се из (30), полагая О = к + д и разлагая П* в ряд по степеням д, получаем (несущест- 2 венную постоянную в функции П* отбрасываем) П* = — (трвго~ — 4тггдр)дз + — (2пгр аг~ + тпур)д~ + ° (31) 8 24 мощи углов Эйлера (рис. 137). Кинетическая и потпенциильная энергия диска определяютпся формулами (сы.
и. 157) 3 2. Малые колебания !1ри выполнении неравенства )ьз! ) 2 (32) 32. Малые колебания 228. Лнненрнзнцня уравнений движения. Пусть копсерввтивнвн система имеет положение рэвновесин, в котором все обобщенные коорцинвты аа (з = 1, 2, ..., п) равны нулю. Предполагая потенци- аЛЬиуЮ ЭНЕРГИЮ СИСТЕМЫ П(ГП, йз, ..., дп) ВНВЛИтИЧЕСНОй фуНКцИЕй В окрестности положения равновесии, разложим ее в ряд Тейлора где индексом 0 отмечены значения производных функции П в положении равновесия, т. е. прн ря = О (з = 1, 2,...,п).
Без ограничении общности можно считать, что П (О, 0 ..., 0) = О. Первен сумма в разложении (1) равна пулю, твк квк в положении равновесия все обобщенные силы равны нулю: = — — =0 дП дрл 1з = 1, 2, ..., п). Таким образом, если ввести обозначения "= Гзезг ). Впрочем, для доказательства неустопчиаости при применима и теорема 2 Ляпунова из п. 226. так как ке Ч = 0 имеет максимум, и это узнаетсн по членам — второго) порядка в разложении (31). выполнении неравенства (32) при этом функция П* в точнаинизшего (в нашем случае функция П' имеет строгий локальный минимум в точке д = О. 11оэтому, согласно теореме Рауса, при условии (32) стиционарное движение диска (29) устойчиво. Если лсе неравенство (32) не выполняется, то функция П* в тоске д = 0 не имеет минимума, и это узнается по членам второго порядка в разложении (31).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
