markeev_book (522779), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Лнпунов получил следующую теорему, дающунз достаточные условия асимптотической устойчивости движения. Теорема. Если дифференциальные уравнения возлчущенного движения таковы, что существует знакоопределенная функция 1'(хы хз,..., х ), производная которой 1л в силу этих уравнений есгпь знакоопределенная функцин противоположного знаки с 1л, то невозжущенное движение асииптотически устойчиво. Прежде чем доказывать эту теорему, обратим внимание на дополнительное, по сравнению с теоремой предыдущего пункта, условие, которое обеспечивает асимптотическую устойчивость невозмущенного движения.
Это условие состоит в том, что производная 1' должна быть знакоопрсделенной функцией противоположного с 1л знака. В предыдущем же пункте функции Г была лишь знакопостоннной. Переходя к доказательству, заметим сначала, что если условия сформулированной теоремы выполнены, то выполнены и условия теоремы Ляпунова из предыдущего пункта, а значит, невозмущенное движение устойчиво. Согласно определению асимптотической устойчивости, нам надо только доказать, что аснкое возмущенное движение, длн которого начальные возмущения достаточно малы, асимптотически приблияьается к невозмущенному, т. е.
что (15) 1пп х;(1) = О. ь — >сс Без ограничения общности будем считать, что функции 1л определенно- положительна; тогда в области (1) Г > О, а 1' < О, причем знаки равенства возможны только при х1 = хз = ... = хт = О. Рассмотрим какое-либо возмущенное движение, которому отвечают настольно малые начальные значении х;о — — х,(1а) (1 = 1, 2...., т), что поверхность 1г = Ц, где 1'о = 1'(х~о.. тзо °, хто), лежит в области (х,) <е, где е < 6. Такой выбор величин х;о всегда возможен ввиду нспрерывности функции 1'.
Покажем, что тогда возмущенные движения х,(1) (1 = 1, 2,..., т) удовлетворяют условиям (15), т. с. не- возмущенное движение асимптотически устойчиво. 523 З и Основные теоремы прямого метода Ляпунова Действительно, при е < 6 в области (16) Ъ"=Тг„ функция T(яз(1),хг(1),...,я„,(1)) остается отрицательной, не обращаясь в нуль ни при каких значениях й Это следует нз того, что, в силу единственности решения уравнений воз- О мущенного движения при заданных начальных условиях, функции ш;(1) (1 = 1, 2...., т) не могут все одновременно обратиться в нуль при каком-либо значении 1 = Ф*; в противном слу- Рис. 175 чае было бы два разных решения с нулевыми значениями при 1 = 1*: рассматриваемое и тривиальное лз = шг ...
= ш„, = О. Так как $' < О, то фУнкциЯ Зг(кз(6), кз(1),..., ш„,(Ф)) монотонно убывает, оставаясь положительной. По так как функция 1' ограниченная, то существует предел 11пз 1~(кз (1), тз(1),..., к„,(1)) = 6 3 О. г — кс В т;мерном пространстве кы тз,..., т. траектория уравнений возмущенного движения стремится к поверхности 1г = Ь, оставаясь вне ее (рис. 175). Покажем, что 6 = О, т. е. поверхность $' = 6 вырождается в точку шз = шз = ... = ш„, = О и, следовательно, невозмущенное движение асимптотически устойчиво. Предположим обратное, т. е.
что 6 ~ О. Пусть — д — точная верхнян грань функции Г в замкнутой области, границами которой являются поверхности Ъ' = 6 и г' = уш т. е. в этой области (17) 1' < — д. Отсюда следует, что 1'(*с(1). Хз(1),, *т(1)) = ~о + / ~' 41 < ~о — д(1 — Го) (18) но это невозможно, так как при выполнении неравенства (18) определенно-положительная функция 1'(кг(1), гг(1),..., кт(Ф)) для достаточно больших 1 должна была бы стать отрицательной. Противоречие доказывает теорему.
Пгимкг 1 (Асимптотичкскяя Устойчивость гявновксия твкгдого ТЕЛЯ, ИМЕ10ЩЕГО НЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ, В СРЕДЕ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ). Пусть тело вращается вокруг неподвижной точки 0 в среде, создающей 52ч Глава ХУ момент сопрогпивления Мо = -У(ш) ац (! 9) где Г(ьз) > О. Если существуют другие силы, приложенные к твердому телу, то ик главный момент относительно точки 0 считаем равным нулю.
Динамические уравнения Эйлера имеют вид Л вЂ” -ь (С вЂ” В)аг = — г(ьз)!з, др д!  — + (Л вЂ” С)гр = — з (ьз)о, дд г!! С вЂ” г + ( — Л)ро = — з"(ш)г. д! (20) Уравнения (20) имеют частное решение р = д = г = О, отвечающее покою тела. Рассмотрим устойчивосгпь этого частного движения тела по отношению к переменныль р, у, г. Так как в невозмущвнном движении р = д = г = О, то уравнения (20) будут дифференциальными уравненинми возмущенного движения. В качестве функции Ляпунова возьмем кинетическую энергию те- ла И = — (Арз + Вд~ + Сгз).
зТля производной функции И получаем вььражение ~'=-У( Нр'+у'+ '). (2!) (22) Так как И вЂ” определенно-положительная, а г' — определенно-отрицательная функции, то, согласно теореме Лягьунова, равновесие твердого тела в среде, создающей момент сопротивления (9), асимптотически устойчиво по отношению к переменным р, ц, г. 235.
Теоремы о неустойчивости. В этом пункте рассмотрены три теоремы о неустойчивости движения, полученные Ляпуновым и Четаевым. Исторически сначала были получены две теоремы Ляпунова. Эти теоремы были обобщены Четаевым, получившим теорему, которая нашла широкое применение при решении задачи об устойчивости в конкретных задачах механики, а также в теоретических исследованиях вопросов устойчивости. Мы сначала изложим теорему Четаева и затем выведем из нее обе теоремы Лнпунова о неустойчивости движения. Переходя к изложению теорем, заметим, что длн обнаружения неустойчивости невозмущенного движения достаточно установить существование хотя бы одной траектории уравнений возмущенного движенин, отвечающей сколь угодно малым значенинм начальных возмущений и покидающей в некоторый момент времени окрестность начала с2г З й.
Основные теоремы прямого метода Ляпуяоеа координат, определнемую неравенствами (1), в которых 6 - некоторая заданнан величина. Введем определение. Областью 1г > О назовем какую-либо область окРестности (1), в котоРой 1с(хы хг,..., х,„) > О. ПовеРхность 1' = О назовем границей области 1' > О. Теорема (Четаева о неустойчивости). Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что существует функция Ъ'(хы хг,..., хт) такая, что в сколь угодно малой окрестности (1) существует область $' > О и во всех точках области 1г > О производная 17 в силу этих уравнений принимает положительные значения, то невозмущекное движение неустойчиво.
Доказательство. Зададимся окрестностью (1) начала координат. Выберем начальную точку хио хзо, х,„о какой-либо траектории уравнений возмущенного движения в области $' > О. Так как граница области $' > О проходит через точку хь: хз: ° — хт — О то начальную точку можно взять сколь угодно близко к началу координат (см. рис. 176, где гп = 2). Так как по условию теоремы в области 1г > О производная 1г положительна, то вдоль выбранной траектории функция Ъ' монотонно возрастает.
Слс довательно, при б > 1о будем иметь Рис. 176 1 (х1(1), схг(1),..., хт(1)) > 1о > О, (23) Ъ' ( 7, где 1 — некоторое положительное число. В области С, явлнющейся пересечением областей 1' > О и $' > 1го, функция Ъ' положительна и где 1'о = ьг(хго, хзо,..., хто). Поэтому траектории, начавщаяся в точке хсо,хзо,...,х,по, нс может выйти из области 1г > О через ее границу Г = О, Покажем, что с течением времени траектории выйдет из окрестности (1). Предположим обратное, т.
е. что траектории при всех 1 остаетсн внутри окрестности (1). Но тогда она должна находитьсн в области Ъ' > О. Но это невозможно. Действительно, функция Ъ', как непрерывная и не зависящан явно от 1, будет в области (1) при достаточно малых 6 ограничена., т. е. 526 В«авн Х!с тоже ограничена. Пусть 1 точная нижинн грань функции 1г в этой области. Тогда при всех 1 > 1о (24) 1" >1> О. Отсюда следует, что г (х!(1) хз(1) ° ° х (1)) > 10 +1(1 10) т.
е. с течением времени функция 1г неограниченно возрастает, а это противоречит неравенству (23). Противоречие доказывает теорему. Функцию 1, удовлетворяющую теореме Четаева о неустойчивости, называют функцией Четаева. ПРИМЕР 1 (11ЕУСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНОГО ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА В СЛУЧАЕ ЭЙЛЕРА ВОКРУГ ОСИ СРЕДНЕГО ПО ВЕЛИЧИНЕ МОМЕНТА ИНЕРННИ!). Рассмогприм устойчивость вращения (2) твердого тела в случае Эйлера, предполагая, что ось вращении отвечает среднему по величине главному моменту инерции тела дгя неподвижной точки О. Пля определенности будем считаю!о что С > А > В и ог > О.
Введя возмущения т, у, з по формулам (4), из динамических уравнении Эйлера получим дифференциальные уравнения возмущенного движения в виде т = уз, у = (ог -)- х)2, 2 = (о«+ з;)у, (25)  — С . С вЂ” А . А — В Производная функции г' = уз в силу уравнений (25) будет такой: ( ) С вЂ” А А — В (26) Если и«+ х > О, то в области Ъг > О, определяемой неравенствами у > О,з > О, производнан 1' положительна. На основании теоремы Четаееа отсюда следует вывод о неустойчивости вращении тела вокруг оси, отвечаюгцей среднему по величине моменту инерции. Теперь получим теоремы Ляпунова о неустойчивости. Теорема (Первая теорема Ляпунова о неустойчивости движения), Еслт дифференциально«е уравнения возмущенного движения таковы, что существует функция $"(хг, хз«..., Х„,) такая, что ее производная 1' в силу этих уравнений есть функция знакоопределенная«а сама функция 1' не является знакопостоянной, противоположного с $' знака, то невозмущенное движение неустойчиво.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
