И.Е. Иродов 'Механика. Основные законы' (510775), страница 41
Текст из файла (страница 41)
(7.11) Эту энергию называют энергией покоя илн собственной энергией. Мы видим, что масса тела, которая в нерелятивистской механике выступала как мера инертности (во втором законе Ньютона) или как мера гравитационного действия (в законе всемирного тяготения), теперь выступает в новой функции — как мера энергосодержания тела. Даже покоящееся тело, согласно теории относительности, обладает запасом энергии — энергией покоя. Изменение полной энергии тела (системы) сопровождается эквивалентным изменением его массы Лет =ЛЕ/сз, и наоборот.
При обычных макроскопичсских процессах изменение массы тел оказывается чрезвычайно малым, недоступным для измерений. Это можно проиллюстрировать на следующих примерах. Пример 1. Для выведения спутника массы т=100 кг на орбиту вокруг Земли ему сообщили скорость о=в км/с. Это значит, что его энергия увеличивается на ЛЕ=таз/2 (здесь учтено, что овцс). Соответствующее увеличение массы спутника йт = йЕ/ст = тот/2ст = З,б 1Π— з„кг. Пример 2.
При нагревании 1 л воды от 0 до 100 С ей сообщают энергию ЬЕ=тсгйб где ср — — 4,2 Дис/(г.К) — теплоемкость воды, й/ — разность температур. Соответствующее увеличение массы воды йт = йЕ/сз = 0,47 1О-щ кг. Пример 3. Пружину с коэффициентом жесткости я=10з Н/см сжали на й/=1 см. При этом пружина приобрела энергию ЬЕ= =я(й/)з/2. Эквивалентное приращение массы ее йт = йЕ/ст = О,б 1Π— гз кг. Нетрудно видеть, что во всех трех случаях изменение массы лежит далеко за пределами точности эксперимента.
219 Однако уже в астрономических явлениях, связанных, например, с излучением звезд, изменение массы представляет собой весьма внушительную величину. В этом можно убедиться на примере излучения Солнца. ПРимер. Из астрономических наблюдений установлено, что количество энергии, которое приносит на Землю солнечное излучение за 1 с на площадку 1 и', перпендикулярную солнечным лучам, составляет около 1,4 1Оз Дж!'(с м').
Это дает возможность вычислить суммарную энергию, излучаемую Солнцем за 1 с: аЕ = 1 4,10з.4пйз 4.10эа Дж(с, где Л вЂ” расстояние от Земли до Солнца. Следовательно, Солнце ежесекундно теряет массу дгл.=. ЬЕ/сз =-4,4 109 кгус.
Совершенно иначе обстоит дело в ядерной физике. Именно здесь впервые оказалось возможным экспериментально проверить и подтвердить закон взаимосвязи массы и энергии. Это обусловлено тем, что ядерные процессы и процессы превращения элементарных частиц сопровождаются весьма большими изменениями энергии, сравнимыми с энергией покоя самих частиц. Но к этому вопросу мы еще вернемся в 5 7.5. й 7.4. Связь между энергией и импульсом частицы Ясно, что как энергия Е, так и импульс р частицы имеют различные значения в разных системах отсчета. Оказывается, однако, что существует величина — некоторая комбинация Е и р, которая является инвариантной, т. е. имеет одно и то же значение в разных системах отсчета. Эта величина есть Е' — р'с'.
Убедимся, что это так. Воспользовавшись формуламн Е=пгсз и р=пто, за- пишем тос 4 Ез рз сз гп нч гпт оз ст 11 †(о/с)з~ ! (о!с)2 или после сокращения Ет — раса=тасе. ~ о (7.12) 220 Величина грандиозная с точки зрения земных масштабов, однако по сравнению с массой Солила эта потеря ничтожно мала: Ат!из= =2 10 "с-'. Тот факт, что скорость и в правой части сократилась, означает независимость величины Е' — р'св от скорости частицы, а следовательно, и от системы отсчета. Другими словами, величина Е' — р'с' действительно является инвариантом и имеет одно и то же значение гпеяс' во всех инерциальных системах отсчета: ~ Е' — рт с'= (пу.~ (7.13) Этот вывод чрезвычайно важен: он позволяет, как будет видно из дальнейшего, во многих случаях резко упростить анализ и решение различных вопросов. Приведем еще два полезных соотношения, с которыми приходится часто встречаться.
Первое: р = гп и = Е тт)ст (7.14) и второе — связь между импульсом и кипетическои энер- гией Т частицы; его легко получить, подставив в (7.12) Е = ш,с'+ Т, тогда ~ рс = )7 T (Т+ 2гпз с'). ~ (7.15) Рассмотрим попутно весьма интересный вопрос о возможности существования частиц с нулевой массой покоя (то = 0) . Из формул * Заметим, что в вастоящсе нремя импульсы релятивистских частип выражают в единицах энергия/с(с — скорость света). Например, если энергия выражается в МэВ (1 МэВ = 1,5 10-' зрг), то импульс— в МзВ)с.
Использование такой едииипы импульса заметно упрощает многие расчеты. 221 Последнее соотношение при Т«!пост переходит в ньютоновское: р=))2тсТ, а при Т»т,с' приобретает вид р=Т!с. Пример. Считая, что энергия покоя электрона равна 0,51 МэВ, вычислим; 1) импульс ' электрона с кинетической энергией, равной его энер. гни покоя; 2) кинетическую энергию электрона с импульсом 0,51 МэВ)с, где с — скорость света. 1. Согласно (7,15), при Т=тес' получим р=УЗтзс=09 МэВ)с, 2 Этот вопрос можво решить также с помощью (7.15).
Но можно и проще, воспользовавшись (7 12); Т =-Š— а!осе =- )г Рвет+ глас! — шест = 0,2! МзВ. 2 Е= щ ст с Р= гл о с г' ! — (о/с)з г~! — (оус)з следует, что частица с массой покоя я!с=О может иметь энергию и импульс в том и только в том случае, если она движется со скоростью света с. При этом обе последние формулы принимают вид О,'О. Однако это не означает неопределенности энергии и импульса такой частицы, Дело в том, что обе эти величины, оказывается, не зависят от скорости, причем связь между импульсом Р и энергией Е дается формулой (7.14), где о=с, т.
е. Р=Е/с. (7.1б) Таким образом, согласно теории относительности, существование частиц с нулевой массой покоя возможно, причем эти частицы могут двигаться только со скоростью с, Это движение не есть результат предшествующего ускорения, а вообще единственное состояние, в котором такие частицы могут существовать. Остановка подобной частицы равносильна ее поглощению (нсчезновению). Как сейчас известно, такими частицами являются фотон и, по-видимому, нейтрино. Преобразования импульса и энергии. Пусть частица движется со скоростью о=щ/Ш в К-системе отсчета Из формулы (6.13) следует, что элементарный интервал между двумя событиями, которые про. исходит с частицей, есть бз = ТГса (бс)з — (Ж)з = сб! У! — (о)с)з .
Имея в виду это выражение, представим проекции импульса и энер- гии частицы в следующем виде: Р = — =- ' 3 Й(~) ~ ь* бу рн =..тос —; сз бс сбт с лгс сз Р— х, Рв У, Е(сз !. Делая эту замену в преобразованиях Лоренца (6.8), получим сразу искомые преобразования импульса и энергии: 222 Из инвариантностн тс, с и ивтервала дз сразу следует, что при переходе к другой инерциальной системе отсчета р„ и рз преобразуются подобно бх и бу, т.
е. подобно коордиаатам х и у, а энергия  — по. добно времени 1. Поскольку координаты и время входят в преобразования Лоренца (6.8) линейно, мы выделили в предыдущих выражениях для р и и одинаковую часть (т,с). Тогда мо»сно сделать следующее сопоставление; р, — Е!г/сз, Š— р Р у! — <г»г ' " "' уг — ~~74' (7. 18) 3 = о/с1 3) часто встречающийся множитель 117! — !!з обозначают у— так называемый лоренц-ф а к тор: у =- 1/)'! — 32 (7.19) Эти обозначения резко упрощают как внд самих формул, так и все преобразования и расчеты.
Приведем оснозвыс формулы релятивистской динамики в этих обозначенинх: релятивистский импульс (7.3) лго р Р= - — =УтоР! т~ 1 — 32 (7,20) кинетическая (7.9) и полная (7.10) энергии: 1 7 =то( — 1) =то(у — 1) т' ! — 32 (7.21) (7.22) Е = т = то + Т = 7 то1 связь между энергией и импульсом (7.12) — (7.15): Ех — р2 = т =1пч, 2 — а— (7.23) (7.24) (7.25) Р=ЕВ, р = ~Г Т (Т + 2то); преобразовании импульса и энергии (7.17): р» — 3 Е Р.г= )г! 32 =7(Р» — ре) Ру = Ру Š— рр. аз т(Е 3Р )' (7. 26) 223 где у' — скорость Кпсистемы относительно К-системы. Эти формулы выражают закон преобразования проекций импульса и энергии частицы при переходе от К- и К'-системе. Запись формул в более компантиом виде.
В настоящее время все формулы релятивистской механики принято записывать в более компактном виде с помощью использования следующих сокращенных обозначений; 1) величины тс' и рс обозначают просто т и р в соответственно выражают в энергетических единицах (например, в МэВ); 2) все скорости выражают в еднницак скорости света и обозка. чают !): $7.5. Система релятивистских частиц Об энергии и импульсе системы. До сих пор мы ограничивались рассмотрением поведения одной частицы. В отличие от динамики одной частицы построение динамики системы частиц в теории относительности является гораздо более сложной задачей.
Тем не менее и в этом случае можно установить ряд важных общих законов. Если нас интересует движение системы как целого, то, отвлекаясь от внутренних процессов в системе и пренебрегая ее пространственной протяженностью, систему можно считать одной материальной точкой — частицей. Поскольку это так, систему релятивистских частиц как целое можно характеризовать полной энергией Е, импульсом р, массой покоя М„ н утверждать, что полученные ранее выражения справедливы и для системы частиц как целого.
Остается выяснить, что следует понимать под полной энергией Е, импульсом р и массой покоя М0 системы как целого. В общем случае, если система состоит из взаимодействующих релятивистских частиц, ее полная энергия Е='~'ги,с'+ й>', (7.27) где т;с' — полная энергия бй частицы (напомним, что в зту величину не включается энергия взаимодействия с другими частицами); )р' — суммарная энергия взаимодействия всех частиц системы.
В ньютоновской механикс )г" представляет собой потенциальную энергию взаимодействия частиц системы— величину, зависящую при данном характере взаимодействий только от конфигурации системы. В релятивистской >ке динамике, оказывается, не суи~есгвуег понятия потенциальной энергии взаимодействия частиц. Это обусловлено тем обстоятельством, что само понятие потенциальной энергии тесно связано с представлением о дальнодействни (мгновенной передаче взаимодействий). Являясь функцией конфигурации системы, потенциальная энергия в каждый момент времени определяется относительным располо>кением частиц системы в этот момент.
Изменение конфигурации системы должно мгновенно вызвать изменение и потенциальной энергии. Так как в действительности этого нет (взаимодействия передаются с конечной скоростью), то для системы релятивистских частиц понятие потенциальной энергии взаимодействия не может быть введено. В общем случае написать выражение для энергии взаимодействия %', а следовательно, и для полной энергии Е системы взаимодействующих релятивистских частиц не представляется возможным. Это же относится и к импульсу системы, так как в релятивистской динамике импульс не является величиной, независимой от энергии Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
