И.Е. Иродов 'Механика. Основные законы' (510775), страница 40
Текст из файла (страница 40)
В отличие от релятивистской массы масса покоя частицы тр †величи инвариантная, т. е. одинаковая во всех системах отсчета. По этой причине можно утверждать, что именно масса покоя является характеристикой частицы, В дальнейшем, однако, мы часто будем использовать релятивистскую массу т, что продиктовано только стремлением упростить ряд выводов, рассуждений и расчетов.
Теперь сделаем последний шаг — напишем выражение для импульса релятивистской частицы. С учетом (7.2) этот импульс записывают в виде (7.3) Это и есть так называемый релятивистский ими у л ь с частицы. Опыт подтверждает, что так определенный импульс действительно подчиняется закону сохранения независимо от выбора ннерциальной системы отсчета. Отметим, что при о«с из (7.3) следует ньютоновское определение импульса: р=теу, где то не зависит от око.
рости о. На рис. 7.3 показаны для сравнения графики зависимостей релятивистского р„л и ньютоновского р, импульсов частицы от ее скорости. Как видно, различие между обоими импульсами становится весьма значительным по мере приближения скорости частицы к скорости света. Рассмотрим два примера на применение формул (7,2) и (7.3). Пример 1.
В современных гигантских ускорителях протоны ускоряются до скоростей, отличающихся от скорости света на 0,0003те. Найдем, во сколько раз релятивистская масса таких протонов превышает их массу покоя. Согласно (7.2), ш/шз — — !/ф à — Рт, где О=с/с, Так как Р мало отличается от единицы в данном случае, то подкоренное выражение следует представить в виде 1 — из=(1+ Р)(1 — 9) = 2(! — й). Тогда искомое отношение ш/шо !7 ~2(1 — Р) 4 !Оз. Пример 2. Выясним, при каких значениях скорости частицы ее ньютоновский импульс отличается от релятивистского на 1тю? на 10 То? Из условия Ч=(р — рч)?р=! — ~' ! — (и!с') получим Г 0,14 при ч =0,01, о/с = )г Ч (й — д) = ~ ~ 0,45 при и = О,!О. Таким образом, использование нерелятивнстской формулы для импульса гарантирует точность не хуже 1$! при о/с~О,!4 и не хуже 10% при о(сл:0,45.
$7.2. Основное уравнение релятивистской динамики Согласно принципу относительности Эйнштейна, все законы природы должны быть инвариантны по отношению к инерциальным системам отсчета. Другими словами, математические формулировки законов должны иметь один н тот же вид во всех этих системах отсчета. В частности, это относится и к законам динамики. Однако, как показывает более детальное рассмотрение, уже основное уравнение динамики Ньютона та= и' не удовлетворяет принципу относительности Эйнштейна. Преобразования Лоренца при переходе к другой инерциальной системе придают ему совершенно иную форму.
213 Чтобы удовлетворить требованиям принципа относительности, основное уравнение динамики должно иметь другой внд и лишь при с~с переходить в ньютоновское уравнение. Этим требованиям, как доказывается в теории относительности, удовлетворяет уравнение друбу=Г, где à — сила, действующая на частицу. Данное уравнение по виду полностью совпадает с основным уравнением ньютоновской динамики (3.1). Однако физический смысл здесь уже другой: слева стоит производная по времени от релятивистского импульса, определяемого формулой (7.3). Подставив (7.3) в (7.4), запишем последнее уравнение так: Это и есть о снов йое уравнение релятивистской динамики.
Нетрудно видеть, что именно в таком виде уравнение динамики приводит к сохранению импульса для свободной частицы и при малых скоростях (о<<с) принимает форму основного уравнения ньютоновской динамики (!па = Г). Кроме того, именно в таком виде основное уравнение динамики оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца и, следовательно, удовлетворяет принципу относительности Эйнштейна. Не останавливаясь иа способе доказательства этого, отметим только, что при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой необходимо принять, что сила Г преобразуется по определенным законам. Другими словами, сила Г в теории относительности — величина неинвариантная, в разных системах отсчета ее числовое значение и направление будут различны".
Из основного уравнения релятивистской динамики следует неожиданный вывод: вектор ускорения а частицы в общем случае не совпадает по направлению с век"в*.,и теории относительности проекции силы, перпендикулярные направлению вектора относительной скорости систем отсчета, различны в разных системах. Эти проекции нмеют максимальные значения в тон системе отсчетз, где частица в данный момент покоится: Р„=зч„, Р', =Ран' 1 !в (оуе)з. 214 тором силы г. Чтобы зто показать, запип)ем (73) в та- кой форме: д (т тг)/гз1= г, где т — релятивистская масса частицы.
Выполнив дифференцирование по времени, получим (бт/Ми+ т (бу/б/)=Р. (7.6) Это выражение графически представлено на рис. 7.4. Таким образом, действительно, вектор ускорения а в общем случае не коллинеарен вектору силы Р. Вектор ускорения а совпадает по направленто с вектором Г только в двух случаях: 1) если Глт (попер е ч н а я с ил а). При этом вектор скорости т по модулю не меняется, т, е. о=сапз1, и уравнение (7.5) принимает вид ~"' и г/1 тон/)г1 — (о/с)а = Р, Рис. 7.4 откуда ускорение а —....
(Р/т„) 3~"! — (о/с)з; 2) если Г! т (п р о д о л ь н а я с и л г) . В данном случае уравнение (7.5) мо'кно записать в скалярном виде. Выполнив в его левой части дифференцнрование по времени, получим — — '-' ) — =" то то из/сз ~ бо ~') — (./)з + (! — ( /)з)з/' ./ б/ откуда ускорение (в векторном виде) есть а = (Р/то) (1 — (о/с)з)'гт.
Нетрудно заметитгь что при одинаковых в обоих случаях значе. пнях силы Р н скорости о поперечная сила сообгцает частицс большее ускорение, чем продольнан сила. Основное уравнение релятивистской динамики позволяет найти закон действующей на частицу силы Г, если известна зависимость от времени релятивистского импульса р(/), а с другой стороны, найти уравнение движения частицы г(/), если известны действуюгцая сила и начальные условия — скорость чо и положение г, частицы в начальный момент времени.
В качестве примеров на применение уравнения (7.5) могут служить задачи 7.! — 7.3. $2.3. Закон взаимосвязи массы н энергии Кинетическая энергия релятивистской частицы. Оппрсделим эту величину таким же путем, как н в ньютоновской механике, т. е. как величину, приращение которой равно работе действующей на частицу силы. Сначала найдем приращение кинетической энергии ЙТ частицы под действием силы Г на элементарном пути дг= = тб(: бТ=Гчбг'. Согласно основному уравнению релятивистской динамики (7.4), ГЖ=б(тт) =бт ч+тбт, где т — релятивистская масса. Поэтому бТ=т(бт ч+тдт)=о' бт+то<Ь, где учтено, что тбт=обо (см, с, 98), Это выражение можно упростить, используя формулу (7.2) зависимости массы от скорости. Возведем зту формулу в квадрат и приведем ее к виду >и' с'= т' о'+ т' с'.
о Найдем дифференциал этого выражения, имея в виду, что т„и с — постоянные величины: 2тсо бт=2ттл бт+ 2тт ~с1~. Если теперь разделить это равенство на 2т, то его правая часть совпадет с выражением для дТ. Отсюда следует бТ=со бт. (7.7) Таким образом, приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее релятивистской массы. Кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе покоя то.
Поэтому, проинтегрировав (7.7), получим Т=(т — т,) с', (7.8) илн (7.9) где р=п/с. Это и есть выражение для релятивистской кинетической энергии частицы. Как видно, оно сильно отличаетсЯ от ньютоновского топо)2. Убедим- ся, однако, что при малых скоростях (р«1) выражение (7.9) переходит в ньютоновское, Для этого воспользуемся формулой бинома 11ьютона, согласно которой — (1 12) — 1/з — 1 + (чт + (Зч+ — 2 8 При р«1 можно ограничиться первыми двумя членами этого ряда и тогда Т=т, с' Я'2=та о'/2. а~ аг ау аа и,: аг аг аа аг (а 77=!ус где 9=о(с.
Имея в виду, что Р связано с Т формулой (79), найдем из нее рв =- ! — ! Л ! + т)з. Исключив Рт из этих двух уравнений, получим 2эз + (4 — л) т — 2 (л — ! ) =. О. Корень этого уравнения а = 1!ч(л — 4+ т л(и+ 8)). Знак минус перед корнем физического смысла не имеет (т не может быть отрицательным), поэтому он опущен. 2!7 Таким образом, при больших скоростях кинетическая энергия частицы определяется релятивистской формулой ,(7,9), отличной от тооз/2. Заметим, что (7.9) нельзя представить и в виде тоз)2, где гл — релятивистская мас- ( ! гл; са.
Иа рнс. 7.5 показаны для ' ' Г сравнения графики зависимостей от р релятивистской Тр, и ньютоновской Т„ кинетических энергий. Их различие особенно сильно проявляется в области скоростей, сравнимых со скоростью Рис 78 света. Пример ! Частица с массой покоя шч движется со скоростью, при которой ее релятивистская кинетическая энергия Т в л раз превышает значение кинетической энергии Т, вычисленное по нерелятивистской формуле. Найдем Т.
Введем для упрощения записей обозначение т= Т)шФ. Тогда заданное условие Т=лт,сЦ2 можно записать так: т = л)в)2 Приведем четыре значения т, вычисленные по последней формуле для следующих значений л: и = Т)Тя: 1 01 1 ! 1 5 2 О и = — Т!тосе: 0,0067 0,065 0,32 0,62 Отсюда видно, что, например, при Т)таст.с0,0067 использование не- релятивистской формулы для кинетической энергии гарантирует точ. ность ие хуже 17о Пример 2.
Какую работу необходимо совершить, чтобы увеличить скорость частицы с массой покоя то от 0,6 до 0,8 су Сравним полученный результат со значением, вычисленным по иерелятивистской формуле. Искомая работа з соответствии с формулой 17.9) равна 1 1 А = Тх — Т! = то сз 0,42 то сз. ~/! 62 )7' 1 ьех ! Соответствующая же работа, по нерелятивистской формуле, А = л'о(с'з о!)/2= — О 14 тост. Как видно, различие между обоими результатами весьма значительное. Закон взаимосвязи массы и энергии.
Из формулы (7.7) следует, что приращение кинетической энергии частицы сопровождается пропорциональным приращением ее релятивистской массы. Вместе с тем известно, что прп протекании различных процессов в природе одни виды энергии могут преобразовываться в другие. 11апример, кинетическая энергия сталкивающихся частиц может преобразоваться во внутреннююэиергию образовавшейся частицы, Поэтому естественно ожидать, что масса тела будет возрастать не только при сообщении ему кинетической энергии, но и вообще при любом увеличении общего запаса энергии тела независимо от того, за счет какого конкретного вида энергии это увеличение происходит. Отсюда Эйнштейн пришел к следующему фундаментальному выводу; общая энергия тела !или системы тел), из каких бы видов энергии она ни состояла !кинетической, электрической, химической и т.
д.), связана с массой этого тела соотношением (7.10) Эта формула выражает один из наиболее фундаментальных законов природы — закон взаимосвязи (пропорциональности) массы т и полной энергии Е тела. Во избежание недоразумений обратим внимание на то, 216 что в полную энергию Е не включена потенциальная энергия тела во внешнем поле, если таковое действует на тело. Соотношение (7.10) можно записать и в другой форме, если учесть формулу (7.8). Тогда полная энергия тела Е=гпа сз+Т, где пта — масса покоя тела, Т вЂ” его кинетическая энергия. Отсюда непосредственно следует, что покоящееся тело (7=0) также обладает энергией Ее=та ез.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
