И.Е. Иродов 'Механика. Основные законы' (510775), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Поэтому (Т + 2то сг)г — Т (Т 1-2тс сг) — Моосо Отсюда 1 Мо = —,У'2тз(Т + 2то сз). с Скорость образовавшейся частицы — зто скорость Ц.системы. Со. гласно (7.32), )г =- рог/Е .= с ) г Т /(Т -1- 2тз со) . Задачи В н и м а н и е! В задачах 7.4 — 7.11 использованы сокращенные обозначения, приведенные в конце $7.4 (иапример, р и то — это сокращенные записи величии рс и того). ф 7.1. Движение под действием продольной силы Частица с массой покоя то аачала двигаться под действием постоянной силы Г.
11айти зависимость скорости частицы от времени, Решен не. Уооножим обе части уравнения (7.5) на бй тогда (.') ( Р 1 — (о/с)г ) Проинтегрировав это выражение с учетом того, что в начальный момент о=О, получим пгоо/)1 — (о/с)'=Гй Отсюда п(1) = г//тз )г 1+ (Р//тс с)г Сравним полученное выражение с ньютоновским. Согласно второму закону Ньютона, а/ Е/то и скорость оо=р!/то, поэтому предыдущее выражение для скорости и(1) можно представить так: пн о (1) = тг 1 -1- (он/с)г Отсюда видно, что оч.,о„т. е. действительная скорость и частицы растет со временем медленнее, чем о„причем при 1-ооо скорость о-ос (рис. 7.7). Интересно, что импульс частицы при этом будет расти линейно со временем; из уравнения др/б)=Р следует, что р/ Ей В этом ха- 230 рактерная особенность релятивистского движения; в то время как скорость частицы стремится к определенному пределу (т.
е. практически устанавливается), импульс частицы продолжает расти. ф 7.2. Движение под действием поперечной силы. Релятивистская чзстнца с массой покоя та и зарядом е движется в постоянном однородном магнитном поле, индукпия которого В Движение происходит по окружности радиуса р в плоскости, перпендикулярной вектору В. Найти импульс и круговую частоту обращения частицы по окружности. Решен н е. В данном случае частица движется под действием силы Лоренца Р= =е(чВ], где ч — скорость частицы. Так как Рз ч, то модуль скорости частицы о=сопз1 и уравнение (7.5) принимает вид та = л (чВ], где т — релятивистская масса частицы, Имея в виду, что а представляет собой нормальное ускорение, равное по модулю и'/р, перепишем предыдущее уравнение так: тоз/р=еоВ. Отсюда импульс частицы Рис.
7.7 р = ти = е р В. Значит, круговая частота ю зависит от скорости частицы; чем боль. ше скорость частицы, а следовательно, и ее релятивистская масса т, тем меньше частота м. Однако прн малых скоростях (о Сс) т-ьтз и м = дВ/то = сопят, т. е. при нерелятивистскнх скоростях частота и практически не зависит от скорости. ° 7.3. Релятивистский протон с импульсом р, влетел в момент 7=0 в область, где имеется поперечное однородное электрическое поле с напряженностью Е, причем р,.( Е. Найти зависимость от времени угла 6, на который протон будет отклоняться от первоначального направления движения. Ре ш е ни е. Выбрав оси координат (х — вдоль вектора рз, У— вдоль вектора Е), запишем уравнение (7.4) в проекциях на эти оси: бл,/б/=О, бре/а(=еВ, где е — заряд протона. Из этих уравнений следует, что р, Рз, Р,= =е/ й или 23! Видно, что произведение рВ может служить мерой релятивистского импульса частицы.
Период обращения частицы по окружности Т=2кр/и, откуда круговая частота обращения м=2п/Т=,и/р. Учитывая (1), получим э = УВ/т. шо ох то оп =- Ро =- еЕП (1) !'! — (о/с)з эг! — (о/с)з Взяв отношение последних двух равенстн, найдем !2 Ь =. ок/о„= еЕ(/Ро.
Интересно отиетить, что в отличие от нерелятивистского случая здесь о„ уменьшается со временем. Чтобы в этом убедиться, возведем оба равенства (1) в квадрат и затем сложим отдельно их левые и правые части: шв(о +од/ 1 — (о/с)з = ро+ (сЕ/)'. Заметив, что о,э+п„з=о', получим Подставив это выражение в первое из (1), найдем гг! + (лгз с/рэ)з+ (еЕ//ро)з т. е. действительно, о, уменьшается с ростом й ° 7,4.
Симметричное упругое рассеяние. Релятивистский протон с кинетической энергией Т испытал упругое столкновение с покоившимся протоном, в результате чего обз протона разлетелись симметрично относительно первоначального направления движения. Найти угол между иапранлениями разлета протонов после столкновения. Р е ш е и и е. При симметричвом разлете протонов их импульсы и эаергин должны быть одинаковы по модулю. Это сразу видно из треугольника импульсон (рис 78), выражающего закон сохранения импульсов.
Из этого треугольника, согласно теореме косинусов, сле. дует, что р'=2р'+2р' соз О, о~куда соз 0 =- рт/2р'з — 1, Воспользовавшись формулой (7.25) и учтя, что Т=2Т', где Т'— кинетическая энергия каждого протона после столкновения, найдем рз Т(Т+2та) Т+2то — 4 р'з Т' (Т'+2шо) Т + 4)ив где тэ — масса покоя протона. После подстановки этого выражения в формулу для соз О получим соз В =- Т/(Т + 4гно).
Заметам, что в отличие от нсрелятивистского случая, когда О=п/2, здесь Ос.п/2. ° 7.5. Рассеяние фотона на электроне. Фотон с энергией е испытал рассеяние на покоившемся свободном электроне. Найти энергию з' рассеянного фотона, если угол между направлениями движения рассеянного и налетающего фотонов равен О. 282 Р е ш е н и е. Воспользуемся законами сохранения энергии и им.
пульса. В данном процессе Те =- е — е', Ре = Р— Р' где Т„и ре — кинетическая энергия и импульс электрона отдачи, р н р' — импульсы налетающего и рассеянного фотонов. Из треугольника импульсов (рис. 7.9), согласно теореме косинусов, следует, что рз = рз з- р'з — 2р р' соз 3. Подставив сюда р=з, р'=в' и Ре = УТа ГТе + йте) = у (е — е') (е — з' + 2те) Рис. 7.8 Рис.
7.9 где те — масса покоя электрона, получим после несложных преобра. зований ! + 2 (е/те) з!пз (3/2) ° 7.6. К методу встречных пучков. Два протона движутся навстречу друг другу с одинаковыми кинетичеснимн энергиями Т (н К-системе отсчета). Найти кинетическую энергию Т' одного протона в К'-снстеме отсчета, где другой протон покоится. Р е ш е н н е. Воспользуемся ннвариавтвостью величины Ее — р', записав ее в К-системе (она здесь является одновременно и 7(-систе. мой), а тахже в К'-системе: ]2 (Т + тз)]з = (Т' + 2тс)з — Т' (,Т' + 2тз), где т, — масса покоя протона.
Отсюда Т' .=, 2Т (Т + 2то) !то Например д ~я протонов (та=1 ГэВ) прн 7=50 ГэВ величина Т'=5 10» ГэВ. Возможность получения такого большого «выигры. ша» в энергии лежит в основе метода встречных пучков. ° 7.7. Энергетическая схема ядерной реакции Частица Аа с ки. нетической энергией Т, налетает на покоящееся ядро Аз (в К-системе). В результате реакции образуются ядра Аз и Ан А!+ Аз - Аз+ Ач. Массы покоя частил равны соответственно гнь те, т„ть Изобра. знть энергетическую схему ядерной реакции для двух случаев а) (те+ тз) ) (те+те); б) (те+ те) ( (тз+ те) .
233 Р е ш е н и е. Прежде всего ясно, что о пороговой энергии может идти речь только в том случае, когда сумма масс покоя возникших частиц превышает сумму масс покоя первичных частиц. Чтобы найти Т„„, воспользуемся инвариантностью величины Е' — р'. Запишем эту велй. чину до столкновения при 7= Тчор в системе отсчета, где частица Мэ покоилась, и после столкновения — в Ц-системе: Е' — рз=Е', или (Тчэр+ то+ Мо)з — Тпэр(Тпчр+ 2то) = (тт+ то+...)з. Здесь учтено, что в Ц-системе кинетвческая энергия возникгпих частиц равна нулю на пороге реакции, поэтому их полная энергия равна просто сумме масс покоя отдельных частиц. Из последнего уравнения находим (т~+ тз+ ...)з — (то+ Мо)о пэр 2Мо ° 7.9, Найти пороговую энергию фотона для рождения пары электрон — позитрон в поле покоящегося протона, если массы покоя электрона и позитропа равны тм а протона — Мо. Р е ш е н и е.
Воспользуемся ннвариатностью величины Е' — р' и запишем ес до взаимодействия в системе отсчета, где протон покоится, а после взаимодействия — в Ц-свстеме. При пороговом значении энергии г, налетающего фотона (я р+ Мо)~ з р = (Мо+ 2то)з' Отсюда з„,р —— 2та (! + то/Мо) Видно, что для рождения пары необходимо, чтобы энергия фотона была больше 2т, (этого требует закон сохранения импульса).
° 7.10, Энергии частиц в Ц-системе. Фотон с энергией в в лабораторной системс отсчета налетает на неподвижную частицу Л, масса покоя которой равна т,. Найти: 1) скорость Ц-системы этих двух частиц; 2) энергию фотона и частицы Л в данной Ц-системе. Р е ш е и и е 1. Согласно формуле (7.32), скорость Ц-системы рс =/г/Е = з/(то+ э). 2. Из преобразования (7.26) для энергии следует, что в Ц-системе энергия фотона з=(з — рср)//Р 1 Рс где рс — скорость Ц-системы. Подставив сюда р=з и выражение для ))с из предыдущего пункта, получим в = У'1+2з/то Частица А движется в Ц-снстеме со скоростью р=()с, поэтому ее полная энергия в Ц-системе 235 Ел гяо гло + а ф'! -1- 2а/эао с В правильности полученных формул можно убедиться, воспользовавшись инвариантностыо величины Е' — р' при переходе от лабораторной к Ц-системе отсчета: (в+ що)т — ат = (в+ Ел)т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
