И.Е. Иродов 'Механика. Основные законы' (510775), страница 44
Текст из файла (страница 44)
° 7.11. Распад движущейся частицы. Релятивистский и'-мезон с массой покоя л!а распался на лету на два у-фотона с энергиямн е, и еа (в К-системе отсчета). Найти угол 0 между направлениями разлета этих фотонов. Р е ш е н и е Исходя из инвариантности величины Е' — р', запишем ее до распада в Ц-системе, а после распада — в К-системе: жо = (а!+ а2) (Р! + Р2) 2 где р, и рв — импульсы фотонов. Преобразуем правую часть этого уравнения, учитывая, что р,=е! и ра=еа Тогда гло = 2в! ах — 2р! Рз = 2а! вз (! — соз О). Отсюпа жО з!п — = 2 2 г'ваап ПРИЛОЖЕНИЯ 1.
Движение точки в полярных координатах В полярных координатах р, ~р ноложенне точки А на плоскости определено, если заданы ее расстояние р от начала отсчета 0 и угол ф между радиусом-вектором р точки и выбранныл~ направлением 00' — началом отсчета угловой координаты гр (рис. 1, а). Введем единичные векторы — орты е и е , связанные с движу- Р т' шейся точкой А и напранленные в сторону возрастания соответству- д) дед дяг Рис.
1 ющих координат р и ~р, как показано на рис. 1, а. В отличие от ортов декартовой системы координат, орты е и е — подвижные е т (при движении точки А онн меняют свое направление). Найдем сразу же нх производные по времена — онн понадобятся ниже. При движении точки А за промежуток времени д( оба орта повернутся в одну сторону на один н тот же угол дез (рнс, 1, б) и получат прира.
щения: де =! ду е, де =-! ° ду ( — е ). Поделив оба выражения на дй получим ер —— уе, е = — — уер где точка сверху над буквой означает дифференцирование меня. Теперь найдем скорость в ускорение точки А, записав ее вектор р в виде по вре- радиус- (2) р= ее Скорость точки ч. Продифференцируем (2) по времени с учетом (1): ч = р е р + ру е (3) Отсюда видно, что проекции вектора ч на подвижные орты е р и е равны; ор=р, =ру, т (4) а модуль вектора скорости о= у р'+р'грз.
Ускорение точки а. Продифференцировав (3) еще раз по времени, получим д а= р ее+ рее+ — (р р) е + р р е 0 0 Рнс. 2 Учтя (1), после несложных преобразований найдем а = (р — р рг) е + (2р |р + р гр) е т, е, проекции вектора а на орты ер и е т имеют вид ! д а = р — р рг, а =2р р+ру= — — (рг р).
(6) Р р бг Основное уравнение динамики в полярных координатах. Основ; нос уравнение динамики гла=р в проекциях на подвижные орты е р и е легко получить сразу, воспользовавшись формулами (6): (7) где Р н Р— проекции вектора Г на орты е и е (рис. 2), На этом рисунке Рр<0, а р >О. 238 гл (р р рг) — Р ! г! гл — — (рту) = Р р б! ,ог гл а Рнс, 3 2. О задаче Кеплера В задаче Кеплера рассматривается вопрос о движении частицы в центральном поле сил, убывающих обратно пропорционально квадрату расстояния от центра поля. Этому закону подчиняются силы гравитационного притяжения между материальными точками (или телами, обладающими сферической симметрией), а также кулоновские силы между точечными зарядами. В таком поле потенциальная энергия частицы У= — а(р, где а— постоянная, р — расстояние от центра поля.
Рассмотрим случай, когда а)0, т. е. сила, действующая на частицу массы т, направлена к центру поля (притяжение). Какой вид будет иметь траектория частицы в полярных координатах р(оР), если прн оР=О р(0) =ро, а скорость частицы перпендикулярна радиусу. вектору и равна оо (рис. 3)? Для решения этой задачи обычно используют законы сохранения энергии и момента импульса. В полярных координатах р, ф из этих законов следует: т(зт (Рэ+ Рэуз) — а(? =Я, т?э ? =Е, где Е и ь — полная механическая энергия и момент импульса частицы относительно точки Π— центра поля.
Обе эти величины легко найти из начальных условий. Решение данных уравнений проводят следующим образом. Сначала в первом уравнении переходят от дифференцирования по времени к дифференцированию по ор — это можно сделать с помощью второго уравнения: Ж= (тро(()о(ор. Затем разделяют переменные р и ор, т. е. приводят полученное выражение к зилу Й~Р=((р) бр.
И наконец, интегрируют это уравнение с учетом начальных условий, Ре. зультат интегрирования н дает искомое решение р(оР). Мы пе будем здесь подробно аосироизводить довольно громоздкий ход решения этих уравнений (при желания его можно найти почти в любом курсе теоретической физики илв механики). Ограничимся лишь анализом полученного решения, которое имеет вид Р(Р) = (!) а+ (1 — а) сову где а=а(трооо'. Из математики известно, что уравнение (1) определяет кривую второго порядка.
В зависимости от значения параметра это может быть эллипс (окружность), парабола илн гипербола. 1. Сразу видно, что при а=) величина р не зависит от ор, т. е. траекторией является окружность. Такую траекторию частица будет иметь при скорости оо, равной пг = )г а (т Ро . (2) 2.
Для всех значений параметра а, при которых р конечно вплоть до ф=п, траектория будет иметь форму эллипса. Как следует из (1), при о?=а Р(п) = РоЛ2а — !). Отсюда видно, что р(п) будет конечным лишь при 2а>1, т. е. при скорости оо(огг, где а! г = )г 2а(т Ро. (3) 239 3. Если же 2а=1, т. е. о,=оы, то эллипс вырождается в параболу — частица обратно не вернется. 4. При оэ)оы траектория будет иметь форму гиперболы. Все зтн случаи показаны на рис. 4.
Следует обратить внимание на то, что для эллиптических орбит центр поля совпадает с одним нз фокусов эллипса: при ээ(ис — с задним фокусом, а при оэ)ос— с передним. Заметим, что уравнение (1) описывает, например, траектории планет Солнечной системы (при этом а=утМ, М вЂ” масса Солнца). Применительно к движению космических аппаратов скорости ос и оп г,, Рис.
5 Рис. 4 являются соответственно первой и второй космнческими скоростями. Ясно, что их значения зависят от массы тела, являющегося источником почя. 3. Доказательство теоремы Штейиера Теорема: момент инерции ! твердого тела относительно пронзвольной осн О равен моменту инерции )с этого тела относительно оси С, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы и тела на квадрат расстояния а между осями: у=ус+тат, Доказательство. Пусть положение рго элемента твердого тела относительно осей О н С характеризуется векторами р; и рм а положение осн С относительно осн Π— вектором а (рис.
5, плоскость которого перпендикулярна осям О н С). Воспользовавщись связью между этими векторами (р;=р; +а), преобразуем выражение для момента инерции тела относительно оси О следующим образом: у = ~„иг р т = ~~'~ вц (р с + в) з, нли ! = "р~ т; рта+ 2а ~~ и; рс+ ~м", и; ат. В правой части этого равенства первая сумма представляет собой момент инерцци тела (с относительно оси С, а последняя сумма просто равна та'.
Остается показать, что средняя сумма равна нулю. Пусть г~ — радиус-вектор 1-го элемента тела относительно центра масс, тогда относительно последнего суммарный вектор ~тгг;= =О, согласно (3.8). Но р! — это составляющая вектора гь5 перпендикулярная осям О и С. Отсюда ясна, что если суммарный вектор равен вулю, то и сумма его составляющих в плоскости, перпендикулярной осям О и С, также равна нулю, т.
е. ~дыр,=О, Теорема, таким образом, доказана. 4. Греческий алфавит Р, р — ро 2, и — сигма 1, г — йота К,н — каппа Л, л — ламбда Т, т — тау Т, и — ипснлон М, р — мю "г(, ъ — ню гр, ~р — фи Х, )! — хи Ч', ф — пси Й, ы — омега Я,  — кси О, о — омикрон П, и — пи Это единицы времени — секунда (с), единица длины — метр (м) и единица мэссы — килограмм (кг). Секунда — это промежуток времени, в течение которого совершается 9 192 631 770 колебаний электромагнитного излучения, соответствующего переходу между двумя определенными сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133.
Эталон времени и частоты состоит из атомно-лучевой трубки с пучком атомов цезия н радиотехнического устройства, которое дает набор электрических сигналов фиксированной частоты. Секунда приблизительно равна 1(86400 средних солнечных суток. Метр — это длина, равная 1 650 763,73 длин волн в вакууме оранжевой линии атома крнптона-86 (линии, соответствующей переходу между уровнямн 2р„и бааз данного атома) Эталон для воспроизведения метра представляет собой комплекс аппаратуры, включающей интерферометры для точного измерения длин.
Метр приблизительно равен 1/40 000 000 доле длины земного меридиана. Килограмм — это масса платино-иридиевого эталона, хранящегося в Международном бюро мер и весов (в Севре, близ Парижа). Масса эталона близка к массе 1 дм' чистой воды при 4'С. 241 А, а — альфа В, 11 — бета Г, у — гамма Л, 8 — дельта Е, е — эпсилон Х, Ь вЂ” дзэта Н, т) — эта !8, О, Π— тэта 5. Основные единицы СИ в механике 6. Формулы алгебры н тригонометрии Корни квадратного уравнения ахв+бх+с=О: — б з ~Г бт — 4ас х|л = 2а Некоторые приближенные формулы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
