И.Е. Иродов 'Механика. Основные законы' (510775), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Так же сложно обстоит дело и с массой покоя Мо системы, о которой в общем случае можно сказать только одно: зто масса в системе отсчета, где данная механическая система как целое покоится (т. е. в Ц-системе). Вследствие указанных трудностей построение динамики системы релятивистских частиц ограничено сравнительно немногими простейшими случаями, на двух из которых мы и остановимся. Это система пз невзаилгодействуюп(их релятивистских частиц и важный в практическом отношении случай столкновения двух частиц.
Система невзаимодействующих частиц. В этом случае полная энергия Е и импульс р обладают аддитивными свойствами и для системы их можно представить в виде Е=~~~~~пггсо Р=~'Р. (7.28) где пн и р; — релятивистская масса и импульс г-й частицы системы. Так как взаимодействий в данном случае нет, то скорости всех частиц постоянны, а следовательно постоянны во времени полная энергия и импульс всей системы. Введем понятие энергии покоя Е, системы частиц как полнуго энергию ее в Ц-системе, где суммарный импульс р=~ч„'рг=О, и система как целое покоится.
Таким образом, Е„= ~~~~ Еь (7.29) где Е,— полная энергия г-й частицы в Ц-системе. Это значит, что в энергию покоя входит кроме энергии покоя каждой частицы н их кинетическая энергия Тг в Ц-системе: Е,=пго,с'+7гг. Это же относится, очевидно, и к массе покоя системы; Мо=Е гсо. (7. ЗО) Отсгода, в частности, следует, что масса покоя системы не равна сумме масс покоя отдельных частиц, а именно: Л'~о) «~пгог. 225 Введение энергии и массы покоя системы 1Е, и Мо) позволяет рассматривать систему невзаимодействующих релятивистских частиц как одну частицу с полной энергией Е=~ч~т;с', импульсом р=~ рь массой покоя Мо= =Ее)с' и утверждать, что выражения (7.12) н (7.14) справедливы и для системы частиц: Ез — рз сз = Мз с' =! пч, р=ЕЧ1сг (7.31) (7.32) где Ч вЂ” скорость системы частиц как целого, т.
е. скорость Ц-снстемы. Эту скорость, согласно (7.32), можно представить в таком виде: Ч= —, ~ч;К (7.33) ~~~~~ лч где т~ — релятивистская масса 1-й частицы системы, Заметим, что (7.33) по форме совпадает с соответствующим нерелятивистским выражением (4.9) для скорости центра масс системы. Столкновение двух частиц. Рассмотрим процесс столкновения, происходящим в два этапа: сначала образование некоторой составной частицы А' и затем ее распад на какие-то в общем случае другие частицы: Убедимся, что это именно так, на следующем простом примере.
226 А,+А,-А~-Аз+А,+.... В процессе сближения частиц А, и Аз взаимодействие между ними может становиться не малым, и формулы (7.28) теряют свою применимость. Однако после того, как возникшие частицы разойдутся на большое расстояние друг от друга, эти формулы опять применимы. В данном случае можно показать, что сумма полных энергий двух исходных частиц (когда онн находятся настолько далеко друг от друга, что их взаимодействие пренебрежимо мало) равна полной энергии составной частицы. Это же относится и ко второй стадии процесса — распаду. Другими словами, можно показать, что для этого процесса оказывается справедливым закон сохранения полной энергии в таком виде: Ех+ Еъ =Е~=Еъ+ Еь+ " ° (7.34) Представим себе столкновение двух одинаковых частиц 1 и 2, в результате которого образуется некоторая составная частица.
Пусть частицы до столкновения движутся навстречу друг другу в К-системе с одинаковыми скоростями о, как показано на рис. 7.6, Рассмотрим теперь этот процесс в К'-системе, движущейся влево со скоростью У относительно К- системы. Так как в К-систе- к 7 ме скорость каждои частицы перпендикулярна вектору У, то, согласно (б.14), обе частицы в К'-системе имеют х-компоненту скорости, равную (7. Такую же скорость в К'-системе будет иметь и образовавшаяся частица, релятивистскую массу которой обозначим М, Из закона сохранения импульса до и по- Рис. 7.6 еле столкновения получим (для х-составляющей импульса) 2ш(о'))7=МУ, где о'— скорость каждой исходной частицы в К'-системе.
Отсюда 2т (о') =М, т, е. сумма релятивистских масс исходных частиц равна релятивистской массе образовавшейся частицы, Лналогично дело обстоит и в К-системе. Действительно, при очень малом значении скорости У скорость о' практически равна о, а масса М вЂ” массе покоя Мо образовавшейся частицы, так что в К-системе 2ш (о) ™а. Отсюда видно, что масса покоя образовавшейся частицы больше суммы масс покоя исходных частиц. Кинетическая энергия исходных частиц претерпела превращение, в результате которого масса покоя образовавшейся частицы превысила сумму масс покоя исходных частиц. Итак, мы показали, что вследствие сохранения импульса системы сумма релятивистских масс исходных частиц равна релятивистской массе образовавшейся частицы.
Это же, очевидно, относится и к полной энергии. Поэтому можно утверждать, что сохранение полной энергии в форме (7.34) действительно имеет место для рассматриваемых стадий этого процесса. 227 Применение закона сохранения энергии к ядерным процессам позволило, как утке говорилось в конце 5 7.3, экспериментально проверить справедливость одного из фундаментальных законов теории относительности— закона взаимосвязи массы и энергии. Рассмотрим примеры.
Пример !. Энергетический выход ядерных реакций. Возьмем ядерную реакцию типа А!+Аз- Аз+ Аз, где слева — всходные ядра, справа — ядра — продукты реакции. Применим к этой реакции заков сохранения полной энергии: Е! + Ег = Ез + Ем Имея в виду, что полная энергия каждой частицы может быть представлена как Е=тзсзШТ, где тэ — масса покоя соответствующего ядра, Т вЂ” его кинетическая энергия, перепишем предыдущее равен. ство так: (гл! ! шз) сз 1-Тш = (лгз+ ш4) ст ! 7з4, где Т!з н Тзз — сУммаРпые кинетические энеРгии ЯдеР до н после реакции. Отсюда Тз4 Тш = (ш! '+ шз) сз (/пз + л44) сз.
Левая часть этого равенства есть приращение суммарной кинетической энергии ядер данной системы — то, что называют э н е р г с т ическим выходом ядерной реакции и обозначают Я, Итак, 47 =!(т! + тз) — (тз -1- т4)) сз. Эта велпчина может иметь любой знак — в зависимости от характе. ра той или иной ядерной реакции. Таким образом, энергетический выход ядерной реакцни определяешься разностью суммарных масс покоя ядер до и после реакции. Все величины, входящие в это соотношение, могут быть экспериментально измерены с достаточно высокой точностью, тем самым можно проверить н сзмо равенство.
Рассмотрим конкретную ядерную реакцию: ть! + 4Н 24Не Измеренные массы покоя этих ядер (в атомных единицах массы а. е. м.) равны соответственно 7,0160, 1,0078 н 4,0024 а. е. м. Отсюда нетрудно подсчитать, что сумма масс покоя ядер в результате ядерной реакции уменыцилась на 0,019 а, е. м. Учитывая, что 1 а. е. м.
соответствует энергии 931,4 МэВ, найдем О=0,019 931,4 МэВ= = 17,7 МэВ. Этот результат с большой точностью совпадает с данными эксперимента. Пример 2. Распад частицы. Пусть покоящаяся частица А, самопроизвольно распадается на частицы Ат и Аз. Согчасно закону сохранения полной энергии, Е! —. Ез+ Ез Так как полная энергии каждой частяпы Е=тзсз4Т, то предыду- щее равенство примет вид 228 тзс2 = (т2+ та) с2+ Тгз где ты — суммарная кинетическая энергия образовавшихся частиц. Эту энергию называют э н е р г и е й р а с и а д а (с, Таким образом, () = [т,— (тг-1-тз)) сг Поскольку сс — величина существенно положительная, самопроиз.
вольный распад частицы возможен только при условии т1) тг -1- тз т. е. если масса покоя первичной частицы больше суммы масс покоя возникающих частиц В противном случае самопроизвольный распад невозможен. Эксперимент полностью подтверждает этот вывод. Рассмотрим, например, распад и-мезона. Экспериментально установлено, что заряженные и-мезоиы распадаются иа мюои н нейтрино: и-мм+ш Согласно табличным данным, массы покоя этих частиц (в единицах массы покоя электрона) рваны соответственно 273,2, 206,8 и О. Отсюда следует, что масса покоя в результате распада уменьшается иа 66,4 электронной массы.
Так как массе покоя электрона соответствует энергия 0,6! МэВ, то энергия давного распада С)=664 0,51 МэВ=34 МэВ, что находится в точном соответствии с результатами эксперимевта. Тот факт, что в результате столкновения частиц и последующего затем распада составной частицы полная энергия системы (а значит, н ее импульс) не меняется, приводит к другому важному выводу: величина Е' — р'с' для системы будет инварнантной не только по отношению к разным инерциальным системам отсчета, но и для указанных выше стадий процесса столкновения.
Пусть, например, две релятивистские частицы испыталн столкновение, в результате которого образовалась новая частица с массой покоя Мо. Если в К-системе отсчста полные энергии частиц до столкновения равны Е, и Еш а нх импУльсы — соответственно Рг и Рг, то мы сРазУ можем записать, что при переходе от К-системы (до столкновения) к Ц-системе (п о с л е столкновения) будет выполняться следующее равенство: (Е +Е )2 — (р, + р )2 сг= Мсо с', (7.35) К.аисте и а Ц-сиссема где учтено, что в Ц-системе образовавшаяся частица покоится. Инварнантность величины Е' — р'с' дает нам незаменимый инструмент при изучении различных процессов распада и столкновения релятивистских частиц, с помощью которого чрезвычайно упрощается как анализ самих процессов, так и соответствующие расчеты.
229 Пример. В К-системе отсчета частица с массой покоя то и кинетической энергией Т налетает на другую, покоящуюся, частицу с той же массой покоя. Найдем массу покоя М, и скорость К составной частицы, образовавшейся в результате столкновения. Воспользовавшись инвариантностью величины Е"" — р'с', запишем Ег — рг сг =- Л4о~со где левая часть равенства относится к К.системе отсчета (до столкновения), а правая — к Ц-системе (послс столкновения), В данном случае Е=Т-1-2т,с'. Кроме того, согласно (7.15), р'с'=Т(Т+2тос').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
