И.Е. Иродов 'Механика. Основные законы' (510775), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Например, ось От — это мировая линия частицы, покоящейся в точке х=б. Ось Ох изображает совокупность всех событий, одновременных с событием О, независимо от координаты х. Мировая линия, соответствующая распространению света из точки О в положительном направлении оси Ох, представляет собой бис. сектрису ОС прямого угла (точечная прямая на рис. 6.16). Изобразим на этой диаграмме оси От' н Ох' Кпснстемы. Миро. вую линию начала отсчета К'-системы получим, положив в преобразованиях Лоренца (68) х'=О.
Тогда х=)г(=рт, где й=)г/с. Это есть уравнение прямой, которая составляет с осью От угол О, определяемый формулой (н д= Р. Полученная прямая — мировая линия — представляет собой совокупность всех событий, происходящих в начале отсчета Кпсистемы, т. е, ось От Ось Ох' К.системы — это прямая, изображающая все события, одновременные в Кпснстеме с событием О. Положив в преобразова- 20! ниах Лоренца (68) 1'=О, получим с(=х)г/с, или т=()х. Отсюда следует, что ось Ох' составляет с осью Ох тот же угол д (18 6=(3). Таким образом, оси От' и Ох' К'-системы расположены симмет. рично по отношению к мировой линии света ОС и координатная сетка К'-системы (т', х') оказывается косоугольной.
Чем больше скорость )г системы К, тем более есплющенной» будет ее координатная сетка (при )г-»с она вырождается в мировую линию света), Последнее, что необходимо сделать на данной диаграмме, — это проградуировать оси От, Ох и От', Ох' обеих систем отсчета. Проще всего это можно сделать, воспользовавшись инвариантностью интервала: зз = вз — хз = с'з — х'з. Отметим на оси От К-системы точку, соответствующую единице времени в К-системе (т=1, рис.
6.1?). Проведем через эту точку гиперболу хз — хз =!, все точки которой отвечают инварнантному интервалу э=! (ибо при х=б т=! и з=!). Ее асимптотой является мировая линия света. Точка пересечения этой гиперболы оси От' соответствует единице времени в Косистеме. Действительно, т'з — х'э= 1, и при х'=0 координата т'= 1. Аналогично градуируются и оси Ох, Ох'. возьмем в К-системе точку х= 1, т=0 и проведем через нее гиперболу х' — т»= 1.
Тогда точка пересечения ее с осью Ох', где т'=О, дает единицу длины (х'= 1) в К'-системе (так как х'з — г'»= 1 и с'=О, то х'= 1). Построенная таким образом лиаграмма — д и а г р а м м а М и н. к о в с к о г о — соответствует переходу от К- к К'-системе и отвечает преобразованиям Лоренца (6.8). В согласии с принципом относительности для обратного перехода от К' к К-системе диаграмма будет иметь совершенно симметричный вид: у К'-системы координатная сетка будет прямоугольной, а у К-системы — косоугольной (предоставим в этом убелиться самому читателю).
Пока'кем, как просто и наглядно диаграмма Минковского позволяет интерпретировать, например, такие релятивистские эффекты, как относительность понятия одновременности, замедление времени и лоренцево сокращение. Относительность понятия одновременности следует непосредственно из рис. 6.18.
Действительно, события А и В, одновременные в К-системе, в К'-системе оказываются неодновременными. Событие А произойдет позже события В на время бт'. Замедление времени. Рассмотрим двое часов, К и К', которые показывали одинаковое время т=т'=0 в момент, когда они находилнсь в одной точке пространства (х=х'=0). Предполагается, что часы К неподвиэкные в К-системе, а часы К' — в К'-системе. Пусть по часам К прошла единица времени (т= 1); зто отвечает событию А на диаграмме (рис. 6.19). Проведем через точку А гиперболу т' — х'= 1 и прямую АВ', характеризующую все события, одновременные в К-системе с событием А.
Пересечение оси Ог' (мировой линни часов К'] с гиперболой дает точку А' (т'= 1), а с прямой ОВ' — точку В' (т'ч.!). Это значит, что в К'-системе в момент, когда по часам К у'ке прошла единица времени, по движущимся часам К' единица времени еще не прошла, т. е. часы К' идут замедленно, 202 Убедимся с помощью втой же диаграммы, что аффект замедления времени является обратимым. Проведем прямую ВА', параллельную осв Ох, которая характеризует все события, одновременные в Кчснстеме с событием Л' (т'=-1). Точка пересечения В этой прямой с мировой линией часов К вЂ” осью От — показывает, что тч.!, т.
е., в самом деле, по отношению к К'-системе замедленно идущими оказываются теперь часы К. Лоренпево сокращение. Пусть метровый стержень покоится в К- системе (отрезок ОА иа рис. 6.20). Мировые линии его концов — это прямые От и ЛО. Чтобы измерить длину этого стержня в К'-системе, Рис. 6.19 Рис. 6.18 надо зафиксировать координаты его концов одновременно в этой системе. Но в К'-системе одновременным с событием О (фиксированием левого конца стержня) является событие В' — точка пересечения мировой линии правого конца стержня с линией одновременности Ох'.
Из диаграммы видно, что в К'-системе ОВ'<ОЛ', т. е. дан. жушнйся относительно Кчсистемы стерв'ень будет короче метра. Так же просто можно показать, что и лоренпево сокращение является обратимым. Если метроный стержень покоится в К'-системе (отрезок ОА'), то, проведя мировые линии его концов в этой системе (От' н Л'В), увидим, что в К-системе при одновременном измерении координат его коннов отрезок ОВч.,ОЛ, т. е, по отношению к К. системе лореппево сокращсние будет испытывать Кпстержеиь.
Задачи ° 6.1. Преобразование длины. В К-системе отсчета находится не- подвижный стержень длины 1= 1,00 м, ориентированный под углом 0= 45' к оси Ох (рис. 62!). Найти его длину 1' и соответствующий угол 0' в К'-системе, движушейся относительно К-системы со ско- ростью У=.с12 вдоль оси Ох, Р е ш е н н е. Длина стержня в К'-снстеме 1' = — ') (йх')з+ (ду')з = у~(зх)з (1 — рз) -1- (Ьр)з, где 6= г1с. Имея в виду, что Ах=1 соз 0 и Лу=( зш О, получим 203 Р=( г — тл.н-ьн Угол 0' в К'-спстеме найдем через тангенс: Лр' Пр 12 26 таа = —,= = .
=),(55. лл' плэ ! — Рз Р ! — Рз Отсюда 0'=49', Следует обратить внимание на то, что полученные результаты не зависят от направления скорости К'-системы: она может двигаться илн в положительном направлении оси х, или в противоположном. д .6 А1Х=!) 0 0' Рис. 6.20 Рнс. 6.2! ° 6.2. Собственная длина. Стержень движется вдоль линейки с некоторой постоянной скоростью.
Если зафиксировать положение обоих концов стержня одновременно в системе отсчета, связанной с линейкой, то разность отсчетов по линейке Ах~=4,0 и. Если же по- ложение обоих концов зафиксировать одновременно в системе отсче- та, связанной со стержнем, то разность отсчетов по той же линейке Ьхз=9,0 м. Определить собственную длину !ч стержня и его ско- рость о относительно линейки, Р е ш сии е. Ясна, что в первом случае Лл, = 1о)Г! — Рз, где р — скорость стержня (в единицах скорости света). Во втором же случае (а — это измеренная в системе отсчета, связанной со стер- жнем, длина участка движущейся линейки, собственный размер ко.
торого (участка) равен Ьхз. Поэтому 10 = пхзтг! — рз . Из этих двух формул легко найти, что 1з =- у' Ьх! ахз = 6 м, й = ту! — ох,увхз ж 0,75 или о=0,75 с. 204 й)6.3, Йреобразование времени. Две нестабильные частица движутся в К-системе отсчета по некоторой прямой в одном направлении с одинаковой скоростью о=0,990 е.
Расстояние между частицами в этой системе отсчета 1= !2 м. В некоторый момент обе частицы распались одновременно в К'-системе отсчета, связанной с ними. Найти: !) промегкуток времени между моментами распада обеих частиц в исходной К.системе отсчета; 2) какая частица распалась позже в К-системе.
Решен не. 1. Пусть распад частицы, двигавшейся впереди,— это событие 1, а распад частицы, двигавшейся сзади,— событие 2. Тогда, согласно преобразованиям Лоренца (6.9) для времени, (х' — хх) о/ез Ет — 1х = )' ! — (о/е)з где Учтено, что 1Р=1з' — по Условию. Разность (х,' — хз') — это собственное расстояние 1а между частицами Согласно (6,5), оно равно 1о = 1/1 ! — (о/е)г. Поэтому 1о/ет 1! — 11 = = 2,0 мкс.
! (о/е)з 2. Так как 1г — 1з,лО, то 1г)1„другими словами, частица, двнгав- шаяся впереди, распалась позже. 3 а м е ч а н и е. Нередко эту задачу решают так: согласно (6.8), (1! — 1х) — (х! — хз) и/ез О, г г — чг*гг откупа (х! — хз) о/ез 1о/ез 1, )' ! — (о/е)' )' ! — (о/е)а Полученный результат отличается от приведенного выше (наличием корня в знаменателе) и является неверным.
Дело в том, что мы не имеем права разность кг — ха заменять на 1, ибо хг и хг — это координаты событий (распадов), происшедшие в К-системе в резные моменты времени. Расстояние же 1 между частицами в К-системе равно по определению разности координат частиц, зафиксированных одновременно. 456.4. Найти расстояние, которое пролетела в К-системе отсчета нестабильная частица от момента ее рождения до распада, если ее время жизни в этой системе отсчета 01=3,0 мкс, а собственное вре. мя жизни ц1ч=2,2 мкс. Р е ш е н и е.
Воспользовавшись формулой (6.12), найдем скорость )г частицы и затем искомое расстояние как 1= б1 )г= о1 еУ"! — (й/о/л1)а=0,6 км. Другой способ решения осаован на использовании ииваркаитностк интервала: 205 ай (Мо)э = аэ (д/)э /э, где квадрат интервала записан слева в системе отсчета, связанной с самой частнпей, а справа — в К-системе отсчета. Отсюда получается тот же результат для /.
ай.6. Эффект Доплера. В К-системе отсчета находится неподвижный приемник Р (рис. 6.22). К нему со скоростью У приближается источник 5 светоных сигналов. В системе отсчета, связанной с источником, сигналы испускаются периодически с частотой те (собственная частота). С какой частотой т будет воспринимать зги сигналы приемник Р? р Р е ш е н и е. Промежуток времени между двумя последовательнымн сигналами (импульсами) в К'-системе, связанной с источником, равен Т»=1/тз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
